[小升初典型培优]握手问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

握手问题 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 【知识点归纳】 假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手， 则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2， 则N个人握手的次数是N（N﹣1）． 【解题技巧】 1、理解握手问题的本质 握手问题实际上是计算在一定人数中，两两组合的数量。 2、关键公式 假设有 n 个人，每个人都要和其他 n - 1 个人握手，但每次握手会被重复计算，所以总的握手次数为 n × (n - 1) ÷ 2 。 3、解题思路 确定人数 n 。 代入公式计算握手次数。 【典例1】如果参加2008年奥运会的足球队有32支，自始至终用淘汰制进行比赛． ①、全部比赛一共需要多少场？ ②、如果每天安排3场比赛，全部比赛大约需要多少天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】每一轮的比赛场数是球队数的一半，每进行一轮淘汰赛就球队剩下原来的一半，直到只剩一只球队． 【解答】解：①第一轮：32÷2＝16（场）， 第二轮：16÷2＝8（场）， 第三轮：8÷2＝4（场）， 第四轮：4÷2＝2（场）， 第五轮：2÷2＝1（场）， 16+8+4+2+1＝31（场）； 答：全部比赛要31场． ②31÷3≈11（天）； 答：全部比赛大约要11天． 【点评】问题二中因为要把全部的比赛进行完，所以计算结果要用进一法保留整数，所以是11天． 【典例2】小红有2顶帽子、4条围巾和5双手套，如果选择一顶帽子和一条围巾，一共有多少种不同的搭配方法？ 【答案】见试题解答内容 【分析】从2顶帽子中选一种有2种选法；从4条围巾中选一种有4种选法；根据乘法原理，可得共有：2×4＝8（种）；据此解答． 【解答】解：根据分析可得： 2×4＝8（种） 答：一共有8种不同的搭配方法． 【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法． 【典例3】某班举行乒乓球比赛，共有5名同学参加，如果每两名同学之间进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？ 【答案】见试题解答内容 【分析】每个同学都要和其他的4个同学赛一场，共赛：4×5＝20场，由于两个人只赛一场，去掉重复的情况，实际只赛了20÷2＝10场，据此解答． 【解答】解：（5﹣1）×5÷2 ＝20÷2 ＝10（场） 答：一共要进行10场比赛． 【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 【典例4】淘气请来5位同学参加他的生日聚会，如果他们每两人之间握一次手，请问一共握了几次手？请用你喜欢的方法表示出来 【答案】见试题解答内容 【分析】每个人都要和另外的5个人握一次手，6个人共握6×5＝30次，由于每两人握手，应算作一次手，去掉重复的情况，实际只握了30÷2＝15次，据此解答． 【解答】解：（5+1）×5÷2 ＝30÷2 ＝15（次） 答：一共握了15次手． 【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 【典例5】王老师和李老师带着淘气、奇思、妙想、笑笑到游乐园参观．他们两人一组坐碰碰车，一共有多少种搭配？ 【答案】见试题解答内容 【分析】王老师和李老师带着淘气、奇思、妙想、笑笑到游乐园参观，则共有6人，由于每个人都可以和另外的5个人搭配，搭配方法一共有：6×5＝30（种）；又因为两个人搭配一次，去掉重复计算的情况，实际只有：30÷2＝15（种），据此解答． 【解答】解：6×（6﹣1）÷2 ＝30÷2 ＝15（种） 答：一共有15种搭配． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人比较多可以用公式：握手次数＝n（n﹣1）÷2解答． 1．用A、B、C、D、E代表5人的姓名，这5人进行乒乓球比赛，每2人之间都要打一局。A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局。E一共打了几局？分别和谁打的？ 2．甲、乙、丙、丁4个人参加乒乓球小组赛，每2个人比赛一场，一共要比赛多少场？（请用连线的方法解答） 3．跳绳比赛中，每两个人握一次手，小红一共握了39次。参加跳绳比赛的一共有多少人？ 4．小红和美术社团里的每一个同学都合照一次，一共照了9次，美术社团里一共有多少人？ 5．学校新增了4个兴趣小组，壮壮想从中选2个来参加，共有几种不同的选法？ 6．小华、小光、小红、小军在儿童节互相问候，每两人通一次电话，一共通了几次电话？如果互相赠一张贺卡，需要几张贺卡？ 7．鲜花店中有以下三种鲜花． （1）如果每两枝不同的花扎成一束，可以有多少种花束？ （2）只有2个花瓶，一束花与一个花瓶搭配，会有多少种不同的插花价格？ 8．市运动会上有12支篮球队要进行比赛．如果每2支队伍之间要进行一场比赛．一共要进行多少场比赛？ 9．学校三年级5个班举行拔河比赛，每2个班之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？ 10．除夕之夜，4位小朋友互打电话祝福．每两位小朋友之间打一次电话． （1）一共打了多少次电话？ （2）苹苹打一次电话平均用27分钟，她打电话一共用了多少分钟？ 11．小胖、小巧、小亚、小丁丁共4人进行羽毛球单打比赛，如果每两人之间都要打一场，那么总共要打多少场？ 12．元旦到了，黄霏霏和她的三位好朋友四人互通电话祝贺新年，每两人要通一次电话，一共通了多少次电话？ 13．4名乒乓球运动员进行比赛，比赛采用单循环模式（每2个人都要进行一场比赛）。他们一共要进行多少场比赛？他们的成绩排名有多少种可能的结果？（不并列） 14．敏敏、菲菲、强强、思思、诚诚5人聚会，每两人之间都要握一次手。敏敏已经握了4次手，菲菲握了3次手，强强握了2次手，思思握了1次手。诚诚握了几次手？分别与谁握的？ 15．有64支球队参加比赛，以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行。如果要决出冠军，那么一共要比赛多少场？ 16．8名同学聚会，如果每2名同学之间都握一次手，那么每人会握手多少次？大家一共握手多少次？ 17．曲明、曲华、曲阳三人，每两人之间互相赠送了一张贺卡．他们一共赠送了多少张贺卡？ 18．小林在歌唱比赛中荣获冠军，每个参赛的小朋友都要和他握一次手表示祝贺，他一共握了15次手，参加比赛的小朋友一共有多少人？ 19．A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会．规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手．握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次，令他惊讶的是每人答复的数字各不相同．那么，A太太握了几次手？ 20．足球比赛前，两队各11名队员要互相握手，每名队员都与对方的11名队员握手一次，一共握了几次手？ 21．有3组每组10个队进行篮球赛。第一轮先分组进行单循环赛（即组中每两个队赛一次），取前三名后再集中进行第二轮比赛；在第二轮比赛中，除了在第一轮比赛时已经赛过的两个队除外，每个队都应和其他队赛一次。问先后共比赛多少场？ 22．龙龙参加成语比赛，结束后每两位参加比赛的选手都握了一次手，一共握了6次手，参加比赛的一共有几人？ 23．希望小学三年级六个班准备以班级为单位开展足球比赛．如果每两个班赛一场，一共要赛几场？三年级（1）班一共比赛几场？ 24．有10元、5元、2元、1元的人民币各一张，随意取2张，可能组成多少种不同的币值？ 25．从上海开往青岛的长途汽车，中途停靠6个站．这辆车要准备多少种不同的硬座车票？ 26．从丫丫、贝贝、豆豆、皮皮四名优秀少先队员中选两名同学升旗，共有多少种选法？ 27．从北京南站到滕州东站一共有7个站点，从北京南站到滕州东站方向需要准备多少种票？ 28．京沪高铁从北京南站到滕州东站一共有10个站点，从北京南站到滕州东站方向需要准备多少种票？ 29．华博机器人学校六一儿童节期间凭宣传单可免费听两节课． （1）徐新刚想从上面的4种课程里选择2种来听，共有多少种选法？ （2）李涵想选百变工程和另一种课程，共有多少种选法？ 30．万老师在一次聚会中遇见了8个多年不见的老同学，他们每两人相互握一次手，一共握了多少次手？ 31．为迎接学校大队委竞选，各班选出的14名候选人到场后两两进行握手，请问一共可以握手多少次？ 32．有八个小队进行拔河比赛，每两个队都要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？（不要计算，请你用一种画图方法解决） 33．如图，从广东的佛山到广西的梧州之间有4个停靠站，在这条铁路线上，铁路局要准备多少种不同的车票？ 34．学校举行乒乓球比赛，男子单打采用单循环淘汰赛（每两人比赛一场，淘汰一人）．如果有32名运动员报名参加比赛，那么到冠军产生一共要比赛多少场？ 35．三年级有5个班，在学校举行的足球赛中，每两个班之间要踢一场球，三年的5个班之间一共要踢多少场球？ 36．32支足球队参加世界杯比赛，先分成8个组进行循环赛（组内每两个队之间都要进行一场比赛）．小组赛一共有多少场？小组赛后有16支球队进入下一轮的淘汰赛，直至决出冠、亚、季军．从世界杯比赛开始到结束，一共需要多少场比赛？ 37．国际数学奥林匹克主试委员会由34个国家组成，每队由领队和副领队两位．会前与会者互相握手．一个国家的领队和副领队不握手．会后东道国的领队问与会者握手的次数，所得到的回答互不相同，东道主的副领队和多少人握手了？ 38．4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为多少场？ 39．老张、老王、老李、老赵是好朋友，一天，他们四人碰面，每两人都握一次手，他们一共握了多少次手？如每人互赠一张贺卡，要准备多少张贺卡？ 40．学校举行羽毛球单打循环赛，一共有9人参加，每两名运动员之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？ 41．跳绳比赛中，小红和参加比赛的每个人握一次手，一共握了39次，参加跳绳比赛的一共有多少人？ 42．新年晚会上，约定每2个小朋友之间击1次掌，表示庆祝． （1）第一小组有5个小朋友，他们之间一共要击几次掌？ （2）10个小朋友之间一共要击几次掌？ 43．规定聚会拍照每人都要与别人拍一张照片，若会后共拍了15张照片，问参加聚会的有几个人？ 44．第二阶段是前四名进入的半决赛。第一名对阵第四名，第二名对阵第三名，半决赛获胜的队伍进入金牌争夺战，获败的队伍争夺铜牌，其他不再比赛。一共要进行多少场比赛？请画简图表示。 45．六一儿童节这天，王老师打算从下面4名同学中任选2名同学表演节目，有几种不同的选法？（画图表示，并回答问题） 1．【答案】2局，分别和A、B打的。 【分析】5人进行乒乓球比赛，那么每人最多进行4场比赛，根据“A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局”，在如图中连线表示已赛的场数，找出都有谁和E比赛，从而找出E比赛了几场。 【解答】解：如图： 。 答：由图可知，E一共打了2局，分别和A、B打的。 【点评】找出每人最多比赛4场这一突破口，然后根据每人比赛的场数进行画图得出结论。 2．【答案】6场。 【分析】写出四人，两两连线，数出连线的条数即可。 【解答】解： 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况。 3．【答案】40人。 【分析】由题意，小红一共握了39次手，说明除小红外还有39名选手，算上小红，则共有40名选手；据此解答。 【解答】解：39+1＝40（人） 答：参加跳绳比赛的一共有40人。 【点评】解答此题关键是明确：一个人的握手次数＝人数﹣1。 4．【答案】10人。 【分析】小红和美术社团里的每一个同学都合照一次，一共照了9次就说明除了他自己还有9人，把他们加在一起就是总人数。 【解答】解：1+9＝10（人） 答：小组里一共有10人。 【点评】本题主要考查了握手问题，注意：小红和每一个同学都合照一次，计算人数时不要把小红这1个人遗漏了。 5．【答案】见试题解答内容 【分析】本题属于握手问题，从4个兴趣小组中选出2个，由于每个兴趣小组都要和另外的3个兴趣小组组合，一共有3×4＝12种组合；又因为两个兴趣小组只组合一次，去掉重复计算的情况，实际只有12÷2＝6种组合，据此解答即可． 【解答】解： 4×（4﹣1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（种） 答：一共有6种不同的选法． 【点评】本题是典型的握手问题，如果数量比较少，可以用枚举法解答；如果数量比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）属于握手问题，握手次数总和的计算方法：握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2，代入数据计算即可； （2）发贺卡时，每个人要给其它的3人发，即每人发3张，再乘4就是4个人一共发的张数． 【解答】解：（1）4×（4﹣1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（次） （2）4×3＝12（张） 答：每两人通一次电话，一共通了6次电话，如果互相赠一张贺卡，需要12张贺卡． 故答案为：6，12． 【点评】注意甲和乙打电话与乙和甲打电话是一样的，而甲给乙发贺卡与乙给甲发不同，所以发贺卡的数量是打电话的2倍． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于每枝不同的花都可以和另外的2种花组合，一共有：2×3＝6（种）组合；又因为两种花只有一种组合方式，去掉重复计算的情况，实际只有：6÷2＝3（种）组合，据此解答． （2）根据问题（1）可知共有3种花束；一共有3种价格，由于每种花束都可以和另外的2种花束组合，一共有：2×3＝6（种）组合；又因为两种花束只有一种组合方式，去掉重复计算的情况，实际只有：6÷2＝3（种）组合，据此解答． 【解答】解：（1）（3﹣1）×3÷2 ＝6÷2 ＝3（种） 答：如果每两枝不同的花扎成一束，可以有3种花束． （2）3﹣1）×3÷2 ＝6÷2 ＝3（种） 答：一束花与一个花瓶搭配，会有3种不同的插花价格． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：花的搭配种数＝n（n﹣1）÷2解答． 8．【答案】见试题解答内容 【分析】12支球队，每一支都要和其它的11支进行比赛，一共比赛12×11＝132场，由于重复计算了一次，所以再用132除以2即可． 【解答】解：12×（12﹣1）÷2 ＝12×11÷2 ＝132÷2 ＝66（场） 答：一共要比赛66场． 【点评】本题是典型的握手问题，如果数量比较少，可以用枚举法解答；如果数量比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 9．【答案】10场。 【分析】由于每个班都要和另外的4个班赛一场，一共要赛：5×4＝20（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2＝10（场），据此解答。 【解答】解：（5﹣1）×5÷2 ＝20÷2 ＝10（场） 答：一共要比赛10场。 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果班比较少可以用枚举法解答，如果班比较多可以用公式：比赛场数＝n（n﹣1）÷2解答。 10．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于每个小朋友都要和另外的3个通一次电话，一共要通：3×4＝12（次）；又因为两个小朋友只通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：12÷2＝6（次），据此解答． （2）由于每个小朋友都要和另外的3个通一次电话，所以苹苹一共打了3次，然后再乘27分钟即可． 【解答】解：（1）（4﹣1）×4÷2 ＝12÷2 ＝6（次） 答：一共打6次电话． （2）27×（4﹣1） ＝27×3 ＝81（分钟） 答：她打电话一共用了81分钟． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：通话次数＝n（n﹣1）÷2解答． 11．【答案】6场。 【分析】由于每人都要和另外的3人比赛一场，一共要比（4×3）场；又因为两人之间只比一场，去掉重复计算的情况，除以2，然后再列式计算即可。 【解答】解：4×（4﹣1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 答：总共要打6场。 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人数比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：握手次数＝n（n﹣1）÷2（n表示人数）解答。 12．【答案】6． 【分析】一共有4个人，都要与除自己以为的3个人通电话，电话次数是4×3＝12次，但是每次电话都重复计算了，需要除以2，依次列式计算即可． 【解答】解：4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（次） 答：一共通了6次电话． 【点评】本题主要考查了握手问题，注意不要忘记去除重复计算的部分． 13．【答案】6场，24种。 【分析】按照单循环比赛规则，每个运动员都要和其他的3人进行一场比赛，每场比赛2人参加，所以比赛场数为4×3÷2；4人比赛，第1名有4种可能性，第1名确定后，第2名有3种可能性，第1、2名确定后，第3名有2种可能性，第1、2、3名确定后，第4名只有1种可能性，所以4人比赛成绩排名可能的种数为4×3×2×1。 【解答】解：4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 4×3×2×1 ＝12×2 ＝24（种） 答：他们一共要进行6场比赛，他们的成绩排名有24种可能的结果。 【点评】在单循环赛制中，参赛队数与比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛队数×（参赛队数﹣1）÷2，不并列排名时，排名可能的种数与参赛队数的关系为：排名可能种数＝1×2×3×……×参赛队数。 14．【答案】诚诚握了2次手，分别与敏敏、菲菲握的。 【分析】根据敏敏已经握了4次手，菲菲握了3次手，强强握了2次手，思思握了1次手作图，即可找到诚诚与谁握手。 【解答】解：如图： 答：诚诚握了2次手，分别与敏敏、菲菲握的。 【点评】本题主要利用作图法解答握手问题。 15．【答案】63场。 【分析】淘汰赛每赛一场就要淘汰一支队伍，而且只能淘汰一支队伍，即淘汰掉多少支队伍就恰好进行了多少场比赛，由此解答即可。 【解答】解：64﹣1＝63（场） 答：一共要比赛63场。 【点评】在单场淘汰制中，如果参赛队是偶数，则决出冠军需要比赛的场数＝队数﹣1。 16．【答案】见试题解答内容 【分析】每个人都要和另外的8﹣1＝7个人握一次手，8个人共握7×8＝56次，由于每两人握手，应算作一次手，去掉重复的情况，实际只握了56÷2＝28次，据此解答． 【解答】解：8﹣1＝7（次） 7×8÷2 ＝56÷2 ＝28（次） 答：每人会握手7次；大家一共握手28次． 【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 17．【答案】6张． 【分析】三人之间要两两赠送贺卡，每人给其他两人准备贺卡，每人需要准备2张，三个人一共是2×3＝6张． 【解答】解：3×2＝6（张） 答：他们一共赠送了6张贺卡． 【点评】此题需要注意，如：曲明给曲华与曲华给曲明的不是同一张，需要算2次． 18．【答案】16人。 【分析】他一共握了15次手，也就是除他之外有15人。算上他自己，共有16人。 【解答】解：15+1＝16（人） 答：参加比赛的小朋友一共有16人。 【点评】此题的关键是明确握手次数和人数的关系，然后再进一步解答。 19．【答案】3次。 【分析】A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会，由此可得一共8个人，又规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手，所以每个人最多握手6次，根据每人答复的数字各不相同可得，握手次数只可能是0，1，2，3，4，5，6，然后进一步推断即可。 【解答】解：根据题意可得一共8个人。 由于不和自己握手，不和自己妻子握手，两两最多握一次，所以每个人最多握手6次。 A先生问了7个人，每个数字都不一样，说明握手次数只可能是0，1，2，3，4，5，6。 假设握手6次的为B，那么他除了不和自己的妻子握手外，和其他所有人都握手了；因此其他人握手都不为0，因此只能是B的妻子的握手次数为0； 再设握手5次的为C，则C没有和自己的妻子以及B的妻子握手外，和其他所有人握手了，因此其他所有人握手次数都大于等于2，握手一次就只能是C的妻子了； 同理推出D以及D的妻子握手次数为4和2；所以而A先生和A太太握手次数均为3；也就是说所有的夫妻握手次数和为6。 答：A太太握了3次手。 【点评】本题考查了比较复杂的逻辑推理，关键是明确所有的夫妻握手次数和为6。 20．【答案】121次． 【分析】两队各11名队员要互相握手，每名队员都与对方的11名队员握手一次，即每个人都握11次，共握11个11次，然后用乘法解答即可． 【解答】解：11×11＝121（次） 答：一共握了121次手． 【点评】本题看作握手问题的实际应用，要注意每名队员都与对方握手，如果数量比较少可以用枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏． 21．【答案】162场。 【分析】根据题意，先计算各组进行单循环赛的场数，再计算在第二轮比赛中场数，排除其中在第一轮中已经赛过的球队，计算即可得答案。 【解答】解：根据题意，首先每个组中各队进行单循环比赛，有10×（10﹣1）÷2＝45（场）比赛， 三个组共有45×3＝135（场）比赛， 在第二轮比赛中，三个组共有9个队参加比赛，共需要比赛9×（9﹣1）÷2＝36（场）， 但在第一轮中已经赛过的球队共赛了3×3×（3﹣1）÷2＝9（场），所以先后共比赛场数为135+36﹣9＝162（场）。 答：先后共比赛162场。 【点评】本题考查注意理解“单循环比赛”等意义。 22．【答案】见试题解答内容 【分析】数量比较少，可以利用假设法解答，假设2个人参加比赛、3个人参加比赛、4个人参加比赛、…、依此类推找出符合要求出的答案即可． 【解答】解：假设2个人参加比赛，一共握了1次手，不符合要求； 假设3个人参加比赛，一共握了3次手，不符合要求； 假设4个人参加比赛，一共握了6次手，符合要求； 答：参加比赛的一共有4人． 【点评】本题属于低年级排列组合知识的灵活运用，可以利用假设法递推． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】如果每两个班赛一场，即每个班都要和另外的5个班赛一场，那么三年级（1）班一共比赛5场，则全年级一共要赛：6×5＝30（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：30÷2＝15（场），据此解答． 【解答】解：6﹣1＝5（场） 5×6÷2 ＝30÷2 ＝15（场） 答：一共要赛15场；三年级（1）班一共比赛5场． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果班数比较少可以用枚举法解答，如果班数比较多可以用公式：比赛场数＝n（n﹣1）÷2解答． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】本题看作握手问题，由于每张都可以和另外的3张组合，一共有3×4＝12种组合；又因为重复计算了一次，实际只有12÷2＝6种组合，据此解答即可． 【解答】解：（4﹣1）×4÷2 ＝12÷2 ＝6（种） 答：随意取2张，可能组成6种不同的币值． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：币值的种数＝n（n﹣1）÷2解答． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】一共有6+2＝8个站，从第一站到其它各站有7种，从第二站到下边各站有6种，从第三站到下边各站有5种，…，从第7站到下边各站有1种．然后计算出单程车票的种类，即可算出答案． 【解答】解：6+2＝8（个） 7+6+5+4+3+2+1＝28（种） 答：这辆车要准备28种不同的硬座车票． 【点评】本题主要考查排列组合问题，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】因为每个人都可以与其它3个人组合，所以共要准备4×（4﹣1）＝12种，因为重复算了一次，再除以2即可． 【解答】解：4×（4﹣1）÷2 ＝12÷2 ＝6（种） 答：共有6种选法． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：选择方法数＝n（n﹣1）÷2解答． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】一共有7个站点，由于每个站点到另外的6个车站，有6种车票，一共要：6×7＝42（种）；又因为求单程，比如A→B和B→A就重复了，所以单程实际只有：42÷2＝21（种），据此解答． 【解答】解：（7﹣1）×7÷2 ＝42÷2 ＝21（种）； 答：从北京南站到滕州东站方向需要准备21种票． 【点评】本题要注意只算单程，所以A站到B站和B站到A站的车票种类是重复． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】因为每个站点都要与其它9个站点准备车票，所以共要准备10×（10﹣1）＝90种，因为求的是单程票，所以重复算了一次，再除以2即可． 【解答】解：10×（10﹣1）÷2 ＝90÷2 ＝45（种） 答：从北京南站到滕州东站方向需要准备45种票． 【点评】本题考查了比较复杂的握手问题的实际应用，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：车票的种数＝n（n﹣1）÷2解答． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）每种课程都可以和其它的3种课程搭配，共有3×4＝12种，因为重复计算了一次，所以再除以2即可； （2）李涵想选百变工程，有一种选择，再选另外3种课程中的一种，有3种选择；根据乘法原理可得，共有1×3＝3种选法；据此解答即可． 【解答】解：（1）（4﹣1）×4÷2 ＝12÷2 ＝6（种） 答：徐新刚想从上面的4种课程里选择2种来听，共6选法． （2）1×3＝3（种） 答：李涵想选百变工程和另一种课程，共有3种选法． 【点评】（1）本题考查了握手问题，可以根据公式（n﹣1）×n÷2直接计算求解． （2）本题考查了乘法原理：即做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】1+8＝9（人），每个人都要和另外的8个人握一次手，9个人共握8×9＝72次，由于每两人握手，应算作一次手，去掉重复的情况，实际只握了72÷2＝36次，据此解答． 【解答】解：1+8＝9（人） （9﹣1）×9÷2 ＝72÷2 ＝36（次） 答：一共握了36次手． 【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】每个人都要和另外的13个人握一次手，14个人共握13×14＝182次，由于每两人握手，应算作一次手，去掉重复的情况，实际只握了182÷2＝91次，据此解答． 【解答】解：（14﹣1）×14÷2 ＝182÷2 ＝91（次） 答：一共可以握手91次． 【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】由于每个队都要和另外的7个队赛一场，一共要赛：7×8＝56（场）；又因为两个队只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：56÷2＝28（场），据此解答． 【解答】解： 8×（8﹣1）÷2 ＝56÷2 ＝28（场） 答：一共要进行28场比赛． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果队数比较少可以用枚举法解答，如果队数比较多可以用公式：比赛场数＝n（n﹣1）÷2解答． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】两站之间的往返车票各一种，即两种，n个车站每两站之间有两种，则n个车站的票的种类数＝n（n﹣1）种，加上广东的佛山和广西的梧州，共有2+4＝6个车站，即n＝6，代入上式即可求得票的种数． 【解答】解：2+4＝6（个） 6×5＝30（种） 答：铁路局要准备30种不同的车票． 【点评】本题主要考查排列组合问题，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】如果采用单场淘汰赛，每两人比赛一场，淘汰一人，即每淘汰1人就比赛一场，32名运动员最后只剩下一个冠军，所以一共要进行32﹣1＝31场比赛；据此解答． 【解答】解：32﹣1＝31（场） 答：如果采用单场淘汰赛，一共要进行31场比赛． 【点评】此类赛制要明确：单循环赛制，比赛场数＝参赛人数×（人数﹣1）÷2；淘汰赛制，比赛场数＝参赛人数﹣1． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由于每个班都要和另外的4个班赛一场，一共要赛：5×4＝20（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2＝10（场），据此解答． 【解答】解：5﹣1＝4（场） 5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（场） 答：三年级的5个班之间一共要踢10场球． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果班数比较少可以用枚举法解答，如果班数比较多可以用公式：比赛场数＝n（n﹣1）÷2解答． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】先分析小组赛，每个小组中的4支球队每两两之间比赛一共要进行6场比赛，然后求出8个小组要进行多少场比赛；循环赛进行完之后就还剩下16支球队，它们两两比赛就有8场比赛，每进行一轮淘汰赛就球队剩下原来的一半，比赛场数又是球队数的一半，直到只剩一只球队． 【解答】解：每组6场前两名进16强： 6×8＝48（场）； 16强进8强是一场定输赢要8场 8进4又要4场 4进2要2场之后冠亚军1场，3、4名一场， 48+8+4+2+1+1＝64（场）； 答：小组赛一共有48场，本届世界杯一共要举行64场比赛． 【点评】小组赛的比赛的比赛场次是简单的组合问题，可以用连线的方法来分析．淘汰赛每一轮的比赛场次是比赛队伍的一半． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】首先我们要确定是多少人握手，假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手， 则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2， 则N个人握手的次数N（N﹣1）． 【解答】解：34×2＝68（位） 34个国家领队和副领队共68位．由于每个国家的领队和副领队不握手，所以每个人最多与66人握手．考虑到除东道国的领队外的其余67个人，由于他们的答数互不相同，这67个人握手次数分别为：（0.1.2…66 ）．由于每个国家的领队和副领队不握手，所以握手66次和握手0次的人是同一国家的．握手1次的人肯定和握手66次的人握手，所以他和握手65次的人是同一国家的．以此类推：握手x 次的人与握手（66﹣x）次的人是同一国家的，x＝2，3，…32． 因此，东道国的副领队是P（33），他与33人握手． 答：东道主的副领队和33人握手． 【点评】例如我和你握手，你和我握手是一样的．两个人之间只握一次手，注意不要重复计算． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他3个队各赛一场，所有球队共参赛：4×（4﹣1）＝12场，由于每场比赛是在两个队之间进行的，所以一共要赛：12÷2＝6场． 【解答】解：4×（4﹣1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（场） 答：总的比赛场数为6场． 【点评】在循环赛中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于每个人都要和另外的3个人握一次手，一共要握：4×3＝12（次）；又因为两个人只握一次，去掉重复计算的情况，实际只握：12÷2＝6（次），据此解答． （2）两两互赠贺卡，即每位好朋友都要获赠3张贺卡，则共要4×3＝12张贺卡． 【解答】解：（1）（4﹣1）×4÷2 ＝12÷2 ＝6（次）； （2）4×（4﹣1） ＝4×3 ＝12（张）； 答：他们一共握了6次手；如每人互赠一张贺卡，要准备12张贺卡． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人比较多可以用公式：握手次数＝n（n﹣1）÷2解答；注意区别：这两题中“每两人握手一次”和“每两人要互赠一次”的不同． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】每两个人之间都要比赛一场，即进行循环赛，共有9人，则每人都要与另外8人进行比赛，每人要参赛8场，9人共参赛8×9＝72场．由于比赛是在两人之间进行的，所以一共要进行比赛72÷2＝36场． 【解答】解：9×（9﹣1）÷2 ＝72÷2 ＝36（场） 答：一共要进行36场比赛． 【点评】循环赛中，参赛人数与比赛场数之间的关系为：参赛人数×（参赛人数﹣1）÷2＝比赛总场数． 41．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，小红一共握了39次手，说明除小红外还有39名选手，算上小红，则共有40名选手；据此解答． 【解答】解：39+1＝40（人） 答：参加跳绳比赛的一共有40人． 【点评】解答此题关键是明确：一个人的握手次数＝人数﹣1． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于每个小朋友都要和另外的4个小朋友击1次掌，一共要击：4×5＝20（次）；又因为两个小朋友击1次掌，去掉重复计算的情况，实际只击：20÷2＝10（次），据此解答． （2）根据（1）的方法同理分析问题（2）即可． 【解答】解：（1）（5﹣1）×5÷2 ＝20÷2 ＝10（次） 答：他们之间一共要击10次掌． （2）（10﹣1）×10÷2 ＝90÷2 ＝45（次） 答：他们之间一共要击45次掌． 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人比较多可以用公式：握手次数＝n（n﹣1）÷2解答． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】本题属于握手问题，根据公式握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2，列方程解答即可． 【解答】解：设参加聚会的有n个人， n（n﹣1）÷2＝15 n（n﹣1）＝30 n（n﹣1）＝6×5 所以，n＝6 答：参加聚会的有6个． 【点评】本题根据握手总次数的计算方法来求解，握手次数总和的计算方法：握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2，握手次数的公式要记住，并灵活运用． 44．【答案】 【分析】根据第一名对阵第四名，第二名对阵第三名，胜出的两队争冠亚军，输的两队争季军；据此解答。 【解答】解：如图： 答：一共要进行4场比赛。 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，解题的关键是明确第一名对阵第四名，第二名对阵第三名，胜出的两队争冠亚军，输的两队争季军。 45．【答案】6种。 【分析】每个人都可以和其他的1个人一起表演节目，即两两组合，据此列举即可。 【解答】解：如图： ①和②、①和③、①和④、②和③、②和④、③和④； 所以共有6种不同的选法。 答：共有6种选法；①和②、①和③、①和④、②和③、②和④、③和④。 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人比较多可以用公式：握手次数＝n（n﹣1）÷2解答。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$