二年(2023-2024年)中考数学真题、模拟题分项汇编(山东专用) 专题11 一次函数的实际应用

二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题11 一次函数的实际应用 【基本知识梳理】 基础知识归纳：主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题． 基本方法归纳：利用函数知识解应用题的一般步骤： （1）设定实际问题中的变量； （2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式； （3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； （4）利用函数的性质解决问题； （5）写出答案．． 注意问题归纳：读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义． 考点1 行程问题 【例1-1】（2024·山东济南中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【答案】12 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 【变式训练1】（2023·山东聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可． 【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应函数图象的解析式为， 将代入解析式得，解得， 小亮对应函数图象的解析式为， 设小莹对应函数图象的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 小莹对应函数图象的解析式为， 令，得， 解得， 小亮与小莹相遇的时刻为8:28． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想． 【变式训练2】（2024·山东济南历下二模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息； 根据函数图象可得的值，再根据题意设设直线的解析式为，设直线的解析式为利用待定系数法可知的函数解析式进而即可解答． 【详解】解：由图可知，出租车从甲地到乙地的路程为，所用时间为， ∴出租车的速度为，出租车从乙地到甲地的时间为， ∴， ∵货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地， ∴， 如图，设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴两车相遇的时间为， 故选： 【变式训练3】（2024·山东济南市中区一模）A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发 h后，两人相遇． 【答案】2.1 【分析】本题考查了一次函数图象的性质以及求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出乙的速度，得出时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，列式作答，即可作答． 【详解】解：乙的速度： ∵乙在途中休息了后按原速度继续前进 ∴设时，乙的函数解析式为 把代入 得 ∴ ∴时，乙的函数解析式为 依题意，设甲的函数解析式 把代入 得 ∴ ∴甲的函数解析式 ∵两人相遇 ∴ ∴ 解得 则出发后，两人相遇 故答案为： 【变式训练4】澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景．每天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为，约定先到终点的原地休息等待另一个人．已知小红先出发，如图两人之间的距离与父亲出发的时间的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为时，父亲出发的时间x为 s． 【答案】120或240 【分析】本题考查一次函数的实际应用，通读题干看清楚两个变量分别代表的实际意义，理解图中所给的关键点代表的实际意义，结合问题及图象用一次函数表达式或线段图列式计算．考查一次函数的应用及分类讨论的数学思想方法．由路程除以时间可得小红的速度为，父亲的速度为；父亲追上小红所需时间为，即得的坐标为，求出坐标是，的坐标为，用待定系数法可得所在直线的解析式为；求出直线解析式为，分别令，算出的值即可作答． 【详解】解：由函数图象可得：小红的速度为，父亲的速度为， ∵父亲追上小红所需时间为， 的坐标为， 当父亲出发的时间时， 两人之间的距离， 坐标是， 小红到达终点所需时间为，， 的坐标为， 设所在直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 所在直线的解析式为； 设直线解析式为 由，可得 解得 ∴直线解析式为， 如图： 把代入，得出； 把代入，得出，解得 故答案为：120或240 【例1-2】（2023·山东青岛莱西一模）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． 【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米 (2)点B的坐标是，s＝60t－60 (3)小时 【解析】 【分析】 (1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解； (2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式； (3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值 (1) 解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时． 根据题意，得:, 解得x＝2． 则千米， ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米． (2)解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时， ∴点B的坐标是． 由题意，得点A的坐标为． 设AB所在直线的解析式为， 则： 解得k＝60，b＝－60． ∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60． (3)解：由题意，得， 解得：， 故a的值为小时． 【点睛】 本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义． 【变式训练1】（2023·山东临沂模拟）公路上依次有A，B，C三个车站，一辆汽车从A站以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（单位：千米）与行驶时间x（单位:小时）之间的函数图象如图所示． (1)当汽车在A，B两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围; (2)求出的值; (3)若汽车出发m小时后，又经过1小时行驶了110千米，求m的值; (4)第一辆汽车出发2小时后，另一辆汽车以80千米/时的速度从C站驶向A站，当两辆车相距40千米时，直接写出第一辆汽车已经行驶的时间． 【答案】(1)， (2) (3) (4)当两辆车相距40千米时，第一辆汽车已经行驶3小时或小时； 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据图像利用速度=路程÷时间即可求出； （3）由（1）（2）得：（千米/小时），（千米/小时），1小时行驶110千米，可得，根据题意列方程即可； （4）设第一辆汽车行驶的时间为x，分两种情况讨论：①当时，②当时． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系为， 由函数图像得：把代入得：， ∴y与x之间的函数关系为， 当时，， ∴自变量x的取值范围是； （2）解：（千米/小时）； （3）解：由（1）（2）得：（千米/小时），（千米/小时）， ∵1小时行驶110千米， ∴， ∴， 解得：； （4）解：设第一辆汽车行驶的时间为x， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， ∴当两辆车相距40千米时，第一辆汽车已经行驶3小时或小时； 【点睛】本题考查一次函数行程问题，能够正确获取函数图像信息是关键． 【变式训练2】（2023·山东临沂兰山一模）如下图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出． (1)请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图像对应的函数关系． (2)请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境． (3)请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是 填图①和图②． 【答案】(1)哥哥和妹妹以相同的速度同时从家外出，20分钟后到达距离家900米的书店．哥哥到达书店后，立即以原来的速度返回家中（如图①），妹妹留在书店看了10分钟书后加快了速度返回家中（如图②）． (2)第30分钟，哥哥在返回家的途中（或在离家450米处等），妹妹即将开始返程回家（或仍在离家900米处等） (3)图② 【分析】（1）根据给出的关键信息以及两幅图，用语言创设一个问题情境即可； （2）根据（1）一种所创设的情境，进行回答即可； （3）根据图像回答即可． 【详解】（1）哥哥和妹妹以相同的速度同时从家外出，20分钟后到达距离家900米的书店．哥哥到达书店后，立即以原来的速度返回家中（如图①），妹妹留在书店看了10分钟书后加快了速度返回家中（如图②）． （2）第30分钟，哥哥在返回家的途中（或在离家450米处等） 妹妹即将开始返程回家（或仍在离家900米处等） （3）根据图像可以得出：第35分钟时图①和图②中速度更快的是图②． 故答案为：图②． 【点睛】本题考查了函数的图形，解决本题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 【变式训练3】（2023·山东淄博桓台一模）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示． （1）直接写出当和时，与之间的函数表达式； （2）何时乙骑行在甲的前面？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）0.5小时后 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解． 【小问1详解】 由函数图像可知，设时，，将代入，得，则， 当时，设，将，代入得 解得 【小问2详解】 由（1）可知时，乙骑行的速度为，而甲的速度为，则甲在乙前面， 当时，乙骑行的速度为，甲的速度为， 设小时后，乙骑行在甲的前面 则 解得 答：0.5小时后乙骑行在甲的前面 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，立即题意是解题的关键． 考点2 最大利润问题 【例2】（2023·山东青岛中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】（1）2880元 （2）①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【小问1详解】 解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． 【小问2详解】 ①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 【变式训练1】（2024·山东临沂蒙阴二模）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 (2)购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【详解】（1）解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； （2）解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 【变式训练2】（2024·山东临沂费县二模）某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，分别花费320元购进了A，B两种类型的灯笼，购进A种类型灯笼的数量比B种类型灯笼多4个，且每个A种类型灯笼的成本比每个B种类型灯笼的成本少20%． (1)求A，B种类型的灯笼成本各多少元； (2)该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个B种类型灯笼的售价为元，A种类型灯笼的售价为元．设购进B种类型灯笼a个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的，则购进B种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A灯笼成本为每个元，B灯笼成本为每个元 (2)①w与a的函数关系式为；②购进A灯笼25个时，销售这批灯笼可以获得最大利润，最大利润为元 【分析】（1）等量关系式：320元购进B种类型灯笼的数量元购进A种类型灯笼的数量，据此列方程，检验合理性，即可求解； （2）①总利润A种类型灯笼的利润B种类型灯笼的利润，据此即可求解； ②可求，再由一次函数的增减性，从而可求的最值． 【详解】（1）解：设B灯笼成本为每个x元，则A灯笼成本为每个(元)， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， (元)， 答：A种类型灯笼成本为每个16元，B种类型灯笼成本为每个20元； （2）解：①设购进B种类型灯笼a个，则购买A种类型灯笼个， 则 ， 与a的函数关系式为； ②∵购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的， ， 解得， ，， 当时， （元）； 答：购进B种类型灯笼25个时，销售这批灯笼可以获得最大利润，得最大利润为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键． 【变式训练3】（2024·山东淄博临清三模）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可． （2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：每个排球80元，每个足球100元． 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得， 解得， 设总费用为w元，根据题意， 故y随x的增大而减小， ∴时，w最小，最小为4000元， 故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 【变式训练4】（2024·山东泰安肥城模拟）泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值． (2)第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)60 (2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用； （1）根据用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可； （2）设A为m袋，则B为袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出m范围，设总利润为w元，根据总利润=A的单件利润×数量+B的单件利润×数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得， 经检验是原方程的解， ∴x的值为60． （2）解：设A为m袋，则B为袋， 由题知：， 解得， 设总利润为w元， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，， ∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元． 考点3 一次函数的图象与性质 【例3】（2024·山东东营中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 【变式训练1】（2024·山东济南模拟）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案． 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨 (2)最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆 【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答； （2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w，根据题意表示出费用，根据一次函数的性质分析，随着a的增大而增大，问题随之得解． 【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨， ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨； （2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆， 根据题意有：，且为正整数， 解得，且为正整数， 设总共费用为w， 根据题意有：， ∵， ∴总共费用w，随着a的增大而增大， ∴当时，最小，且最小为：（元）， 此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆． 【点睛】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式训练3】（2023·山东德州宁津二模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨． (2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【解析】 【分析】 （1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解； （2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． (1) 解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨． (2) 解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台， ∴； ②由题意得：， 解得：， ∵-0.8＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=17时，w有最小值，即为， 答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【点睛】 本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键． 考点1 一次函数的图象与性质 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题11 一次函数的实际应用 【基本知识梳理】 基础知识归纳：主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题． 基本方法归纳：利用函数知识解应用题的一般步骤： （1）设定实际问题中的变量； （2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式； （3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； （4）利用函数的性质解决问题； （5）写出答案．． 注意问题归纳：读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义． 考点1 行程问题 【例1-1】（2024·山东济南中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【变式训练1】（2023·山东聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 【变式训练2】（2024·山东济南历下二模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2024·山东济南市中区一模）A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发 h后，两人相遇． 【变式训练4】澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景．每天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为，约定先到终点的原地休息等待另一个人．已知小红先出发，如图两人之间的距离与父亲出发的时间的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为时，父亲出发的时间x为 s． 【例1-2】（2023·山东青岛莱西一模）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． 【变式训练1】（2023·山东临沂模拟）公路上依次有A，B，C三个车站，一辆汽车从A站以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（单位：千米）与行驶时间x（单位:小时）之间的函数图象如图所示． (1)当汽车在A，B两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围; (2)求出的值; (3)若汽车出发m小时后，又经过1小时行驶了110千米，求m的值; (4)第一辆汽车出发2小时后，另一辆汽车以80千米/时的速度从C站驶向A站，当两辆车相距40千米时，直接写出第一辆汽车已经行驶的时间． 【变式训练2】（2023·山东临沂兰山一模）如下图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出． (1)请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图像对应的函数关系． (2)请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境． (3)请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是 填图①和图②． 【变式训练3】（2023·山东淄博桓台一模）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示． （1）直接写出当和时，与之间的函数表达式； （2）何时乙骑行在甲的前面？ 考点2 最大利润问题 【例2】（2023·山东青岛中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【变式训练1】（2024·山东临沂蒙阴二模）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【变式训练2】（2024·山东临沂费县二模）某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，分别花费320元购进了A，B两种类型的灯笼，购进A种类型灯笼的数量比B种类型灯笼多4个，且每个A种类型灯笼的成本比每个B种类型灯笼的成本少20%． (1)求A，B种类型的灯笼成本各多少元； (2)该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个B种类型灯笼的售价为元，A种类型灯笼的售价为元．设购进B种类型灯笼a个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的，则购进B种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式训练3】（2024·山东淄博临清三模）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 【变式训练4】（2024·山东泰安肥城模拟）泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值． (2)第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 考点3 方案分配问题 【例3】（2024·山东东营中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【变式训练1】（2024·山东济南模拟）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案． 【变式训练3】（2023·山东德州宁津二模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$