2025年九年级中考数学核心考点复习：第十二单元路径最值和取值范围 选填题压轴题

第十二单元 路径、最值和取值范围 专题一 路径、最值和取值范围 (1) ——线段拼接 两条线段和的最值问题，大家最先想到的是“将军饮马”，要求的两条线段往往有公共端点，即使没有公共端点，我们也可以通过平移变换去处理. 但下面这类问题，虽然也是两线段和的最小值，但是和“将军饮马”问题有一定的区别，它会有一个非常明显的特征条件，就是在动点的运动过程中，有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处构造全等三角形，从而将要求的两条线段拼接到一起. 01.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点 M,N分别为BC,AC 上的动点,且AN=CM, 当AM+BN的值最小时, CM的长为 . 02. 如图, △ABC中, , 点E, F分别为线段AC, BC上的动点,( 求AF+BE的最小值. 03. 如图, 在矩形ABCD中, 点E, F分别为线段BC, DB上的动点, DB与AE相交于点M, 且BE=DF. 当 取最小值时，cos∠EAF的值是 . 专题二 路径、最值和取值范围(2)——费马点问题 01.如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AB=2. 若点P是 C内一点，则PA+PB+PC的最小值为 . 02.正方形ABCD内一动点E到正方形三个顶点A，B，C三点距离之和( 的最小值为 则这个正方形的边长为 . 03. 如图, 已知矩形ABCD, . ，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点, 则MA+MD+ME的最小值为 . 04.如图, 已知 中， 点 P为△ABC内部一点，则 3PA+4PB+5PC的最小值为 . C 专题三 路径、最值和取值范围(3)——将军饮马及变式拓展 核心考点一 “一动点+两定点”型 (1) ——同侧线段和的最小值问题 01.如图, 点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点, 点E为BC的中点, 连接PE,PB, 若. 则PE+PB的最小值为 . 核心考点二 “两动点+一定点”型——利用对称及垂线段最短求线段和的最小值问题 02已知在 Rt△ACB 中,∠C=90°, ∠ABC=75°, AB=5, 点E为边AC上的动点,点 F 为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是 . 核心考点三 “一动点+两定点”型 (2) ——同侧线段差的最大值问题 03.如图, 在正方形ABCD 中, AB=8, AC与BD交于点O, N是AO的中点, 点M在BC边上, 且BM=6. P为对角线BD上一点, 则PM-PN的最大值为 . 04.如图, 在菱形ABCD中, 过点D作 交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ.若AE=14, CE=18, 则 DQ-P'Q的最大值为 . 专题四 路径、最值和取值范围(4) ——将军饮马和三角形的三边关系 01. 如图, 长方形ABCD中, ，将AD边沿一直线翻折，使点 D的对应点G落在BC上, 折痕交AB, CD于点E, F, 则DG+DH的最小值是 . 02.如图, 将矩形ABCD沿MN折叠, 点A落在点R处, 点 B落在 CD边的点S处,连接BS交MN于点P，Q是RS的中点.若 直接写出PS+PQ的最小值为 . 03.如图, 点M是矩形ABCD内一个动点, ，点N为线段AM上一点， 连接BN和CM, 则BN+CM的最小值为 . 04. 如图, 长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且( 的两个内角的角平分线相交于点F，过点F作.FG⊥DE,，垂足为 G，则FG的最大值为 . 专题五 路径、最值和取值范围(5)——胡不归问题 形如“PA+kPB”这样的式子的最值，一般可以分为两类问题：(1) 胡不归问题； (2)阿氏圆.本专题简单介绍“胡不归”模型. 模型总结 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型，而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 核心考点一 在直线型中的应用模型 01. 如图, 平行四边形ABCD中, ∠DAB=60°, AB=6, BC=2, P为边 CD上的一动点, 则 的最小值等于 . 02. 如图, 在△ABC中, 交AC于点D. 点P为线段BD上的动点，则 的最小值为 . 03.如图, M为矩形ABCD中AD边的中点,E,F分别为BC, CD 上的动点,且 若 则 的最小值为 . 核心考点二 在圆中应用模型 04.如图,半径为6的扇形AOB中,( 点C是AB上一点，过C作( 于D,则( 的最大值为 . 05.如图, AC是圆O的直径, AC=4, ∠BCA=60°, 点D是弦AB上的一个动点, 那么 的最小值为 . 06. 如图, 已知AB是⊙O的直径, F是⊙O上一点, 的平分线交⊙O于点 E，交⊙O的切线BC于点C, 过点E作ED⊥AF, 交AF的延长线于点 D. 若 =2, 点M为AC上一点，则 最小值为 . 07.如图, 抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P为直线BC下方抛物线上一点，点Q为y轴上一点，当 的面积最大时，求 的最小值. 专题六 路径、最值和取值范围(6)——阿氏圆问题 方法：构造子母型相似，转化为两点之间，线段最短 核心考点一 认识模型 01. 问题提出:如图1, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CB=4, CA=6, ⊙C半径为2, P为圆上一动点,连接AP, BP, 求 的最小值. (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使 CD=1, 则有 又∵∠PCD=∠BCP, ∴△PCD∽△BCP.∴DP 请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为 . (2) 自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 的最小值为 . (3) 拓展延伸: 已知扇形COD中, ∠COD=90°, OC=6, OA=3, OB=5, 点P是 上一点，求2PA+PB的最小值. 核心考点二 发现与应用模型 02.如图, 在 中, AB=AC=4, 点E, F分别是AB, AC的中点, 点P是扇形AEF的 上任意一点, 连接BP, CP, 则 的最小值是 . 03. 如图, 等腰Rt△ABC中, ，O 是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC, BC 均相切, P为半圆上一动点, 连PC, PB, 则 的最小值为 . 04. 如图, 菱形ABCD的边长为2, 锐角大小为60°, ⊙A与BC相切于点E, 在⊙A 上任取一点 P,则 的最小值为 . 核心考点三 寻找与构造隐含的模型 05.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=6, BC=8, D, E分别是边BC, AC 上的两个动点, 且DE=4, P是DE的中点, 连接PA, PB, 则 的最小值为 . 06. 如图, 矩形ABCD中, M为边BC 上一点，将 沿DM翻折得到 连 PB, PA, 则 的最小值是 . 专题七 路径、最值和取值范围(7)——主从联动，瓜豆原理(1) ——直线型轨迹 核心考点一 构造手拉手型全等得特殊定角→直线型轨迹 01.如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC=4, 点D是BC边的中点, 点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是 . 02.如图, 在矩形ABCD中, DC=1, AD=2DC, P为线段AD上一个动点, 过P作PG⊥AC, 垂足为G, 连接BP, 取BP的中点E, 连接EG, 则线段EG的最小值为 . 核心考点二 构造手拉手型相似得特殊定角→直线型轨迹 03. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, BC=6, 点 P从A点出发沿AB运动到点 B, 连接PC, 作 Rt△PQC, 且. ，连接BQ，则线段BQ的取值范围是 . 核心考点三 构造双8字型相似比得定角→直线型轨迹 04. 如图, 在矩形ABCD中, , 点E在射线CD运动, F是CE中点, 线段BE 和线段AF交于点G, BG最小值为 . 专题八 路径、最值和取值范围(8)——主从联动，瓜豆原理(2) ——圆弧型轨迹 核心考点一 折叠可得到定点的距离等于定长→圆弧型轨迹 01. 如图, 在矩形ABCD中,已知. 点O, P分别是边AB, AD的中点, 点H是边CD上的一个动点, 连接OH, 将四边形OBCH沿OH折叠, 得到四边形OFEH, 连接PE, 则PE长度的最小值是 . 核心考点二 相似比与勾股得定线段，发现到定点的距离等于定长→圆弧型轨迹 02. 如图, 矩形ABCD, E, F分别为AB, DC中点, P, Q分别在线段AE,CF上且FQ=2PE,过点B作BH⊥PQ于H，连接DH，则线段DH长度的最小值为 . 核心考点三 中位线与瓜豆原理 03. 如图, 在1 中， ，点P是平面内一个动点，且AP=3,，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 . 核心考点四 旋转相似与瓜豆原理 04.在, 中， 点D为AC上一动点，. , 则BD的最小值是 . 专题九 路径、最值和取值范围(9)——隐切线最值 核心考点一 定直角动弦构造外接圆，切线与最小直径 01.如图, 在△ABC中,∠C=90°, 点D为BC边上一动点, 交AB于E,. BC=4. 点 D在运动过程中, BE的最大值为 . 核心考点二 定点与定长，切线与最值 02.如图, 在矩形ABCD中, ，M是边AB上一动点(不含端点)，将. 沿直线DM对折, 得到△NDM. 当射线CN交线段AB于点P时, 连接DP, 则△CDP的面积 为 ;DP 的最大值为 . 03. 如图, 已知AB 为半圆的直径, , 点P为半圆上的动点, 则AD, AB, BC, CP, PD围成的图形的面积的最大值是 . 04. 如图, 已知 中， D, E 分别是AC, BC上的点, 连DE, 若 当△CDE绕C点旋转过程中，则AH的最大值是 . 05.如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，( 于点B，则AB+BC的最大值是 . 06. 如图, 半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 则t的取值范围是 . 核心考点三 定角动弦构造外接圆 07. 矩形ABCD的对角线 于点E，则当. 最大时，BE的长度为 . 08.如图, 在 中， , 点D为AC上一点, 连接BD, 若 则 ·的最大值为 . 专题十 路径、最值和取值范围(10)——函数模型最值 核心考点一 直线型 01.如图, 在矩形ABCD中, 若AB=8, BC=12, 点P在边AD上, 则 的最小值为 . 02. 如图, 在△ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB, AC上取点D, E使得线段DE将 分割为面积相等的2个部分，则DE的最小值是 . 核心考点二 圆相关的函数最值 03.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点 P作PB⊥l, 垂足为B, 连接PA. 设. 则 的最大值是 . 04. 如图, 正方形ABCD 内接于⊙O, AB=2, EF为⊙O的一条动直径, P为正方形 ABCD的边上一动点，且. 则PE+PF的最大值为 . 专题十一 路径、最值和取值范围(11)——垂线段最短和垂足三角形 核心考点一 垂线段的和差型 01. 如图, 在△ABC中, , D 是BC的中点, 直线l经过点D, AE⊥l, BF⊥l, 垂足分别为E, F, 则AE+BF的最大值为 . 02. 如图，直线l绕平行四边形ABCD顶点A转动，分别过点B，C，D作l的垂线段，垂足分别为M，N, P. 已知∠ABC=60°, AB=6, BC=5, 则BM+CN+DP的最大值为 . 核心考点二 垂足三角形与双对称 03. 如图, 在△ABC中,. , 点D, E, F 分别在AB, BC, CA上, 则 的周长的最小值为 . 核心考点三 旋转相似与斜大于垂 04. 如图, 在. 中， P为 内一点，且. 则 的最小值为 . 专题十二 路径、最值和取值范围(12)——建桥选址 01.【问题探究】如图1, 2, a∥b, 直线MN⊥a, 垂足为M, 交b于点N, 点A到直线a的距离为2,点B到b的距离为1, MN=1, AB=5, 则AM+BN的最小值是 . 【关联运用】如图3, 在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中, ∠ACB=∠DFE=90°, ED在直线AB上, BC=2DF=4, 连接CE, CF, 则CE+CF的最小值是 . 02.如图, 在矩形ABCD 中, AB=5, AD=10, 若点E是边AD上的一个动点, 过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC, 直线BC于点O, F, 则在点E移动的过程中, AF+FE+EC的最小值为 . 03.如图, E为正方形ABCD中BC边上的一点, 且AB=3BE=6, M, N分别为边CD, AB上的动点, 且始终保持MN⊥AE, 则AM+NE的最小值为 . 专题十三 路径、最值和取值范围(13)——折叠与范围 01. 如图所示, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=10, BC=6, 点E, F分别在边AB, BC上, 沿直线EF折叠△ABC，使顶点B落在AC上的点B'处，则AE的最大值为 . 02.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=1, BC=2, D 是边AB 上一点. 连接CD, 将△ACD 沿直线CD折叠, 点A落在E处, 当点E在 的内部(不含边界)时，AD长度的取值范围是 . 03. 如图, 已知⊙O的半径为2, 所对的圆心角. 点C为 的中点，点D为半径OB上一动点(D不与B 重合) . 将△CDB 沿 CD 翻折得到△CDE, 若点 E落在半径OA, OB, AB围成的封闭图形的边界上, 则CD的长为 . 04.如图, 在四边形ABCD中, , M为边AD上一动点(不包括端点)，连接BM，将△BAM沿BM折叠得到 连接DN, CN, 则 的面积S的取值范围是 . 专题十四 路径、最值和取值范围(14) ——辅助圆 01. 如图，点E和点F分别是正方形ABCD中BC边和CD边上的点，且 45°, 求 的最小值. 02.已知△ABC中, AB=5, ∠C=60°, 设3AC+4BC=m, 则m的最大值为 . 03.如图, 正方形ABCD中,E在射线BC上, 连AE, DE, 则. 的最小值是 . 04. 如图, 已知等边 过点A 作射线 , 在射线AD上取点P, 连接PB,PC, 则. 的最大值为 . 专题十五 路径、最值和取值范围(15)——米勒张角问题 01. 先阅读材料，再解答问题： 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧 (或等弧) 所对的圆周角相等. 如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点, 则有∠C=∠D. 小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D>∠E. 请你参考小明得出的结论，解答下列问题： (1)如图1, 在平面直角坐标系xOy中, 点A的坐标为(0, 7) , 点B的坐标为(0, 3) , 点C的坐标为(3, 0) . ①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)； ②若在x轴的正半轴上有一点D, 且∠ACB=∠ADB, 则点D的坐标为 ; (2) 如图2, 在平面直角坐标系xOy中, 点A的坐标为(0, m) , 点B的坐标为(0, n) , 其中m>n>0. 点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标. 02. 如图, A(0, 8), B(0, 2) , 点E是x轴的正半轴上的一动点, 连接AE, BE, 当 最大时，求点E的坐标. 03. 如图, 在四边形ABCD中, ，点P是线段AB上一动点，连接DP, CP, 当∠DPC最大时, AP的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$