直线与圆位置关系专项训练-2025届高三数学一轮复习

直线与圆位置关系专题训练答案 1答案：C 【解析】 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心(1,2)． 2答案：D 【解析】 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心． 3答案：B 【解析】 由题意知，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝1，则|AB|＝2＝2. 4答案：C 【解析】 由题得直线x＋2y＋1＝0的斜率为－，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0.因为所求直线与圆x2＋y2 ＝1相切，所以1＝，所以b＝±，所以所求的直线方程为2x－y＋＝0或2x－y－＝0. 5答案：C 【解析】 由题知圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，则圆心坐标为(－1,1)，半径r＝.因为圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，所以2＋2＝2－a，解得a＝－4. 6答案：B【解析】 圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝11的圆心为C(3，1)，半径r＝.因为直线y＝kx(k<0)与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，所以圆心到直线的距离d＝＝＝，即(3k－1)2＝2(k2＋1)，解得k＝1(舍去)或k＝－. 7答案：C【解析】 由于＝，故表示点P(m，n)和(－1,1)连线的斜率．设M(－1,1)，如图所示，当MP与圆相切时，取得最大值，设此时MP：y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.又圆心(1,1)，半径为1，所以＝1，解得k＝，故的最大值为. 8答案：D 解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1，2)，半径为.因为圆关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离为d＝＝ ＝＝. 所以当a＝2时，d有最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4. 9答案：AD 解析：圆的圆心坐标(0，0)，半径为2，点P在圆外，设直线AB的斜率为k，则直线的方程为y－3＝k(x－5)，即kx－y－5k＋3＝0.∵ 圆心到直线的距离为，∴ ＝.解得k＝1或. 10答案：C D 解析】 x2＋y2－4x－8＝0⇒(x－2)2＋y2＝12，则圆心C(2,0)，半径r＝2. 设AB的中点为D，则CD⊥AB，且|DB|＝|DA|，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－(||2－||2)＝2||2－r2，即2||2－12＝－6⇒||2＝3，所以2＝3⇒m＝－1或5. 11答案：ABD 【解析】 对于A，当a≠0时，将原点代入圆的方程可得a2>0，则点O在圆C外，故A正确；对于B，圆C化为标准方程即为(x－a)2＋(y－3)2＝9，则圆心C(a,3)，r＝3，显然圆心C到x轴的距离3等于半径，所以圆C与x轴相切，故B正确；对于C，由题意知4＝2，解得a＝±1，故C不正确；对于D，当a＝0时，圆C：x2＋(y－3)2＝9，所以点O在圆C上，显然最小值为0，最大值为2r＝6，故乘积等于a2.当a≠0时，由A知，点O在圆C外，|OC|＝，所以最大值为|OC|＋r，最小值为|OC|－r，乘积为|OC|2－r2＝a2＋9－32＝a2，故D正确． 12答案：x－y＋2＝0 解析：设切线方程为y－＝k(x－1)，由d＝r，可求得k＝.故方程为x－y＋2＝0. 13答案： 解析：∵ 圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴ 圆C的圆心为(4，0)，半径为1.∵ 由题意知，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴ 存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立， 即ACmin≤2.∵ ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离， ∴ ≤2，解得0≤k≤.∴ k的最大值是. 14答案：④ 解析：直线l可化为m(x＋y)－(y＋1)＝0，令得∴ l过定点(1，－1)，故①错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴ 点(1，－1)在圆C内部，∴ l与圆C恒相交，故②错；当l过圆心C(1，0)，即m＝1时，圆心上存在关于直线l对称的两点，故③错；因为直线l恒过定点P(1，－1)，圆心C(1，0)，当CP⊥MN时，线段MN的长取得最小值，易得最小值为2＝2.故答案为④. 15解：(1) 由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3. 由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－， 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. (2) 因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 设点M(x，y)，因为MA＝2MO， 所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M(x，y)也在圆C上，所以圆C与圆D有公共点， 则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.整理，得－8≤5a2－12a≤0. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R; 由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以点C的横坐标a的取值范围为. 16解：(1) 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t，0)；当x＝0时，y＝0或，则B， ∴ SΔAOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值． (2) ∵ |OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴ C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴ t＝2或t＝－2， ∴ 圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去. ∴ 圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5 (3) 点B(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2. 所以|PB|＋|PQ|的最小值2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0066 直线与圆位置关系专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1. 平分圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的周长的直线是(　　) A. x＋y－1＝0 B. x＋y＋3＝0 C. x－y＋1＝0 D. x－y＋3＝0 2. (x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　) A. 相切 B. 相离 C. 相交过圆心 D. 相交但直线不过圆心 3.已知直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度是(　　) A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 4 与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是(　　) A. 2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 B. 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C. 2x－y＋＝0或2x－y－＝0 D. 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 5　已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　) A. －8 B. －6 C. －4 D. －2 6.已知直线y＝kx(k<0)与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝11交于A，B两点，且|AB|＝6，则k的值为(　　) A. － B. － C. － D. － 7.已知点P(m，n)为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则的最大值为(). A B C D3 8.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是（ ）． A 3 B 5 C D 4 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9.在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点．若OA⊥OB，则直线l的斜率可能为( )． A1 B 3 C -2 D 10已知直线l：x＋y－m＝0与圆C：x2＋y2－4x－8＝0交于A，B两点，且·＝－6，则实数m的值为（ ）. A-6 B4 C－1 D5 11在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A. 若a≠0，则点O在圆C外 B. 圆C与x轴相切 C. 若圆C截y轴所得的弦长为4，则a＝1 D. 点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________． 13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________． 14.直线l：mx＋(m－1)y－1＝0(m为常数)，圆C：(x－1)2＋y2＝4，则下列说法正确的是________．(填序号) ① 当m变化时，直线l恒过定点(－1，1)； ② 直线l与圆C有可能无公共点； ③ 对任意实数m，圆C上都不存在关于直线l对称的两点； ④ 若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2. 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上． (1) 若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2) 若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 16. 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点． (1) 求证：△AOB的面积为定值； (2) 设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程； (3) 在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标． ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$