距离公式与对称问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0064 距离公式与对称问题专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1.点A(1，2)关于点P(3，4)对称的点的坐标为( )． A(-2，-4) B (1，-2) C (1，3) D(5，6) 2.已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B. 2－ C. －1 D. ＋1 3. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )． A[0，10] B [3，10] C(0，3) D(1，4) 4. 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )． A 3x＋2y－5＝0 B x－4y＋3＝0 C 3x＋4y＋5＝0 D 3x－4y＋11＝0. 5. 若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( )． A(1，4) B (6，-1) C(0，2) D(1，-4) 6. 若动点A、B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )． A4 B 3 C D 7. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是( )． A(2，4) B (1，1) C (2，3) D(1，-7) 8在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )． A B C D 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9 若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为( ). A-2 B4 C 1 D -1 10．已知直线，则下列表述正确的是( ) A.当时，直线的倾斜角为 B.当实数k变化时，直线l恒过点 C.当直线l与直线平行时，则两条直线之间的距离为1 D.原点O到直线l的距离的最大值为 11已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，直线l的方程可能为（）． A x＋2y－5＝0 B x－y＋3＝0 C 7x－y－11＝0 D x－6y＋11＝0. 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12. 已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是_____________ 13 已知经过点P(2,2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1,0)到直线l的距离等于，则a的值是_____ 14已知△ABC的顶点为A(3，－1)，AB边上的中线所在的直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在的直线方程为x－4y＋10＝0，BC边所在的直线方程_____________． 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15　已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是. (1) 求a的值； (2) 能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件： ① 点P在第一象限； ② 点P到l1的距离是点P到l2的距离的； ③ 点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 16　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2) 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3) 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 距离公式与对称问题专题训练答案 1答案：D解析：由中点公式知(2×3－1，2×4－2)＝(5，6)． 2【解析】 由题意知＝1，a>0，解得a＝－1. 3答案：A 解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0，10]． 4答案：C 解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 5答案：C 解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)． 6答案：B 解析：依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝|m＋7|＝|m＋5|m＝－6，所以l的方程为x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3. 7答案：A 解析：由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－ 1)，由得交点坐标为(2，4)． 8答案：D 解析：以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心D，设AP＝x，从而P(x，0)，x∈(0，4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4，4－x)，P2(－x，0)与△ABC的重心D共线，所以＝，求得x＝. 9答案C D 【解析】 由题意得＝≠，所以a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，所以＝，解得c＝2或c＝－6，所以＝－1或＝1. 10答案：ABD 解析： A √ 当时，直线l的方程为，故其斜率为1，倾斜角为. B √ 由题可得，则直线l过定点. C × 由题得解得，则直线l的方程为，即，所以l与直线之间的距离为. D √ 直线l恒过点，故原点O到直线l的距离，当且仅当时取等号. 11答案AD 解：解方程组得交点P(1，2)． ① 若点A、B在直线l的同侧，则l∥AB. 而kAB＝＝－，由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. ② 若点A、B在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点， 由两点式得直线l的方程为＝，即x－6y＋11＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0. 12【解析】 因为＝≠，所以m＝8，直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7 13【解析】 依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，因为点P(2,2)在l上，且点M(1,0)到直线l的距离等于，所以消去c，得a＝2. ＝0，两平行线之间的距离d＝＝2. 14解：设B(4y1－10，y1)，由AB的中点在6x＋10y－59＝0上，可得6·＋10·－59＝0，解得y1 ＝ 5， 所以B为(10，5)． 设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)， 则有 A′(1，7)． 故BC边所在的直线方程为2x＋9y－65＝0. 15解：(1) 直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝， 所以＝，即＝. 又a＞0，解得a＝3. (2) 假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝，即c＝或， 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0； 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有＝， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0； 由于P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能． 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得(舍去) 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得 所以存在P同时满足三个条件． 16解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得 解得 ∴ A′. (2) 在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)， 则解得M′. 设m与l的交点为N，则由得N(4，3)． ∵ m′经过点N(4，3)， ∴ 由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0. (3) 设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)． ∵ P′在直线l上， ∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$