两条直线位置关系专项训练-2025届高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0063 两条直线位置关系专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1.过点（2，1）且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为（　　） A.2x－3y－1＝0　 B.2x＋3y－7＝0 C.3x－2y－4＝0　 D.3x＋2y－8＝0 2. 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于(　　) A. －4 B. －2 C. 0 D. 2 3已知经过点P(2,2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1,0)到直线l的距离等于，则a的值是(　　) A. － B. 1 C. 2 D. 4. 已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A. B. C. 8 D. 2 6.已知点A（0，－1），点B在直线x－y＋1＝0上，直线AB垂直于直线x＋2y－3＝0，则点B的坐标是（　　） A.（－2，－3）　 B.（2，3） C.（2，1）　 D.（－2，1） 7 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 8.光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有（　　） A.a＝，b＝6　 B.a＝－3，b＝ C.a＝3，b＝－　 D.a＝－，b＝－6 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9.已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝(　　) ． A －1 B 2 C 4 D 2 10. 已知直线l经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直，则(　　) A. l1与l2的交点坐标为P(0,2) B. l1与l2的交点坐标为P(2,0) C. 直线l的方程为4x＋3y－6＝0 D. 直线l的方程为3x－4y－6＝0 11.已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，则（　　） A.l1恒过点（2，－2） B.若l1∥l2，则a2＝ C.若l1⊥l2，则a2＝1 D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为　　　. 13. 经过点(－2，3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线方程为________． 14.已知直线l过两条直线3x＋2y－1＝0和2x－3y＋8＝0的交点，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是________． 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1) 试判断l1与l2是否平行； (2) l1⊥l2时，求a的值． 16.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且OM＝4，ON＝8，工厂A在公路n上，OA＝2，工厂B到m，n的距离分别为2，4.货车P在公路l上. （1）要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？ （2）P在什么位置时，工厂B搬运工与工厂A搬运工走的路程差距最多？（假设货物一次性搬运完） ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两条直线位置关系专题训练答案 1解析：B　由结论1可设直线方程为2x＋3y＋b＝0，把（2，1）代入，则4＋3＋b＝0，即b＝－7，则所求直线方程为2x＋3y－7＝0. 2【解析】 由已知得l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，所以a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2. 3【解析】 依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，因为点P(2,2)在l上，且点M(1,0)到直线l的距离等于，所以消去c，得a＝2. 4【解析】 若直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行，则mn－1＝0，即mn＝1.当m＝－1，n＝－1时，两直线方程为x－y－1＝0，－x＋y＋1＝0，此时两直线重合，故“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的充分不必要条件． 5【解析】 因为＝≠，所以m＝8，直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2. 6解析：B　设B（a，b），则由题意可得a－b＋1＝0　①，且kAB＝＝2　②，由①②解得a＝2，b＝3.即点B的坐标是（2，3），故选B. 7【解析】 由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式得，点M到原点的距离的最小值为＝3. 8解析：D　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点（0，2）关于直线y＝－x的对称点（－2，0）在直线y＝－3x＋b上，所以（－3）×（－2）＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点（0，－6）关于直线y＝－x的对称点（6，0）在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－. 9答案：A D 解析：若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有＝≠，解得a＝－1或2. 10. AC　【解析】 由方程组得即交点P(0,2)．又l3的斜率为，且l⊥l3，所以l的斜率为－，所以故直线l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0. 11解析：BD　l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0⇔a（x＋y）＋x＋2＝0，令解得所以直线l1恒过点（－2，2），故A不正确；若l1∥l2，则有（a＋1）·（1－a）＝a2且－（a＋1）－2a≠0，解得a2＝，故B正确；若l1⊥l2，则有a（a＋1）＋a（1－a）＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，＞0，－≤0，解得0≤a＜1，当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，也不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1 时，l2不经过第三象限，故D正确.故选B、D. 12解析：法一　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×（x－2），即x－y－1＝0. 法二　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以可设直线l的方程为x－y＋C＝0，把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1.故直线l的方程为x－y－1＝0. 13答案：2x＋y＋1＝0 解析：由题意，所求直线的斜率与直线2x＋y－5＝0的斜率相同为－2，又过点(－2，3)，所以直线方程为y－3＝－2(x＋2)，即2x＋y＋1＝0. 14答案：3x＋2y－1＝0 解析：由得两直线的交点坐标为(－1，2)，又由题意知，直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 15解：(1) (解法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2解得a＝－1， 综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行． (解法2)由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， ∴ l1∥l2a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行． (2) (解法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠0时， l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， 由·＝－1a＝. (解法2)由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0a＝. 16解：以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系（图略），则有A（2，0），B（－2，－4），M（0，4），N（－8，0），故公路l所在直线的方程为x－2y＋8＝0. （1）P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求PA＋PB的值最小时P的位置. 设点A关于直线l的对称点为A'（a，b）， 则解得 所以A'（－2，8）. 又P为直线l上的一点，则PA＋PB＝PA'＋PB≥A'B，当且仅当B，P，A'三点共线时等号成立，此时PA＋PB取得最小值A'B，点P就是直线A'B与直线l的交点， 联立解得 所以P（－2，3）.即P在到公路m的距离为2，到公路n的距离为3的公路l上. （2）由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使｜PB－PA｜的值最大. A，B两点在直线的同侧，P是直线l上的点，则｜PB－PA｜≤AB，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时｜PB－PA｜取得最大值AB，点P即为直线l与直线AB的交点. 又直线AB的方程为y＝x－2， 由得所以P（12，10）. 即P在到公路m的距离为12，到公路n的距离为10的公路l上. 学科网（北京）股份有限公司 $$