第十一章三角形 、第十二章全等三角形 模型总结2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版初二数学上册《三角形》《全等三角形》模型总结 一、8字模型角的关系 条件：线段与相交于点； 结论：．（分析思路：三角形内角和，对顶角相等） 练习：1、如下图，求的度数． 2、如图，，，，则 ． 3、如图，，，则 ．． 4、如图所示，点和分别在的边和的延长线上，、分别平分和，试探索与，的关系． 二、飞镖模型 条件：凹四边形； 结论：；．（分析思路：连接；延长或；连接并延长） 练习：1、如图，是内一点，试比较与的大小． 2、如图所示，是的角平分线，是的角平分线，、交于，试探索与之间的关系． 3、如图，求的度数． 4、 如图所示，平分，平分，试探索与和的关系 5、如图：已知中，的等分线与的等分线分别相交于，，，，，试猜想：与的关系．（其中是不小于的整数） 首先得到： 当时，如图， ， 当时，如图， ， 如图，猜想 ． 三、全等三角形的基本题型（平移型、对称型、旋转型） 平移型三角形全等 练习：1、如图，已知，，则不一定能使的条件是（    ） A． B． C． D． 2、如图，，，添加一个条件 ，使得． 3、如图，点是的中点，，且，求证： 4、如图，点，在上，，，，求证：． 轴对称型三角形全等 练习：1、已知：如图，、、、四点在同一条直线上，，，．求证：． 2、如图所示，是和的平分线，，．求证：． 3、如图，已知是上的一点，又，．求证：． 4、已知中，，过且，的平分线与和分别交于，，的平分线与和分别交于，．求证． 5、已知，如图，，，，求证：． 6、如图，是等腰三角形的角平分线，是上一点，其中，连接、．求证：． 7、已知中，，、分别是及平分线．求证： ． 旋转型三角形全等 练习：1、如图，和都是等边三角形，，若不 动，将绕点旋转，则在旋转过程中，与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2、如图，、、共线，和都是等边三角形，若，，则的长为 （    ） A． B． C． D． 3、如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点、，有如下结论： ①；②；③．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4、已知，如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，，连结、和，，则 ． 5、如图，在中，，垂足为．、分别是、上的点，且．如果，那么 ． 6、如图，四边形、都是正方形，连接、.求证： . 7、如图，，，点在边上，，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8、如图，以的边、为一边，分别向三角形的外侧作正方形和正方形，连结交于点，连结交于点，求证：． 9、已知，如图，点在边上，点在外部，交于，若， ．求证：． 10、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题： “如图，已知在中，，是内任意一点，将绕点顺时针旋转至， 使，连接、，则．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了，从而证明之 后，他将点移到等腰三角形之外，原题中其他条件不变，发现“”仍然成立，请你就图给出证明． 4、 全等三垂直模型 2.如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的． 练习：1.如图，点在上，，，且，，交于． (1)求证：； (2) 求的度数． 2.在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 3.在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当绕点旋转到图的位置时，请你探究线段、、之间的数量关系（直接写出结论，不要求写出证明过程）； (2)当绕点旋转到图的位置时，你在 中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当绕点旋转到图的位置时，你在中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明． 五、三角形角平分线模型 类型：三条内角角平分线的交点与两个顶点连线的夹角剩余角； 条件：平分，平分； 结论：．（分析思路：三角形内角和定理） 练习：1、如图，在中，，点是和角平分线的交点，则 2、如图，在中，，，、分别平分和，则（    ） A． B． C． D． 3、如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成中的四边形，、仍然是、的平分线，猜想与、的数量关系是 ． B． 类型：内外角角平分线所成夹角剩余角； 条件：是的角平分线，是的角平分线； 结论：．（分析思路：三角形外角和定理） 练习：1、如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于，．则等于（    ） A． B． C． D． 2、如图，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论． 3、如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于，．则等于（    ） A． B． C． D． 4、如图，在中，延长到，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依次类推，和的平分线相交于点，已知：，则 ． 5、如右图所示，在中，、是外角平分线，、是内角平分线，、交于，、交于，试探索与的关系： ．． 类型：两个角的外角角平分线的交点与这两个角的顶点连线的夹角剩余角． 条件：是的角平分线，是的角平分线； 结论：．（分析思路：三角形内角和定理+平角） 练习：1、如下图所示，是的外角平分线，也是的外角平分线，、交于点，试探索与之间的关系： ． 2、如图，在中，，三角形的外角和的角平分线交于点，则 ． 3.实践总结： 回答以下问题： (1)实践与探索： 如图，在中，与的平分线交于点，根据下列条件，求的度数， ①若，，则 ； ②若，则 ； ③若，则 ； 从上述计算中，我们能发现与的关系为； (2)如图，在中，若，分别是外角与的平分线，相交于点，则 与之间的数量关系为 ； (3)如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点，则与之间的数量关系为 ． 六、角平分线性质定理模型 条件：平分，于点，于点； 结论：． 练习：1、如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（    ） A．           B．           C．            D． 2、如图，，交于，于，若，则等于（    ） A．                   B．                  C．                 D． 3.已知：如图的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． (1)试说明：； (2)若，，求的周长． 4、如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别是，． (1)和相等吗？说明理由； (2)和相等吗？说明理由； (3)是线段的垂直平分线吗？说明理由． 5、如图，在中，，的平分线交与．求证：． 6、如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：． 7、如图，，平分，平分，点在上． (1)探讨线段、和之间的等量关系； (2)探讨线段与之间的位置关系． 8、如图所示，在中，，，是的平分线，延长至，使．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$