第1章 第1节 集 合(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第一章|集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集． 3．理解两个集合的并、交与补的含义，会求简单集合的并集、交集与补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算． 回首教材 1．集合与元素 元素的特性 确定性、互异性、无序性 元素与集合的关系 若a属于集合A，记作a∈A； 若b不属于集合A，记作b∉A 集合的表示法 列举法、描述法、图示法 2．常见的数集 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合间的基本关系 文字语言 记法 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A AB或BA 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，集合B的任何一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 4．集合的基本运算 语言表示 图形表示 符号语言 并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 5．集合的运算性质 交集 A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A⊆B⇔A∩B＝A 并集 A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆B⇔A∪B＝B 补集 ∁U(∁UA)＝A，∁U∅＝U，∁UU＝∅，A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U 拓展教材(常见结论及应用) (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． (2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. (3)德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (4)对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2024·九省联考)已知集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为__5__. 追根溯源 (人A必修①P35T9)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A∪B＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 发现启迪 九省联考题与教材题均是求参数问题，且最终转化为元素与集合的关系求解．九省联考题将集合、不等式、最值等知识有机结合起来考查，这启示我们教材的基础本位作用不可忽视及要注重数学知识间的融会贯通. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(苏教必修①P23T7)若M＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}，N＝{x|x2－2x－3＝0，x∈R}，则∁MN＝(　 ) A．{－1,3} B．{－1,0,1,2,3,4,5,6,7} C．{0,1,2,4,5,6,7} D．{1,2,3,4,5,6,7} 答案：C 2．(人A必修①P14T1改编)若集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝________. 解析：易知B＝{x|x≥3}，故A∪B＝{x|x≥2}． 答案：{x|x≥2} 3．(人A必修①P9T5改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． 解析：由图可知a≥2. 答案：[2，＋∞) B组——迷点盲点的澄清训练 1．(混淆集合的代表元素)已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　 ) A．[0，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1,0] D．(－1,0) 解析：选A　易知A＝[0，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，故A∩B＝[0，＋∞)． 2．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为(　 ) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析：选B　当m＋2＝3时，m＝1，此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－(m＝1舍去)． 题点一　集合的含义与表示(自主练通) 1．已知集合A＝{0,2}，B＝{1,2,3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C　因为A＝{0,2}，B＝{1,2,3}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0,2,4,6}，即集合C中含有4个元素． 2．已知集合A＝{x|x2－ax＋1<0}，若2∈A，且3∉A，则a的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由题意得22－2a＋1<0且32－3a＋1≥0，解得<a≤，故选B. 3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}只有一个元素，则实数a的值为(　 ) A. B．0 C.或0 D．1 解析：选C　当a＝0时，A＝{x|－3x＋2＝0}＝，满足题意；当a≠0时，Δ＝9－8a＝0，a＝，此时A＝＝，满足题意．所以a＝0或a＝. 4．(易错题)若集合{a2,0，－1}＝{a，b,0}，则ab的值是(　 ) A．0 B．1 C．－1 D．±1 解析：选C　因为集合{a2,0，－1}＝{a，b,0}，所以①或②由①得或其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得符合题意，两种情况代入得ab＝－1. [思维建模] 与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 题点二　集合间的基本关系 例1　如果集合S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则(　 ) A．ST B．T⊆S C．S＝T D．S∈T 解析：选A　由S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈Z}＝{x|x＝3(k－1)＋1，k∈Z}，令t＝k－1，则t∈Z，所以T＝{x|x＝3t＋1，t∈Z}，由于NZ，故ST. 例2　已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合的真子集的个数为________． 解析：集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，B＝{x|ax＋1＝0}， 当B＝∅，即a＝0时，显然满足条件B⊆A； 当B≠∅时，即a≠0，则B＝. 因为B⊆A，所以B＝{－2}或B＝{1}， 即－＝－2或－＝1，解得a＝或a＝－1. 综上，实数a的取值组成的集合是. 所以所求真子集个数为23－1＝7. 答案：7 易错防范 涉及参数的集合间关系的求解问题，要关注集合是否为空集及分类讨论思想的应用． 易错再练 设集合M＝{x|－3＜x＜7}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}．若M∪N＝M，则实数t的取值范围为________． 答案：(－∞，3] [思维建模] 集合间基本关系的应用及解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图以及结构法判断两集合间的关系．如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论． (2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中的元素的个数．不能忽略任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图求解． [针对训练] 1．[多选]已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(　 ) A．1∈A B．{－1}A C．∅⊇A D．{－1,1}＝A 解析：选ABD　由x2－1＝0，得x＝±1，即A＝{－1,1}，故D正确；1∈A，故A正确；{－1}A，故B正确；∅⊆A，故C错误． 2．已知集合A＝{x|x2－1<3}，B＝{x|x>a}，若B⊆∁RA，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选C　由A＝{x|x2<4}＝(－2,2)，有∁RA＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，若B⊆∁RA，有a≥2，即实数a的取值范围为[2，＋∞)． 题点三　集合的基本运算 考法(一)　集合的基本运算　 例3　(2022·新课标Ⅰ卷)若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　 ) A．{x|0≤x＜2} B. C．{x|3≤x＜16} D. 解析：选D　因为M＝{x|＜4}，所以M＝{x|0≤x＜16}．因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝.所以M∩N＝. 例4　(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：选A　因为M∪N＝{x|x<2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}． |思维建模|　解决集合运算问题的3个技巧 看元素 构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合 化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用 数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解 考法(二)　利用集合的运算求参数的值(范围) 例5　(2024·开封模拟)设集合A＝{x|x<2或x≥4}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若(∁RA)∩B＝∅，则a的取值范围是(　 ) A．(－∞，1]∪(4，＋∞) B．(－∞，1)∪[4，＋∞) C．(－∞，1) D．(4，＋∞) 解析：选B　由集合A＝{x|x<2或x≥4}，得∁RA＝{x|2≤x<4}，又集合B＝{x|a≤x≤a＋1}且(∁RA)∩B＝∅，则a＋1<2或a≥4，即a<1或a≥4. 例6　设全集U＝{1,2，m2}，集合A＝{2，m－1}，∁UA＝{4}，则m＝________. 解析：已知A＝{2，m－1}，∁UA＝{4}，由补集概念知，m－1≠4，由集合中元素的互异性知，m－1≠2，又全集U＝{1,2，m2}，因为∁UA＝{4}⊆U，且A⊆U，所以4∈U，m－1∈U，则解得m＝2. 答案：2 |思维建模|　求参数的值或范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． [提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． [针对训练] 3．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁UN＝(　 ) A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8} C．{1,2,4,6,8} D．U 解析：选A　由题意知，∁UN＝{2,4,8}，所以M∪∁UN＝{0,2,4,6,8}． 4．已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1,2}，则a的取值范围为(　 ) A．(0,4) B．(0,4] C．(0,3] D．(0,3) 解析：选C　由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0,1,2}，B＝{x|3x－a<0}＝，可得∁RB＝，因为A∩(∁RB)＝{1,2}，所以0<≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0,3]． 5．(2024·潍坊模拟)已知集合M＝{x|x＋1≥0}，N＝{x|2x<1}，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{x|－1≤x<0}的是(　 ) 解析：选A　∵M＝{x|x＋1≥0}＝[－1，＋∞)，N＝{x|2x<1}＝(－∞，0)，∴M∩N＝{x|－1≤x<0}，由Venn图知，A项符合要求． 集合中的创新应用问题 1．(2023·蚌埠二模)对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，若集合A＝{1,2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　 ) A．5 B. C. D. 解析：选D　根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，集合A＝{1,2}，A＋A＝{2,3,4}，(A＋A)÷A＝，则可知所有元素的和为，故选D. 规律方法：集合新定义问题的解决方法 (1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质． (2)按新定义的要求，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解． 2．若a∈A且a－1∉A，a＋1∉A，则称a为集合A的孤立元素．若集合M＝{1,2,3,4,5,6}，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　集合M＝{1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5,6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3，5,6}，{4,5,6}，共20个．满足集合中的元素都是孤立元素的集合N有{1,3，5}，{1,3,6}，{1,4,6}，{2,4,6}，共4个．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P＝＝. 3．(2024·重庆模拟)设集合A＝{(x，y，z)|x，y，z∈{－1,0,1}}，那么集合A满足条件“|x|＋|y|＋|z|＝2”的元素个数为(　 ) A．4 B．6 C．9 D．12 解析：选D　若x＝0，则y，z∈{－1,1}，即有序数对(y，z)有4种取法，同理若y＝0，则x，z∈{－1,1}，即有序数对(x，z)有4种取法，若z＝0，则x，y∈{－1,1}，即有序数对(x，y)有4种取法，综上所述，集合A满足条件“|x|＋|y|＋|z|＝2”的元素个数为4＋4＋4＝12. 4．(2024·乌鲁木齐一模)已知集合A＝{(x，y)|x－y＝1}，B＝{(x，y)|(x－2)2＋(y＋3)2＝9}，则A∩B的子集个数为________． 解析：集合A表示直线x－y＝1上点的集合，集合B表示圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9上点的集合．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标为(2，－3)，半径为3，点(2，－3)到直线x－y＝1的距离为＝2<3，所以直线x－y＝1与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交，所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为22＝4. 答案：4 [课时跟踪检测] 1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝(　 ) A．{2} B．{1,2} C．{2,4,6} D．{1,2,4,6} 答案：D 2．(2024·成都模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤4}，则(　 ) A．1∈A B．2∈A C．3∉∁RA D．4∈∁RA 解析：选C　对于A、B，∵A＝{x|2<x≤4}，∴1∉A,2∉A，A、B错误；对于C、D，∵∁RA＝{x|x≤2或x>4}，∴3∉∁RA,4∉∁RA，C正确，D错误． 3．已知集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于(　 ) A．{(2，－1)} B．{2，－1} C．{(1,2)} D．{1,2} 解析：选C　联立解得则M∩N＝{(1,2)}． 4．(2024·厦门一模)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|y＝2x＋1}，则M∪N＝(　 ) A．[－2，＋∞) B．(1,2] C．[1,2] D．(1，＋∞) 解析：选A　由题设N＝{y|y>1}，故M∪N＝{x|－2≤x≤2}∪{y|y>1}＝{x|x≥－2}． 5．已知集合A＝{1,2,4}，集合B＝{a，a＋2}，若B⊆A，则a＝(　 ) A．0 B. C．1 D．2 解析：选D　当a＝1时，则a＋2＝3，此时B＝{1,3}，不满足B⊆A，舍去；当a＝2时，则a＋2＝4，此时B＝{2,4}，满足B⊆A；当a＝4时，则a＋2＝6，此时B＝{4,6}，不满足B⊆A，舍去，综上可得，a＝2. 6．(2024·广州模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－15＜0}，B＝{x∈R|x－1≤0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为(　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C　由题意得集合A＝{x∈Z|x2－2x－15＜0}＝{x∈Z|(x＋3)(x－5)＜0}＝{x∈Z|－3＜x＜5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，B＝{x∈R|x－1≤0}＝{x|x≤1}，故∁RB＝{x|x＞1}，故A∩(∁RB)＝{2,3,4}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为23－1＝7，故选C. 7．(2024·青岛统考)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　 ) A．A＝B B．B⊆A C．A∩(∁UB)＝∅ D．(∁UA)B 解析：选C　由集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，对于A：当A为B的真子集时，不成立；对于B：当A为B的真子集时，也不成立；对于C：A∩(∁UB)＝∅，恒成立；对于D：当A为B的真子集时，不成立，故选C. 8．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝(　 ) A．{x|x＝3k，k∈Z} 　 B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} 　 D．∅ 解析：选A　因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}． 9.(2024·赤峰一模)如图，设全集U＝N，集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,5,9}，则图中阴影部分表示的集合为(　 ) A．{2,9} B．{7,8} C．{1,3,5} D．{1,2,3,5,9} 解析：选A　由Venn图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,5,9}，所以(∁UA)∩B＝{2,9}． 10．[多选]设A，B是R的两个子集，对x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为(　 ) A．B＝∁RA B．B＝∁R(A∩B) C．A＝∁RB D．A＝∁R(A∩B) 解析：选AC　因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，x∉B，或x∈B时，x∉A，所以A，B的关系为B＝∁RA或A＝∁RB. 11．(2023·乐山三模)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|－4≤x≤a}，且A∪B＝{x|－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－4，－2] B．(－3，－2] C．[－3,3] D．[－2,3] 解析：选D　因为A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝ {x|－4≤x≤a}，且A∪B＝{x|－4≤x≤3}，所以－2≤a≤3. 12．设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，写出一个符合条件的集合C＝________. 解析：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，所以若ACB，则可有C＝[1,4]． 答案：[1,4](答案不唯一) 13．已知集合A＝，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x2 023＋y2 024＝________. 解析：由题意知，x＝0或＝0.当x＝0时，无意义，所以＝0，得y＝0，则A＝{x,0,1}，B＝{x2，x,0}．由A＝B得x2＝1，所以x＝1或x＝－1，当x＝1时，A＝{1,0,1}，B＝{1,1,0}，不合题意，舍去；当x＝－1时，A＝{－1,0,1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．所以x＝－1，y＝0，所以x2 023＋y2 024＝－1. 答案：－1 14．已知A∩B＝{6}，(∁UA)∩B＝{3,4,7}，A∩(∁UB)＝{2,5}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<10，x∈N*，x≠6}，则∁U(A∪B)＝______. 解析：由题意，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<10，x∈N*，x≠6}＝{1,2,3,4,5,7,8,9}，故画Venn图如图，得∁U(A∪B)＝{1,8,9}． 答案：{1,8,9} 借题发挥：一般来讲，若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；若给定的集合是抽象集合，则常用Venn图求解． 15．(2024·南昌模拟)设集合M＝{2，－2，－1}，N＝{x||x－a|＜1}，若M∩N的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为________． 解析：由|x－a|＜1可得－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为a＞0，所以a－1＞－1且a＋1＞1，因为M∩N的真子集的个数为1，设M∩N的元素个数为n，则2n－1＝1，解得n＝1，因为M＝{2，－2，－1}，则M∩N＝{2}，所以a－1＜2＜a＋1，解得1＜a＜3，因此正实数a的取值范围为{a|1＜a＜3}． 答案：{a|1＜a＜3} 16．全集U＝R，若集合A＝{x|2<x－1<7}，B＝{x|(x－2)(x－6)<0}． (1)求A∩B，A∪B； (2)若集合C＝{x|x>a}，A∪C＝C，求实数a的取值范围． 解：(1)由集合A＝{x|2<x－1<7}＝{x|3<x<8}， B＝{x|(x－2)(x－6)<0}＝{x|2<x<6}, 所以A∩B＝{x|3<x<6}，A∪B＝{x|2<x<8}． (2)因为A∪C＝C，可得A⊆C，又因为C＝{x|x>a}，且A＝{x|3<x<8}，所以a≤3，所以实数a的取值范围是(－∞，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $$