第8章 第7节 抛物线(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

抛物线 第七节 学习目标 1.理解抛物线的定义、几何图形、标准方程，以及它们的简单几何性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 课时跟踪检测 4 特训·微专题强化 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______. 相等 焦点 准线 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形         x轴 y轴 续表 续表 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 √ √ 追根溯源 (人A选择性必修①P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 发现启迪 高考题在教材问题的基础上作进一步探索，可运用有关抛物线的二级结论解决问题，可见掌握圆锥曲线的一些二级结论是必要的，也体现了高考试题的选拔性功能. 3.(人A选择性必修①P138T2(2)改编)抛物线y2＝4x上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________. 解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上点到焦点的距离等于6，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为5. 5 课堂·题点精研 02 1.(2024·滨州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为5，则p＝(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 题点一　抛物线的定义及其应用（自主练通） √ 2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　 ) A.5 B.6 C.8 D.10 解析：x2＝4y的焦点为(0,1)，准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以由抛物线的定义知|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝6＋2＝8，故选C. √ 3.(2024·宁德模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析：由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q共线时|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|最小值为3－(－1)＝4.故选B. 4.(2024·福州模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(x，y)(y>0)为曲线C上一点，若|MF|＝4，则点M的坐标为________. (2,4) 利用抛物线的定义可解决的常见问题 思维建模 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 距离问题 涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化 (2023·梅州三模)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点E(2,0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　 ) A.x2＝3y B.x2＝12y C.x2＝9y D.x2＝6y 题点二　抛物线的标准方程 例 1 √ y2＝4x或y2＝－12x或x2＝－4y或x2＝12y 例 2 求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：确定焦点或准线的位置，再定形：根据条件求p. (2)对于焦点在x轴上的抛物线，为避开讨论，设成y2＝mx(m≠0)，则 思维建模 1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　 ) 针对训练 √ 解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，准线交x轴于点G，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， ∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG， 2.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝6，则△MOF的面积为(　 ) 题点三　抛物线的几何性质 例 3 √ √ √ [多选]已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，则下列结论正确的有(　 ) A.x1＋x2≥2 B.△AOB为钝角三角形 C.点F在圆M外部 D.直线A1F平分∠OFA 例 4 √ 解析：如图所示，由抛物线的焦半径公式可知|AB|＝x1＋x2＋2≥2p＝4，所以x1＋x2≥2，故A正确； 由|AA1|＝|AF|可知∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥OF，所以∠AA1F＝∠OFA1＝∠AFA1，所以直线FA1平分∠AFO，同理可得FB1平分∠BFO，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1＝90°，所以圆M经过点F，故C错误，D正确. 抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键. 思维建模 针对训练 √ 4.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　 ) √ 因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D. 规律方法：与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决. 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 5．(2024·北京西城高三期末)已知抛物线C：y2＝8x.则C的准线方程为________；设C的顶点为O，焦点为F.点P在C上，点Q与点P关于y轴对称．若QF平分∠PFO，则点P的横坐标为________． x＝－2 2 03 特训·微专题强化 活用抛物线焦点弦的4个性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　 ) 典例 [解题观摩] 利用性质3解题： 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图. 设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m， 利用性质4解题： 1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　 ) 应用体验 √ 2.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则AB的长为(　 ) √ 3.已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　 ) √ √ √ √ 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.(2024·十堰模拟)下列四个抛物线中，开口朝左的是(　 ) A.y2＝5x B.x2＝－5y C.y2＝－5x D.x2＝5y 解析：抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下， 抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(2024·青岛开学考试)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为(　 ) A.x2＝4y B.x2＝－4y C.x2＝－2y D.x2＝2y 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.1 B.2 C.3 D.4 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(2024·广东联考)石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是(　 ) 2 3 4 √ A.1米 B.2米 C.4米 D.8米 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：设抛物线C：x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(4，－4)在抛物线C上，则－2p×(－4)＝42，解得p＝2，故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.故选B. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝4y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM |为半径的圆与抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　 ) A.[1，＋∞) B.(0,1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2 3 4 √ 解析：由抛物线C：x2＝4y，则其焦点F(0,1)，准线l：y＝－1，F到l的距离为p＝2，可作图如图所示，其中AM⊥l，则|FM|＝|AM|，当圆F与直线l相交时，|FM|>p，则|AM|>p＝2，由|AM|＝y0＋1，则y0＋1>2，解得y0>1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________. 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 2 3 4 y2＝4x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 y2＝2x(或y2＝8x 或y2＝－2x或y2＝－8x，答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 －1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以抛物线的方程为y2＝2x. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y整理得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 化简得(1＋k2)(16k2＋4)＝40k4，解得k2＝1， 经检验，此时Δ>0，故k＝±1. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(2024·石家庄模拟)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点T(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在第二象限，当F在l上时，A与B的横坐标和为－4. (1)求抛物线C的方程； 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题x12＝2py1，x22＝2py2， 2 3 4 从而抛物线C的方程为x2＝4y. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由题意直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)， 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(2024·荆门模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角等于(　 ) A.30°或150° B.45°或135° C.60°或120° D.与p值有关 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. [多选]抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F，直线m与C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点,O是坐标原点，则下列说法正确的是(　 ) A.过点(0，p)可作3条与抛物线C只有一个公共点的直线 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 2 3 4 选项 分析过程 正误 A 过点(0，p)可作2条与抛物线C相切的直线，可作1条与抛物线C对称轴平行的直线，所以共有3条与C只有一个公共点的直线(特别提醒：直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(2024·重庆开学考试)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4. (1)求C的标准方程； (2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点. 快审准解：(1)根据直线过F点且垂直于x轴交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，可求出p，便可得出抛物线的标准方程. (2)根据直线与抛物线的交点联立方程，求出AM，BN的直线方程，代入准线l的横坐标，利用AM，BN分别与准线l相交的纵坐标相等，可知直线AM，BN和l相交于一点. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)证明：由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)， 设直线l1的方程为x＝my＋1， 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以直线AM，BN和l相交于一点. 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn x＝－ y＝－ 顶点 O(0,0) 对称轴 _____ ______ 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 _________ x＝ _________ y＝ x0＋ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝_________ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ (2023·新课标Ⅱ卷)[多选]设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( ) A.p＝2 B.|MN|＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 二、复习备考要强化“教材本位” 1.(人B选择性必修①P162T2改编)抛物线x2＝y的准线方程为 ________________. y＝－ 解析：由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－. 2.(苏教选择性必修①P128T10)若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________. 解析：设M，M到坐标原点O的距离为＝，解得y2＝2，故x＝＝1.点M到该抛物线焦点的距离为x＋＝1＋＝. 4.(人A选择性必修①P135“思考”改编)已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2)，则抛物线的标准方程为_____________________. x2＝－y或y2＝4x 解析：根据题意，当抛物线焦点在x轴上时，经过点M(2，－2)， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，(－2)2＝2p×2，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.当抛物线焦点在y轴上时，经过点M(2，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，所以22＝－2p×(－2)，解得p＝，所以抛物线的标准方程为x2＝－y.综上，抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 解析：设抛物线的焦点为F，则|PF|＝5，由抛物线的定义知，|PF|＝2＋＝5，解得p＝6.故选D. 解析：由抛物线C：y2＝8x可得＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝4＝x＋＝x＋2，则x＝2，又因为点M(x，y)(y>0)为曲线C上一点，所以y2＝8x＝16，所以y＝4，所以点M的坐标为(2,4). 解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝，求导得y′＝，所以抛物线C在点M处的切线斜率为，由抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得＝，即x0＝p，所以y0＝p.因为点M在线段EF上，所以＝，所以－＝－，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y.故选D. 若抛物线的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则其标准方程是_______________________________________. 解析：若抛物线的焦点在x轴上，可设其标准方程为y2＝kx(k≠0)，则其焦点坐标为.由＝，得k＝4或k＝－12. 此时，其标准方程为y2＝4x或y2＝－12x；若抛物线的焦点在y轴上， 可设其标准方程为x2＝λy(λ≠0)，则其焦点坐标为.由＝，得λ＝－4或λ＝12.此时，其标准方程为x2＝－4y或x2＝12y.综上所述，所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－12x或x2＝－4y或x2＝12y. 焦点坐标为，准线方程为x＝－.同理焦点在y轴上的抛物线也可设成x2＝my(m≠0). A.y2＝x B.y2＝9x C.y2＝x D.y2＝3x ∴＝，∴p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x. x＝－ 解析：抛物线C的焦点为F，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－.令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－. A.4 B.2 C .4 D.8 解析：设点M(x0，y0)，F(2,0)，所以|MF|＝x0＋2＝6，得x0＝4，y0＝±4，所以△MOF的面积S＝|OF|×|y0|＝×2×4＝4. ·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2，令直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，所以·＝－3<0，所以△AOB是钝角三角形，故B正确； 3.(2024·唐山高三期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两点，若y22－2y12＝4，则＝(　 ) A. B. C. D.2 解析：由抛物线C：y2＝4x，得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，又因为y22－2y12＝4，所以4x2－8x1＝4，即x2＝2x1＋1，所以x2＋1＝2(x1＋1)，即|BF|＝2|AF|，所以＝.故选A. A. B. C.1 D.2 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝. 解析：抛物线y2＝8x,2p＝8，＝2，所以准线方程为x＝－2，焦点F(2,0)．设P，则Q，由于PQ∥x轴，QF平分∠PFO，所以∠PQF＝∠PFQ，所以|PQ|＝|PF|，即×2＝＋＝＋2，t2＝16，所以P的横坐标为＝＝2. 性质1：x1·x2＝. 性质2：y1·y2＝－p2. 性质3：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角). 性质4：＋＝为定值(F是抛物线的焦点). A.4 B. C.5 D.6 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，则sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故由弦长公式得|AB|＝＝. 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. A. B. C. D. 解析：由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.又原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△OAB＝|AB|·d＝×12×＝. A.5 B.6 C. D. 解析：法一　过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝. 法二　过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. A.2 B.2＋3 C.4 D.3＋2 解析：因为p＝2，所以＋＝＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2. 4．(2023·海南调研)[多选]已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　 ) A.＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点 解析：法一　如图，过点B作x＝－的垂线，垂足为B′，又F，直线l的斜率为， 则直线l的方程为y＝. 联立得12x2－20px＋3p2＝0. 解得xA＝，xB＝. 由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3.所以抛物线的方程为y2＝6x. 则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确； |BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝＝＝4，所以|BD|＝2|BF|，故C正确； |AF|＝|DF|＝6，则F为AD的中点，故D正确； 而＋＝，故A错误． 法二　设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，|AB|＝＝8，得p＝3. 所以|AF|＝＝6，|BF|＝＝2， ＋＝＝.在Rt△DB′B中，cos θ＝，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6.因此F为AD的中点. 解析：抛物线x2＝2py(p>0)的开口向上，由于M(x,4)在C上，且|MF|＝5，根据抛物线的定义可知4＋＝5，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.故选A. 3.(2024·娄底模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M(m,2)到其焦点的距离为4，则p＝(　 ) 解析：因为点M(m,2)在y2＝2px(p>0)上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又点M(2,2)到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，2＋＝4，得到p＝4，故选D. 谨记结论：常见抛物线的焦半径公式如下(p为焦准距)： (1)焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋； (2)焦点F在x轴负半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝－x0＋； (3)焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝y0＋； (4)焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝－y0＋. 5.(2024·盐城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线2x－y－4＝0交于A，B两点，且|AB|＝3.若抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝(　 ) A.7 B.7 C.6 D.5 解析：由题设，得x＝＋2，代入抛物线可得y2－py－4p＝0，所以yA＋yB＝p，yAyB＝－4p，则|AB|＝×＝3，则p2＋16p－36＝0，可得p＝－18(舍)或p＝2，故xA＋xB＝＋4＝5，由抛物线定义知|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝7.故选B. 7.[多选]在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　 ) A.C的准线方程为x＝ B.b＝ C.·＝2 D.＋＝ 解析：点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确； ·＝×＋1×＝1＋，故C错误；抛物线C的焦点F，则|AF|＝＝，|BF|＝＝，则＋＝＋＝，故D正确. 9.(2024·临沂模拟)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－2与抛物线交于点A，且|AF|＝.写出抛物线的一个标准方程____________ __________________________________. 解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－2)，由抛物线定义得＝|AF|＝.又∵(－2)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±4，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±8x. 10.已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，直线l：y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1·k2＝________. 解析：设切线斜率为k，M，则切线方程为y＋＝k(x－x0)，代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.因为Δ＝0，所以k2p2－2px0·k－p2＝0.k1，k2是以上方程的两个根，所以k1·k2＝－1. 11.(2024·邵阳模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－. (1)求抛物线的方程； (2)设直线y＝k(x－2)(k≠0)与抛物线相交于M，N两点，若|MN|＝2，求实数k的值. 解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，所以 －＝－，解得p＝1， 当Δ＝4(2k2＋1)2－4k2·4k2>0时，x1＋x2＝＝，x1x2＝4. |MN|＝|x1－x2|＝＝＝2， (2)过A作斜率为的直线与x轴交于点M，与直线OB交于点N(O为坐标原点)，求. 由x1＋x2＝－4，则直线l斜率为k＝＝＝＝－， 又F，T(1,0)，则k＝－，从而有－＝－，所以p＝2， 由得x2－4kx＋4k＝0，则Δ＝16k2－16k>0，解得k<0或k>1，又点A在第二象限，所以k<0，x1＋x2＝4k，x1x2＝4k. 设N(x3，y3)，由题意知AM：y－y1＝(x－x1)，OB：y＝x.联立解得y3＝， ＝＝1－＝1－， 将x1＋x2＝4k，x1x2＝4k，代入上式得1－＝1－＝1－＝2，即＝2. 解析：如图，l是抛物线的准线，作AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，设|FB|＝m，则|FA|＝3m，由抛物线定义知|AM|＝3m，|NB|＝m，过B作BC⊥AM，垂足为C，则易得|MC|＝|BN|＝m，所以|AC|＝2m，在Rt△ABC中，cos∠CAB＝＝＝，∠CAB＝60°，此时直线AB的倾斜角为60°，由对称性，直线AB的倾斜角也可为120°，故选C. B.若∠AOB＝，则直线m过定点(2p,0) C.若直线m经过焦点F，且|AF|＋4|BF|的最小值是9，则p＝3 D.若|AB|＝a(a为一常数且a≥2p)，则点M到y轴距离的最小值为 B 设直线AB的方程为x＝ny＋t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2－2pny－2pt＝0，则y1y2＝－2pt.∠AOB＝→x1x2＋y1y2＝0→＋y1y2＝0→y1y2＝－4p2，所以－2pt＝－4p2→t＝2p，所以直线m：x＝ny＋2p→过定点(2p,0) √ C 设直线AB的倾斜角为α，不妨令点A在第一象限，则由抛物线定义可得|AF|＝p＋|AF|cos α，|BF|＝p－|BF|cos α，则|AF|＝，|BF|＝，故＋＝，(微提醒：上述过程给出了这一性质的证明，即焦半径用直线倾斜角表示，在解选填题时是可以直接应用的)则|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)·＝≥＝9，因而p＝2，当且仅当|AF|＝2|BF|，即|AF|＝，|BF|＝时取得最小值，此时cos α＝ × D 过A，B，M分别作C的准线l的垂线， 垂足分别是A1，B1，M1，且MM1交y轴于点N，如图，|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)≥a，当AB过焦点F时取等号，(关注点：三角形两边之和大于第三边，因为a≥2p(通径长即最短焦点弦长)，所以能保证AB过焦点)这样M到y轴的距离|MN|≥(a－p)，故最小值为 √ 解：(1)设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，则F，将x＝代入y2＝2px，可得|y|＝p，所以2p＝4，则p＝2， 联立则y2－4my－4＝0， 直线AM的方程为y＝(x－1)＋2，即y＝(x－1)＋2. 令x＝－1，解得y＝. 直线BN的方程为y＝(x－1)－2，即y＝(x－1)－2. 令x＝－1，解得y＝， 因为＝－＝－＝1， $$