第8章 第5节 椭 圆(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

椭　圆 第五节 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.会解椭圆中的焦点三角形，会求椭圆的标准方程、离心率等. CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 课时跟踪检测 4 特训·微专题强化 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_______.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的______. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数. 椭圆 焦点 焦距 (1)若______，则集合P为椭圆. (2)若______，则集合P为线段. (3)若______，则集合P为空集. a>c a＝c a<c 2.椭圆的标准方程和几何性质 [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] 坐标轴 原点 2c (0,1) 续表 拓展教材 (1)设P为椭圆上任意一点，F1为椭圆的一个焦点，则 ①b≤|OP|≤a； ②a－c≤|PF1|≤a＋c. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 13 追根溯源 发现启迪 两题均为利用椭圆定义求解三角形周长问题，解决此类问题的关键是选择合适的方法对周长进行拆分.常用的拆分方法有利用定义拆分、利用特殊三角形拆分和利用对称拆分.高考题在求解中用到弦长公式，要求具备良好的数式运算技能. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 A.6 B.3 C.4 D.2 √ √ 4.(人B选择性必修①P139例2改编)已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为________. A.(5,7) B.(5,6) C.(6,7) D.(5,6)∪(6,7) √ 解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8. 4或8 课堂·题点精研 02 已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　 ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆. 题点一　椭圆的定义及其应用 √ 例 1 √ 例 2 1.椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等. 思维建模 1.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为(　 ) 针对训练 √ √ √ √ 15 规律方法：应用定义，|PF2|＋|PF1|＝2a，转化为|PF2|＝2a－|PF1|，动点到两定点距离之和有最小值(P在两定点之间)，到两定点距离之差有最小值和最大值(P在两点延长线上). (2024·武汉模拟)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且AB＝3，则椭圆C的标准方程为(　 ) 题点二　椭圆的标准方程 例 3 √ 例 4 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. 思维建模 A.若1<t<3，则C为椭圆 B.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则t<1 针对训练 √ √ 解析：当t＝2时，曲线C表示圆，故A错误，C正确；当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则t－1>3－t>0，解得2<t<3，故B正确；当曲线C为双曲线时，则(3－t)(t－1)<0，解得t<1或t>3，故D错误. √ 6.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：__________________. 考法(一)　离心率问题 题点三　椭圆的几何性质 例 5 √ 快审准解：作出示意图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，通过椭圆的定义m＋n＝2a，以及三角形的性质求出三角形边长，再利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值. 例 6 思维建模 考法(二)　与椭圆有关的范围(最值)问题 例 7 √ 解析：法一　由题意知B(0,1). 设点P的坐标为(x，y)(－1≤y≤1)， 则|PB|2＝x2＋(y－1)2.　① 例 8 4 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式； (4)利用一元二次方程的判别式.特别注意的是，求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系. 思维建模 针对训练 √ 03 特训·微专题强化 A.1 B.2 C.4 D.5 典例 √ A.2 B.4 C.6 D.12 应用体验 √ 解析：一般法解题： √ 又A(0,1)，F2(1,0)，∴kAF2＝－1. ∴直线AF2的方程为y＝－x＋1. 又点B(0，－1)， 二级结论解题： ∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形，即b＝c. 且∠AF2O＝45°.∴kMA＝－1. 解析：由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2. 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.1 B.2 C.5 D.9 解析：由题意得，c＝2，因为焦点在x轴上，所以a2＝5，b2＝m，由a2＝b2＋c2得5－m＝22，解得m＝1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2024·佳木斯开学考试)已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为(　 ) 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2023·阜阳三模)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.14 B.16 C.18 D.20 快审准解：设椭圆的左焦点为F′，由题可知|MF|＝|MF′|＝5，|AF|＋|AF′|＝2a＝8，利用|AM|－|AF′|≤|MF′|，即可得出. 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 △PF1F2的周长为2a＋2c<4a，故B正确； 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (1,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上.若△PF1F2的 面积最大为12，则椭圆的标准方程为____________. 快审准解：由题意可知当P在y轴上时，△PF1F2的面积最大，从而可求出b，再结合c可求出a，从而可求出椭圆的标准方程. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积； (2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：由|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5可知，不妨设|F2Q|＝m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m，又|PQ|＝|QF2|＋|PF2|＝4m，可得|PF2|＝3m，利用椭圆定义可知|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝6m，所以可得|PF1|＝3m，即|PF1|＝|PF2|＝3m，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，如图所示，由|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m，可知满足|PF1|2＋|PQ|2＝|F1Q|2，所以PF1⊥PF2，即A正确； 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2024·曲靖模拟)椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案如图所示，基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点).在平面直角坐标系xOy中，将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度， 即得“斜椭圆”C：x2＋y2－xy＝3，则“斜椭圆”的离心率为________. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)由题设AF2⊥F1F2及F1(－c,0)，F2(c,0)， 不妨设A(c，y0)(y0>0)， 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 范围 x∈_______，y∈_______ x∈_______，y∈________ 对称性 对称轴：_______；对称中心：_____ 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝____，且e∈_______ a，b，c的关系 c2＝a2－b2 (2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴. (3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴. (4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2). (5)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； ④|PF1||PF2|≤2＝a2； ⑤4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (2022·新课标Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______. (苏教选择性必修①P86T6)若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长. 1.(人A选择性必修①P112例4改编)椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　 ) 解析：椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6. 2.(人B选择性必修①P139例3改编)若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　 ) A.3 B.2＋ C.2 D.＋1 解析：由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3. 3.(人A选择性必修①P107例1改编)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，则它的标准方程为________. 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知2a＝＋＝2，所以a＝.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以椭圆的标准方程为＋＝1. ＋＝1 解析：因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以依据题意可知a＝2c，从而有e＝＝. B组——迷点盲点的澄清训练 1.(忽视参数的限制条件)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　 ) 解析：由题意可知解得5＜k＜7且k≠6. 2.(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. (2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　 ) A. B. C. D. 解析：法一　设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tan θ，由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tan θ＝，由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得yP2＝3，即xP2＝9×＝，因此|OP|＝＝＝.故选B. 法二　因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)，所以|OP|＝||＝|＋|，即||＝|＋|＝ ＝ ＝. （还可以利用三角形中线定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍的和，即2|OP|2＋|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝21，易知|F1F2|＝2，解得|OP|＝）故选B. A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0) 解析：∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为＋＝1(x≠0). 2.[多选]已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则(　 ) A.△PF1F2的周长为12 B.S△PF1F2＝2 C.点P到x轴的距离为 D.·＝2 解析：由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A错误； 在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B正确； 设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C正确； ·＝||·||·cos∠F1PF2＝6×＝2，故D正确. 3.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________. 解析：如图所示，在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1(－3,0)，F2(3,0).|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|). ∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max＝|MF2|＝＝5，此时|PM|＋|PF1|取最大值，最大值为10＋5＝15. A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋x2＝1 D.＋y2＝1 解析：由对称性知|AF2|＝|AB|＝，又|F1F2|＝2，则|AF1|＝＝＝，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，又c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.故选B. (2024·长沙一模)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，·＝0，且2＝＋.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的标准方程为 _______________. ＋＝1 解析：由·＝0可得∠BAF2＝90°，由2＝＋可得|BF1|＝|F1F2|，则△AF1F2是等边三角形，设|F1F2|＝2c，则a＝2c ①， 所以直线AB的方程为＋＝1，即bx－3cy＋3bc＝0，所以O到直线AB的距离为＝3 ②，又a2＝b2＋c2 ③，联立①②③，解得a2＝16，b2＝12，故椭圆C方程为＋＝1. 4.[多选]若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法正确的是(　 ) 5.(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B. 解析：由题意2c＝3，即c2＝，又a2－b2＝，例如a2＝3，则b2＝，标准方程可为＋＝1. ＋＝1(答案不唯一) (2024·南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为a，则椭圆离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，由题意可得|ON|＝a，|F2M|＝a，∠F1PF2＝60°，即有|PM|＝a，|PF2|＝a，由m＋n＝2a，可得|MF1|＝a，因为|F1F2|＝2c，在直角三角形F1MF2中，由勾股定理得a2＋2＝4c2，可得e＝＝.故选D. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是________. 快审准解：利用△PF1F2面积相等，得到|yP|＝，由此得到|yP|≤b消去b，整理化简求出离心率的取值范围. 解析：△PF1F2的面积为|F1F2|·|yP|，因为△PF1F2的内切圆半径为，所以△PF1F2面积可表示为(2a＋2c)×，所以×2c×|yP|＝(2a＋2c)×，解得|yP|＝，因为|yP|≤b，所以≤b，两边平方得2≤b2，又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，因为e＝，所以不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得0<e≤. 求椭圆离心率的一般策略 (1)直接利用公式e＝求解； (2)通过构造关于a，c的“齐次方程”来解决，构造关于的方程求解； (3)确定a，b，c的一个关系求离心率，椭圆e＝＝＝； (4)求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解. (2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　 ) A. B. C. D.2 由＋y2＝1，得x2＝5(1－y2).　② 把②代入①，得|PB|2＝5(1－y2)＋(y－1)2＝－42＋(－1≤y≤1).易知当y＝－时，|PB|max＝.故选A. 法二　由题意知B(0,1).设点P(cos θ，sin θ)，θ为参数，则|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－4sin2θ－2sin θ＋6.又因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝－时，(|PB|2)max＝－＋＋6＝，所以|PB|max＝.故选A. 谨记结论：椭圆的参数方程：＋＝1(a>b>0)⇒ 如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________. 解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－≤y0≤，代入＋＝1，得y02＝3－x02.因为F(－1,0)，A(2,0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x02－x0－2＋y02＝x02－x0＋1＝(x0－2)2，所以当x0＝－2时，·取得最大值4. 7.(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：法一　设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝　(*).因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，代入(*)式，得＝，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝＝.故选A. 法二　设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A. 8.(2024·阜阳期末)已知椭圆 C的焦点为F1，F2，P为C上一点，满足∠F1PF2＝，则C 的离心率的取值范围是________. 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，在△F1PF2中，∠F1PF2＝，有|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，得r12＋r22－r1r2＝4c2， 即(r1＋r2)2－3r1r2＝4c2，故r1r2＝(a2－c2)，因为r12＋r22≥2r1r2，即r12＋r22－r1r2≥r1r2，当且仅当r1＝r2时取等号，故4c2≥(a2－c2)，即4c2≥a2，故2≥，解得e≥，由0<e<1，所以C的离心率的取值范围是. 9.设点M是椭圆C：＋＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________. 解析：由题可知E(1,0)，|NE|＝1，设M(x0，y0)，＋＝1⇒y02＝8，－3≤x0≤3， 则|MN|＝＝＝＝＝＝＝，∴当x0＝3时，|MN|min＝＝. 椭圆中的二级结论的应用 1.焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则椭圆中S△PF1F2＝b2·tan. 2.焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝. 3.周角定理：已知点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或短轴)端点，则kPA·kPB＝－. 4.过椭圆上一点的切线方程：已知点P(x0，y0) 为焦点在x轴上的椭圆上任一点，则过点P与椭圆相切的切线方程为＋＝1. 5.椭圆的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，e为椭圆的离心率，则|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝a－exP. (2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) [解题观摩] 一般法解题： 因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B. 二级结论解题： 因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan，得|PF1|·|PF2|＝1×tan，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B. 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　 ) 解析：由e＝，得＝，即a＝2c.设△F1PF2的内切圆半径为r，则由△F1PF2的内切圆的面积为3π，可得πr2＝3π，解得r＝(舍负).在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2＝b2tan＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c).结合a2＝b2＋c2，易得a＝6.所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.故选D. 2.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　 ) A. B. C.－1 D.－ 由题意，椭圆＋＝1(a>b>0)，∠F1AF2＝90°， 在Rt△OAF2中，|OA|＝b，|AF2|＝a，∠OAF2＝45°， ∴a＝b，不妨设b＝1，则a＝，c＝1， 则椭圆的方程为＋y2＝1. 联立方程组整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝. 把x＝代入直线y＝－x＋1， 解得y＝－，即M. ∴BM的斜率kBM＝＝. ∴a2＝2b2＝2c2.∴＝， 又kMA·kMB＝－＝－， ∴kMB＝. － 3.已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝______，cos∠F1AB＝________. 又＋＝，即＋＝， 解得|BF2|＝.所以|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝. 由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6，|BF1|＝8－＝.在△AF1B中，由余弦定理，得 cos∠F1AB＝＝－. 1.已知椭圆C：＋＝1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0)，则m＝(　 ) 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　 ) A. B. C. D. 解析：由e2＝e1，得e22＝3e12.因此＝3×.因为a＞1，所以a＝. 3.若k∈R，则“－2<k<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　 ) 解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得－2<k<－1或－1<k<2，所以“－2<k<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B. A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 解析：令x＝0，可得y＝－3；令y＝0，可得x＝2.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为(0，－3)，(2,0).因为|－3|>2，所以椭圆的焦点在y轴上.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.故选C. A. B. C. D. 解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，且b2＝a2－c2，e＝>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝.故选C. 6.(2024·曲靖模拟)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，A是椭圆上一点，点M(0,4)，则△AMF的周长最大值为(　 ) 解析：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，则F(3,0)，F′(－3,0)，|MF|＝＝5＝|MF′|，则|AF|＋|AF′|＝8，∵|AM|－|AF′|≤|MF′|，∴△AMF的周长＝|AF|＋|AM|＋|MF|＝|MF|＋8＋|AM|－|AF′|≤5＋8＋5＝18. 7.[多选]已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则(　 ) A.当a＝b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个 B.△PF1F2的周长一定小于4a C.△PF1F2的面积可以大于 D.若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 快审准解：当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，计算得到A正确；△PF1F2的周长为2a＋2c<4a，故B正确；面积为|F1F2||yP|≤，C错误；根据a＋c≤2b计算离心率得到D正确，得到答案. 解析：当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，此时，若a＝b，则b＝c，所以∠F1PF2＝90°，故A正确； △PF1F2的面积为|F1F2||yP|≤bc≤＝，故C错误； 因为a－c≤|PF1|≤a＋c，所以a＋c≤2b，可得5c2＋2ac－3a2≤0，得5e2＋2e－3≤0，得－1≤e≤，又e∈(0,1)，所以e∈，故D正确.故选ABD. 8.若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________. 解析：因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，所以3－k＞k－1＞0，解得1＜k＜2. 9.(2024·济南联考)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为________. 解析：由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，因为点F2为线段AB的中点，所以AB⊥F1F2，所以|AB|＝＝1，所以S△AF1B＝|AB|·|F1F2|＝. 解析：如图，当P在y轴上时，△PF1F2的面积最大，所以×8b＝12，所以b＝3. ＋＝1 又c＝4，所以a2＝b2＋c2＝25， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 11.已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点. 解：(1)因为点M(1，m)在椭圆上，所以＋m2＝1，因为m>0，所以m＝， 因为a＝2，b＝1，所以c＝＝， 所以F1(－，0)，F2(，0)， 所以S△F1MF2＝|F1F2|m＝×2×＝. (2)因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝， 因为∠F1MF2是钝角，所以(x0＋)2＋y02＋(x0－)2＋y02－12<0，又因为y02＝1－，所以x02<，解得－<x0<，故横坐标x0的范围为. 12.椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点(，0)且短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点(2,1)且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长. 解：(1)由题意设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆经过点(，0)且短轴长为2，所以a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由已知得直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝x－1代入＋y2＝1，得3x2－4x＝0，易得Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0，所以|AB|＝ ＝·＝. 13.[多选]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C交于P，Q两点，若|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5，则(　 ) A.PF1⊥PF2 B.△QF1F2的面积等于 C.直线l的斜率为 D.C的离心率等于 所以△PF1F2为等腰直角三角形，且|PF1|＝3m＝a，因此△QF1F2的面积为S△QF1F2＝S△QF1P－S△PF1F2＝|PQ||PF1|－|PF2|·|PF1|＝6m2－m2＝m2＝a2，即B正确； 此时可得直线l的斜率kPQ＝kPF2＝－1，即C错误； 在等腰Rt△PF1F2中，易知a2＋a2＝(2c)2，即可得离心率e＝＝，即D正确. 14.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：由题知，如图所示，设P，F1(－c,0)，F2(c,0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，得m2＝4c2－2＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥.又0<e<1，所以≤e<1.故选D. 解析：设“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，由基本不等式|xy|≤可得－≤xy≤，所以－≤xy＝x2＋y2－3≤，解得2≤x2＋y2≤6，当且仅当x＝y＝±时，x2＋y2＝6成立，当且仅当x＝－y＝±1时，x2＋y2＝2成立，所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆离心率为 ＝. 16.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|. (1)求椭圆E的离心率； (2)平面上点B满足＝＋，过F1与AB平行的直线交E于M，N两点，若|MN|＝3，求椭圆E的方程. 所以＋＝1，＋＝1， 解得y0＝或y0＝－(舍去)，从而A， 直线AF1的方程为y＝(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c＝0，原点O到直线AF1的距离为＝，将c2＝a2－b2代入整理得a2＝2b2，即a＝b＝c，所以离心率e＝. (2)由(1)问可设椭圆方程为＋＝1，则A，因为＝＋，所以四边形AF2BF1为平行四边形， 所以直线AB过O点，则AB的斜率为，则设直线MN的方程为y＝(x＋c)， 联立椭圆方程得2x2＋2cx－c2＝0，显然Δ>0， 则xM＋xN＝－c，xMxN＝－， 则|MN|＝|xM－xN|＝ ＝3， 解得c＝2(负值舍去)，所以b＝2，a＝2， 所以椭圆E的方程为＋＝1. $$