第7章 第2节 与球有关的切、接问题(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

与球有关的切、接问题 第二节 研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心. 题点一　外接球 一 CONTENTS 目录 题点二　内切球 二 课时跟踪检测 三 方法(一)　定义法 题点一　外接球 √ 例 1 A.100π B.128π C.144π D.192π 由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等.由此可得到以下结论 (1)正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点； (2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； (4)正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置计算可得； 思维建模 (5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心； (6)圆柱的外接球是指圆柱的上、下底面的圆周都在一个球的球面上，圆柱的外接球的球心在上、下两底面圆的圆心连线的中点处，正棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球. 方法(二)　补形法 例 2 (2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________. 2 常用的补形方法 (1)对于正四面体，通常把它补成正方体.若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体. (2)对于从同一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体，通常可考虑把它补成长方体或正方体. (3)几何体的补形要围绕着已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等. 思维建模 方法(三)　截面法 例 3 (2024·郴州模拟)已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为(　 ) √ 截面法定球心的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径. (2)通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 思维建模 1.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　 ) A.12π B.16π C.20π D.24π 针对训练 √ 2.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为(　 ) √ 在四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，则四面体ABCD内切球的半径为(　 ) 题点二　内切球 例 4 √ 1.“切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的常用方法. 思维建模 2.内切球问题 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球球心在高线上. (4)体积分割法是求内切球半径的常用方法. 4.(2024·泰安模拟)将半径为4，圆心角为π的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的表面积为(　 ) 针对训练 √ 快审准解：先算出扇形的弧长，从而可得圆锥底面的半径，故可求轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，最后根据公式可求体积. ∵球与正三棱柱的三个侧面相切， ∴球的大圆为棱柱底面正三角形的内切圆， ∵球与正三棱柱的两个底面相切， ∴棱柱的高为2R＝4， 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1.若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.32π B.16π C.12π D.8π 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.4π B.8π C.16π D.32π 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.24π B.28π C.30π D.32π 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为(　 ) 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.40π B.80π C.30π D.60π 2 3 4 √ 如图，取△ABC，△A1B1C1外接圆的圆心O，O2， 正三棱台ABC-A1B1C1外接球的球心O1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 规律方法：对于三棱台外接球问题，可先分别找出三棱台上、下底面的外接圆圆心及半径，再根据外接球球心在两圆心连线所在的直线上及球心到棱台各个顶点的距离均为半径，列方程求解.注意题眼“正三棱台”，△ABC，△A1B1C1均为正三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 √ 快审准解：作图，分外接球的球心在锥内和锥外2种情况，运用勾股定理分别计算. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.(2024·衡水模拟)如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AB＝4，AF＝1，若G是线段EF上的动点，则三棱锥C-ABG的外接球表面积的最小值是(　 ) 2 3 4 √ A.16π B.20π C.32π D.36π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为(　 ) A.7∶4 B.2∶1 C.3∶1 D.5∶3 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析：要求正三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比，就要想办法将两个球体的半径用同一个变量表示出来. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (难点：圆柱轴截面(矩形)的外接圆是圆柱外接球的大圆，该矩形的对角线(外接圆的直径)是外接球的直径，圆柱的外接球的球心在上、下两底面圆的圆心连线的中点处) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，圆柱的表面积为54π，则球O的体积为________. 2 3 4 36π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析：由PA⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC.又AC⊥AB，所以PA，AB，AC两两垂直，故可将三棱锥P-ABC补全为长方体，如图所示，故三棱锥P-ABC的外接球，即为长方体的外接球.令三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则满足(2R)2＝PA2＋AB2＋AC2＝31，所以外接球表面积为4πR2＝31π. 2 3 4 31π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为____________. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为________. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn (2022·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　 ) 解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO12＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π. 解析：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝. 将三棱锥S－ABC补形为正三棱柱SB1C1－ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA. 又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OO12＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2. A.π B.5π C.π D.7π 解析：如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，设AB的中点为O1，CD的中点为O，则O为球心，O1A＝1.连接OO1，OA，设圆台的高为h，由题意知球O的半径 R＝OA＝OD＝2，(注意：圆台外接球的半径即其轴截面外接圆的半径)则在Rt△OO1A中，h＝OO1＝＝＝，所以圆台的体积V＝×(22×π＋＋12×π)×＝.故选C. 解析：将三棱锥还原成直三棱柱，D′，D为上、下底面的外心，O为DD′的中点，AD为底面外接圆的半径，则三棱柱的外接球即为球O，由余弦定理得BC＝＝2，由正弦定理得2AD＝＝4， 由OD＝1，AD＝2，得AO＝，即球O的半径r＝，所以球O的表面积为S＝4πr2＝20π.故选C. A. B. C. D. 解析：如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O-ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝. 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD＝3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1＝______. 2 解析：由该三棱柱的外接球O的表面积为12π，设外接球的半径为r，则4πr2＝12π，解得r＝.由题意，取上、下底面三角形的中心分别为E，F，EF的中点即为外接球球心O，如图所示，则OC＝r＝，EF⊥平面ABC，EF＝AA1＝2OF，∵CF⊂平面ABC，∴OF⊥CF，在等边△ABC中，CF＝·BC·sin 60°＝1，在Rt△OFC中，OF＝＝，∴AA1＝2OF＝2. A. B. C. D. 解析：　因为BA，BC，BD两两垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，所以AC＝AD＝，CD＝2.如图，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，(小技巧：见等腰，取中点，“垂直现形”)所以AE＝＝，△ACD的面积为×2×＝，所以四面体ABCD的表面积S＝×1×2×2＋×2×2＋＝4＋. 设四面体ABCD内切球的球心为O，半径为r，则VA-BCD＝VO-ABC＋VO-BCD＋VO-ABD＋VO-ACD，(小技巧：利用等体积法，把四面体ABCD的体积看成四个小三棱锥的体积的和)所以×1××22＝S×r，所以＝(4＋)×r，解得r＝，所以四面体ABCD内切球的半径为，故选C. A.2π B.3π C.π D.4π 解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意可得l＝4，由2πr＝4π，所以r＝2.因为l＝2r，所以圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，该等边三角形(如图)的内切圆半径为圆锥内切球半径R，而等边三角形的边长为4，故R＝＝，故S＝4πR2＝π.故选C. 72 5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的表面积是________. 解析：设球O的半径为R，则＝，解得R＝2， ∴棱柱的底面边长为2R＝4， ∴三棱柱的表面积S＝S底＋S侧＝2××4×4×＋3×4×4＝72. 谨记结论：(1)正方体与球的切、接常用结论 设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a. A. B. C. D.3π 解析：因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以球的直径为，即半径r＝，故其体积为V＝·r3＝×3＝.故选C. A.4π B.(8＋6)π C.10π D.(10＋4)π 解析：由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，根据圆柱和球的对称性可得r＝＝，所以圆柱的表面积S＝2π×()2＋2π××2＝(10＋4)π. 2.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为(　 ) 3.(2024·汉中模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA1＝2，则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为(　 ) 解析：把三棱柱放入长方体中，如图所示，则长方体的外接球即是三棱柱的外接球，∵AB＝1，BC＝，AA1＝2，∴长方体的外接球半径R＝＝，∴三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为，∴其表面积S＝4πR2＝4π()2＝8π. 4.(2024·烟台模拟)已知圆锥的侧面积为4π，高为2，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为(　 ) A.8π B.8π C.9π D.9π 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则解得r＝2，l＝2，由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小，设外接球的半径为R，则(2－R)2＋22＝R2，解得R＝，所以外接球的体积为πR3＝π×3＝9π.故选D. 5.已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　 ) A.3π B.5π C.8π D.9π 解析：选C　设圆台的上底面圆半径为r，则下底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面.由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切，故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r.根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，所以球的直径为HG＝2，故半径为，表面积为8π.故选C. 6.(2024·潍坊模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥内切球的表面积为(　 ) 解析：圆锥与内切球的轴截面图如图所示，设点O为球心， 内切球的半径为r，D，E为切点，OD＝OE＝r，由条件可知， BE＝BD＝2，所以AB＝＝6，Rt△ADO中， AO2＝AD2＋DO2，即(4－r)2＝(6－2)2＋r2，解得r＝， 所以圆锥内切球的表面积S＝4πr2＝8π.故选B. 7.(2024·保定期末)某正三棱柱的侧棱长是4，底面边长是2，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　 ) 解析：∵正三棱柱底面边长为2，∴底面三角形外接圆半径r＝×＝2，(利用正弦定理得三角形的外接圆的半径，也可以利用正三角形的外接圆半径为其高的，得r＝××2＝2)又正三棱柱的侧棱长为4，即正三棱柱的高h＝4，∴球O的半径R＝＝＝2，(正棱柱的外接球的球心在上、下底面的中心连线的中点处)球O的表面积S＝4πR2＝32π.故选D. A. B. C. D. 解析：由题意得l＝10，h＝8，设圆锥的底面圆半径为r， 则r＝＝6，则圆锥的侧面积为πrl＝60π， 故圆锥的表面积为πrl＋πr2＝60π＋36π＝96π. 设圆锥的内切球球心为H，过点H作HM⊥AC于点M，设内切球的半径为R，则HM＝HO＝R，因为CH＝8－R，所以＝，即＝，解得R＝3，故内切球的表面积为4πR2＝36π，则圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为＝.故选B. 9.(2024·武汉模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面面积分别为，9，若AA1＝，则该正三棱台的外接球的表面积为(　 ) 解析：若正三角形的边长为a，则其面积为×a×a×＝a2，结合题意，不妨令AB＝3，A1B1＝6. 设正三棱台外接球的半径为R，则O1A＝O1A1＝R， 可得 连接OA，OO2，O1A，O1A1，O2A1，设点A在底面上的射影为M，连接AM，易知M在O2A1上，OA＝O2M＝，O2A1＝2，则MA1＝，由AA1＝，可得OO2＝MA＝＝3.(利用图形的直观性，求出正三棱台的高) (由于△AOO1与△O1O2A1为直角三角形，利用勾股定理，即可得关于R，OO1的方程组)解得所以该正三棱台的外接球的表面积S＝4πR2＝60π.故选D. 10.(2024·唐山模拟)已知侧棱长为2的正四棱锥各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36π，则该正四棱锥的体积为(　 ) A. B. C. D. 解析：设四棱锥为P-ABCD，底面ABCD的中心为O，设外接球的半径为R，底面正方形的边长为2a，四棱锥的高为PO＝h，则4πR2＝36π，R＝3，BO＝a，当外接球的球心在锥内时为O1， 在Rt△POB中，BO2＋PO2＝PB2，即2a2＋h2＝12　①，在Rt△BOO1中，OO12＋BO2＝BO12，即(h－3)2＋2a2＝32　②，联立①②，解得a＝2，h＝2<R(舍去)；当外接球的球心在锥外时为O2，在Rt△POB中，BO2＋PO2＝PB2，即2a2＋h2＝12　③，在Rt△BOO2中，BO2＋OO22＝BO22，即2a2＋(3－h)2＝32　④，联立③④解得a＝2，h＝2，四棱锥的体积VP-ABCD＝×(2×2)2×2＝.故选D. 解析：由题意可知，设△ABG的外接圆半径为r，由正弦定理，知2r＝＝，当∠AGB＝时，r取得最小值2，此时外接球半径R满足R2＝r2＋22≥8，解得R≥2或R≤－2(舍去).所以三棱锥C-ABG的外接球的最小半径为2.所以外接球表面积的最小值为4πR2＝32π.故选C. 如图，连接OC，OP，设正三棱锥P-ABC的 底面边长为2a，高为h，圆柱的外接球半径为R，则圆柱的高为，所以△ABC的外接圆的半径为OC＝＝a，所以圆柱的底面圆半径为×a＝a， (重点：根据“圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点”，可知圆柱的底面圆半径为△ABC的外接圆半径的一半)则R＝，又h＝2R＝2＝，所以h＝a，所以R＝a. 设正三棱锥P-ABC的外接球的半径为r，则球心到底面距离为h－r，由勾股定理得r2＝(h－r)2＋2，得r＝a，故＝＝.故选A. 解析：设球的半径为r，则圆柱的底面直径和高皆为2r，故圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝54π，所以r＝3，故球的体积为πr3＝36π. 14.(2024·邵阳模拟)在三棱锥P-ABC中， PA⊥平面ABC，PA＝4，AC＝2AB＝2，AC⊥AB，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________. 15.已知三棱锥S-ABC外接球O的体积为288π，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，cos∠CBA＝，则三棱锥S-ABC体积的最大值为________. 解析：在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠CBA，解得BC＝10.因为AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB，所以Rt△BAC的外接圆半径为5.设外接球的半径为R，因为πR3＝288π，故R＝6.球心O到平面ABC的距离d＝＝，当平面SBC⊥平面ABC时，三棱锥S-ABC的体积最大，为××(6＋)＝48＋8. 48＋8 (48－32)π 解析：依题意，作圆锥的轴截面为等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，圆锥的底面半径为2，则其母线长为2，设圆锥的内切球半径为r，则×2r＋×2r＋×4×r＝×4×2，所以r＝2(－1)，所以内切球的表面积为4πr2＝16(3－2)π＝(48－32)π. 解析：该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大. 18.已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为________. π 解析：由题意，将侧面△ABC和△ACD沿AC边展开成平面图形，如图所示.设正四面体的棱长为a，则BP＋PE的最小值为BE＝ ＝a＝，得a＝2， 所以正四面体的高为 ＝，所以正四面体的体积为××8×＝，设该四面体内切球的半径为r，则4×××8×r＝，解得r＝，所以该四面体内切球的体积为π×3＝π. $$