第2章 第7节 指数函数(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

指数函数 第七节 1．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题． 2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为___；值域为____________ 图象过定点_____，即当x＝____时，y＝____ 当x>0时，恒有_____； 当x<0时，恒有________ 当x>0时，恒有________； 当x<0时，恒有____ 在R上为增函数 在R上为减函数 续表 R (0，＋∞) (0,1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 (4)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( ) A．c>a>b　　　B．c>b>a C．a>b>c　　　D．b>a>c 追根溯源 (人A必修①P119T6)比较下列各题中两个值的大小： (1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.012.7,1.013.5；(4)0.993.3,0.994.5. 发现启迪 高考题和教材习题的考查角度完全相同，都是考查利用指数函数的单调性比较大小，只不过高考题的综合性较强，同时考查了幂函数的单调性. √ 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数也必定经过点(　 ) √ 解析:由题意设f(x)=ax,则f(-1)=a-1=2,所以a=,f(x)=,故f(3)=. 2．(人A必修①P116“探究结论”的应用：指数函数的图象变换)函数y＝2x＋1的图象是(　 ) √ 解析：易知函数y＝2x＋1是增函数，可排除选项B、D，又当x＝0时，y＝2，故选A. 3．(人A必修①P117例3改编)设a＝1.70.3，b＝0.93.1，c＝0.91.7，则a，b，c的大小关系是(　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：易得1.70.3>1，y＝0.9x在定义域内是减函数，则b<c<1， 故a>c>b. √ 4．(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)＝3|x|＋1的值域为__________． 解析：因为|x|≥0，所以3|x|≥1，所以f(x)≥2. [2，＋∞) √ 2．(忽视函数值域的隐含条件) 已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是(　 ) A．[2,4] B．(－∞，0] C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2] √ 解析:令t=2x(t>0),则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=. 当x∈[2,4]时,t∈[4,16],此时y∈[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]时,t∈(0,1],此时y∈[1,3),不满足题意;当x∈(0,1]∪[2,4]时, t∈(1,2]∪[4,16],此时y∈∪[7,211],不满足题意; 当x∈(-∞,0]∪[1,2]时,t∈(0,1]∪[2,4],此时y∈[1,7],满足题意.故选D. 课堂·题点精研 02 已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象 如图所示,则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　 ) 题点一　指数函数的图象及其应用 例 1 √ 解析：易知f(x)＝(x－a)(x－b)的函数图象与x轴的交点的横坐标为(x－a)(x－b)＝0的两个根，由(x－a)(x－b)＝0可得两根为a，b，观察f(x)＝(x－a)(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－1,0)与(1，＋∞)上，又∵a>b，∴a>1，－1<b<0，由g(x)＝ax＋b可知，当a>1时，y＝ax为增函数，又由－1<b<0得g(x)的图象与y轴的交点在x轴上方，分析选项可得C符合这两点. 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有且只有两个公共点，则a的一个取值可以是_______________． 例 2 应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 思维建模 1．函数y＝2|x|－1的图象大致为(　 ) 针对训练 √ 解析：设y＝f(x)＝2|x|－1，因为f(－x)＝2|－x|－1＝2|x|－1＝f(x)，所以函数y＝2|x|－1是偶函数，图象关于y轴对称，当x≥0时，f(x)＝2x－1，此时函数单调递增，所以有 f(x)≥f(0)＝0，所以选项B符合，故选B. 2．[多选] 已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系正确的是(　 ) A．a<b 　　 B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| 　　 D．若0<a<log32，则ab<ba √ √ √ 解析：如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B、C正确；D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确. 3.若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为____________． (－∞，－2] 解析:y=21-x+m=+m,函数y=的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤-2.故m的取值范围为(-∞,-2]. 题点二　指数函数的性质及其应用 例 3 √ 考法(一)　比较指数式大小　 解析:因为函数y=在R上单调递减,<<,所以a>b>1.因为函数y=ax(a>1)在R上为增函数,所以aa>ab.又y=xb(b>1)在(0,+∞)上单调递增,所以ab>bb,综上,aa>ab>bb. 例 4 若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　 ) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 √ 解析：∵ea＋πb≥e－b＋π－a， ∴ea－π－a≥e－b－πb，(*) 令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0. √ √ 比较指数式大小的常用方法 思维建模 单调性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系 考法(二)　解简单的指数不等式 例 5 √ 若x满足不等式≤,则函数y=2x的值域是(　 ) A. B. C. D.[2,+∞) 解析:由≤可得≤3-2(x-2),因为y=3x在R上单调递增,所以x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,所以2-3≤2x≤21, 即函数y=2x的值域是,故选B. 解指数不等式的常用方法 思维建模 性质法 解形如ax>ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论 隐含性质法 解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解 图象法 解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解 考法(三)　指数函数性质的综合应用　 例 6 若函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为(　 ) A.(1,2) B.(0,1) C.(1,4] D.(-∞,4] √ 例 7 √ √ 解指数型函数的性质问题的策略 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解. 思维建模 针对训练 4．若a＝0.50.7，b＝0.70.5，c＝1.10.1，则a，b，c的大小关系是(　 ) A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b √ 解析：∵y＝0.5x在R上是减函数， ∴0<0.50.7<0.50.5，∵y＝x0.5 在[0，＋∞)上是增函数，y＝0.7x在R上是减函数，∴0.50.5<0.70.5<0.70＝1，则0.50.7<0.70.5，即0<a<b<1.又y＝1.1x在R上是增函数，∴1.10.1>1.10＝1，即c>1，综上所述，可知c>b>a，故选B. √ √ √ √ 6.[多选]已知函数f(x)=,则(　 ) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增 D.f()>f(4) 解析:令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u∈[-1,+∞).对于选项A,f(x)的定义域与u=x2+4x+3的定义域相同,均为R,故A正确; 对于选项B,因为y=,u∈[-1,+∞)的值域为(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故B正确; 对于选项C、D,因为u=x2+4x+3在[-2,+∞)上单调递增,且y=,u∈[-1,+∞)在定义域上单调递减,所以根据复合函数单调性法则,得函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以C不正确,D正确.故选ABD. 特训·微专题强化 03 “换元法”在解题中的妙用 换元法是一种常用的解题方法，一方面，通过换元把复杂的转化为相对简单的或熟悉的知识，便于求解；另一方面，在运用换元法解题时要特别注意新“元”的取值范围对解题的影响，忽视这一点往往会造成解题上的失误，常在求函数解析式、最值、判断复合函数单调性等处应用. 应用体验 √ 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1， √ 解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞). √ 解析:若存在实数x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,即-m·=-+m·,所以+=2m,令t=(t>0),则+t2=2m,令λ=+t (λ≥2),所以2m=λ-,令g(λ)=λ-(λ≥2),易知g(λ)在区间[2,+∞)上单调递增,所以2m≥2-=1,故m≥.故选B. 4．(求指数型函数值域) 函数f(x)＝4x－2x＋2，x∈[－1,2]的值域为________． [－4,0] 解析:y=cos2x-sin x=1-sin2x-sin x=-+,因为-≤x≤,所以-≤sin x≤.所以当sin x=-,即x=-时,函数取得最大值为,当sin x=,即x=时,函数取得最小值为. 课时跟踪检测 04 1．函数f(x)＝ax－2＋1(其中a>0，a≠1)的图象恒过的定点是(　 ) A．(2,1) B．(2,2) C．(1,1) D．(1,2) 解析：令x－2＝0，得x＝2，f(2)＝2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：∵y＝0.4x为减函数，∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，又20.2>1， 即a>b>c. 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 7 8 3.已知函数f(x)=4x-,则f(x)(　 ) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 解析: f(x)=4x-=4x-4-x的定义域为R,f(-x)=4-x-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(x)=4x-,所以f(x)在R上单调递增. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 4．[多选] 已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　 ) 2 3 4 √ √ 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 解析:由于当x=1时,f(1)=a-2a=-a<0,排除B、C,当a=2时,f(x)=2x-4,此时函数图象对应的图形可能为A,当a=时,f(x)=-1,此时函数图象对应的图形可能为D. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 对任意的x∈R，y＝1＋e－x>1，且函数y＝1＋e－x在R上单调递减，故函数f(x)是增函数，故D正确. 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是(　 ) A．(－2，－1) B．(－1,1) C．(－1,2) D．(1，＋∞) 2 3 4 √ 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，因为y＝3x＋1，y＝4x＋5都经过A(1,9)，B(－1，1)，当－1<x<1时，y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1，1)，故选B. 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 2x(答案不唯一) 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (－∞，1] 7 8 9.函数f(x)=的单调递减区间为　　 　.  解析:设u=-x2+2x+1,∵y=在R上为减函数, ∴函数f(x)=的单调递减区间即为函数u=-x2+2x+1的单调递增区间. 又u=-x2+2x+1的单调递增区间为(-∞,1], ∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1]. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 10.若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围为　 　　　. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 解析:因为函数y=是R上的减函数,所以由复合函数的单调性可知,函数y=-x2+4ax在区间(1,2)上单调递减,函数y=-x2+4ax的对称轴为x=2a,且开口向下,所以有2a≤1,得a的取值范围为. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11．已知函数f(x)＝4x－a·2x－1＋4. (1)若a＝4，求f(x)在[0,1]上的值域； (2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围． 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)当a＝4时，f(x)＝4x－2·2x＋4＝(2x－1)2＋3，令2x＝t，则y＝(t－1)2＋3. ∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，即t∈[1,2]， 而y＝(t－1)2＋3的对称轴为t＝1， ∴函数y＝(t－1)2＋3在[1,2]上单调递增， ∴3≤(t－1)2＋3≤4，即3≤f(x)≤4. ∴f(x)在[0,1]上的值域为[3,4]． 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 12.已知定义在R上的函数f(x)=2x-k是奇函数. (1)求实数k; (2)若不等式f(x2+tx)+f(4-x)>0恒成立,求实数t的取值范围. 解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴1-k=0,则k=1.f(x)=2x-满足f(-x)=-f(x),∴k=1成立. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 (2)f(x)=2x-中,函数y=在R上单调递减,y=2x在R上单调递增,故f(x)=2x-在R上单调递增.原不等式化为f(x2+tx)>f(x-4),∴x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0恒成立,∴Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.∴实数t的取值范围为(-3,5). 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13．(2024·泰安模拟) [多选] 已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　 ) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 √ √ 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 7 8 14.[多选]已知函数f(x)=a·+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(　 ) A.a+b=0 B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 C.若x<y<0,则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 解析:∵函数f(x)=a·+b的图象过原点,∴a+b=0,即b=-a,f(x)=a·-a,且f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,∴b=2,a=-2,f(x)=-2·+2, 故A正确; 由于f(x)为偶函数,故若f(x)=f(y),且x≠y,则x=-y,即x+y=0,故B正确; 由于在(-∞,0)上,f(x)=2-2·2x单调递减,故若x<y<0,则f(x)>f(y),故C错误; 由于∈(0,1],∴f(x)=-2·+2∈[0,2),故D正确.故选ABD. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 解:(1)证明:设任意的实数x1,x2,x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==, 因为x1,x2∈R,x1<x2,所以->0,(+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是R上的减函数. 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 (2)假设函数f(x)的图象存在对称中心(a,b), 则g(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点中心对称,由于函数的定义域为R, 所以g(-x)+g(x)=-b+-b=0恒成立,即(1-2b)(2x+a+2-x+a)+2-2b-2b·22a=0恒成立, 1 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 8 所以解得a=0,b=, 所以函数f(x)的图象存在对称中心. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn [微点提醒] (1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． A.　　　　　 B. C．(1,2)　　　　　 D. B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽略对底数分类讨论) 若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[－2,2]上的最大值和最小值的和为，则a的值为(　 ) A. B． C. D．或 解析：当0<a<1时，函数f(x)＝ax在[－2，2]上单调递减，则f(x)max＋f(x)min＝f(－2)＋f(2)＝＋a2＝，解得a＝，当a>1时，函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递增，则f(x)max＋f(x)min＝f(2)＋f(－2)＝a2＋＝， 解得a＝.综上，a＝或.故选D. (答案不唯一) 解析：当a>1时，作出函数y＝|ax－1|的图象(如图1)，要使直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则0<2a<1，解得0<a<.综上，可知a无解．当0<a<1时，作出函数y＝|ax－1|的图象(如图2)，要使直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则0<2a<1，解得0<a<.故a的一个取值可以是. 已知<<,则 (　 ) A.aa>ab>bb B.aa>bb>ab C.bb>aa>ab D.ab>bb>aa 规律方法 若不等式两边结构相同，可构造函数，通过函数的单调性，判断指数式的大小． 应用体验 [多选] 若3x－3y<4－x－4－y，则下列结论正确的是( ) A.<　　　　 B．x<y C．2－y<2－x D．y－3>x－3 解析：令t＝2x2－ax＋1，则y＝at，t＝2x2－ax＋1的对称轴为x＝，则t＝2x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增． 当0<a<1时，y＝at在定义域内单调递减，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．因为f(x)在(1,3)上单调递增， 所以不等式无解．当a>1时，y＝at在定义域内单调递增，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．因为f(x)在(1,3)上单调递增，所以解得1<a≤4.综上，实数a的取值范围为(1,4]．故选C. [多选] 已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　 ) A．f(x)的图象关于坐标原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的最大值为1 D．f(x)在定义域上单调递减 解析：因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； 因为f(1)＝＝－，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，所以f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确； 因为f(x)＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递减，故D正确. 因为f(x)＝－＝－1＋，又3x>0，所以3x＋1>1， 所以0<<2，所以f(x)∈(－1,1)，故C不正确； 5．若f(x)＝e－x－aex为奇函数，则f(x)≤－e的解集为(　 ) A．(－∞，2] B．(－∞，1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：由f(x)＝e－x－aex为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝(ex＋e－x)－a(e－x＋ex)＝0，解得a＝1，于是f(x)＝e－x－ex，而y＝e－x是减函数，y＝ex是增函数，则函数f(x)是R上的减函数，不等式f(x)≤－e⇔f(x)≤f(1)，因此x≥1，所以不等式f(x)≤－e的解集为[1，＋∞). 1．(求函数解析式)已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　 ) A．f(x)＝(x≠－2) B．f(x)＝(x≠－1) C．f(x)＝(x≠0) D．f(x)＝(x≠－2) ∴f(t)＝，即f(x)＝(x≠－2)．故选A. 2．(判断复合函数的单调性) 已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　 ) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 3．(解指数方程) 对于函数f(x)＝4x－m·2x＋1，若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数m的取值范围是(　 ) A. B． C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：令t＝2x，则y＝t2－4t＝(t－2)2－4，当t＝4时，ymax＝0；当t＝2时，ymin＝－4.故函数f(x)的值域为[－4,0]. 5．(求三角函数的值域) 函数y＝cos2x－sin x，x∈的值域为_____________． 5．已知a为实数，则“2>2a”是“a>1”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由2>2a，得a2>a，解得a<0或a>1，不能推出a>1，故充分性不成立；由a>1，得a2>a，可以推出2>2a，故必要性成立，所以“2>2a”是“a>1”的必要不充分条件. 6．[多选] 函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的说法正确的是(　 ) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的值域为(0,1) C．不等式f(x)>的解集是(0，＋∞) D．f(x)是增函数 解析：函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝≠0，所以函数f(x)的图象不关于原点对称，故A错误； 因为e－x＋1>1，所以f(x)＝∈(0,1)，故B正确； 由f(x)＝>可得e－x<1，则－x<0，解得x>0，故C正确； 8．(2023·湖南二模) 已知函数f(x)满足f(x－y)＝，且f(1)<f(3)，请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝_______________. 解析：令f(x)＝2x，显然f(x)＝2x在定义域上单调递增，满足f(1)<f(3)，且f(x－y)＝2x－y＝，即满足f(x－y)＝，所以f(x)＝2x符合题意． (2)f(x)＝4x－·2x＋4， 令2x＝m(m>0)，则y＝m2－·m＋4. ∵f(x)＝0有解，∴m2－·m＋4＝0在(0，＋∞)上有解，∴解得a≥8，∴a的取值范围为[8，＋∞). 解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示.由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确.由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误， D正确. 15．[多选] 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，g(x)＝[f(x)]，则下列叙述错误的是(　 ) A．f(x)在R上是增函数 B．g(x)是奇函数 C．f(x)的值域是 D．g(x)的值域是{－1,0} 解析：根据题意知，f(x)＝－＝－，y＝1＋2x在定义域R上单调递增，且1＋2x>1，y＝－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝－在R上是增函数，故A正确； ∵g(2)＝[f(2)]＝＝0，g(－2)＝[f(－2)]＝＝－1， ∴g(2)≠g(－2)，g(2)≠－g(－2)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； ∵2x>0，∴1＋2x>1,0<<1，－1<－<0，∴－<f(x)<，即f(x)∈，∴g(x)＝[f(x)]＝{－1,0}，故C错误，D正确. 16．已知函数f(x)＝(x∈R)． (1)求证：函数f(x)是R上的减函数； (2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)＝f(x＋a)－b的图象关于原点中心对称，判断函数f(x)的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，请说明理由． $$