第2章 第1节 函数的概念及其表示(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第二章 函　数 函数的概念及其表示 第一节 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2.会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 1．函数的概念 一般地，设A，B是______________，如果对于集合A中的_____一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 回首教材 非空的实数集 任意 唯一确定 2．构成函数的三要素 函数由________、_____和对应关系三个要素构成，在函数y＝f(x)，x∈A中，__________________(即数集A)称为这个函数的定义域． _____________组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 定义域 值域 自变量的取值范围 所有函数值 3．同一个函数与分段函数 同一个 函数 如果两个函数的_______相同，并且_________完全一致，即相同的自变量对应的_______也相同，那么这两个函数是同一个函数 分段 函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间有不同的对应方式，则称其为分段函数 定义域 对应关系 函数值 (1)直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2)在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 微点提醒 拓展教材 几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合. (常见结论及应用) 考题品悟 (2022·北京高考)函数f(x)=+的定义域是_______________. 追根溯源 (人A必修①P65例2)已知函数f(x)=+, (1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f的值; (3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. 发现启迪 本节内容在高考中一般不直接考查,但几乎处处渗透,函数的定义域与解析式是学习函数的基础,尤其重要.2022年北京卷T11所考题目就是教材例题的微加工,体现出高考要全面复习,重视课本. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) (－∞，0)∪(0,1] √ 2．(人A必修①P74T18改编)[多选]记无理数π＝3.141 592 6…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是(　 ) A．值域B是定义域A的子集 B．函数图象f(a)是一群孤立的点 C．f(6)＝2 D．a也是b的函数，记作a＝f(b) √ √ 解析：对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为0∈B,0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误；对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确；对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．故选BC. √ 4．(人B必修①P96“探索与研究”情境变式)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为__________________． 解析：因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，故f(x)＝x2－4(x≥2)． f(x)＝x2－4(x≥2) B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视函数的值域)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　 ) √ 解析：A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确． 课堂·题点精研 02 题点一　函数的概念(自主练通) 1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系(x∈M，y∈N)，则能构成从M到N的函数的是(　 ) A．y＝x2 B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝|x| √ 解析：当x＝4时，y＝42＝16∉N.当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N.当x＝－1时，y＝－1－1＝－2∉N.当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故选D. 2．[多选]下列图象是函数图象的是(　 ) √ √ √ 解析：根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，A、B、D是函数图象． √ √ 解析:f(x)=x0(x≠0),g(x)=1(x≠0)两个函数的定义域均为{x|x≠0},且y=x0=1,所以对应关系也相同,所以是同一个函数,故A正确; f(x)=2x+1(x∈Z),g(x)=2x-1(x∈Z)两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数,故B错误; f(x)= 的定义域为(-∞,-2]∪[2,+∞),g(x)=·的定义域为[2,+∞),定义域不同,不是同一个函数,故C错误; f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1两个函数的定义域均为R,对应关系也相同,是同一个函数,故D正确.故选AD. 4．已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，f：A→B为集合A到B的一个函数，则这样的函数有______个． 4 思维建模 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)判断两个函数是否为同一函数，就是看函数的三要素是否完全相同，而构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 题点二　函数的定义域 例 1 √ 易错防范 搞不清复合函数的自变量而致误. 易错再练 函数f(－2x＋1)的定义域为[－2,1]，则f(x－1)的定义域为_______． [0,6] 例 2 (3,4)∪(4，＋∞) 思维建模 求函数定义域的类型及解题策略 求具体函数的定义域 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可 求抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域 针对训练 √ [－1,2)∪(2,3)∪(3,5] 题点三　函数的解析式 例 3 解:(1)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)∵f=x2+=-2,∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]= 2x+17.即ax+5a+b=2x+17,∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. (4)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. 思维建模 求函数解析式的常用方法 针对训练 √ 4．已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝3x＋2，则f(x)的解析式为______________________________________． 9 考法(一)　求函数值 题点四　分段函数 例 4 √ 解析：根据题意，f(9)＝2f(7)＝4f(5)＝8f(3)＝16f(1)，又f(1)＝1－2＝－1，则f(9)＝16f(1)＝－16.故选D. 例 5 √ 已知函数f(x)=则f的值是(　 ) A.9 B.-9 C. D.- 解析:∵>0,则f=log2=-2, 又∵-2<0,则f=f(-2)=3-2=. 求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 思维建模 考法(二)　与方程结合 例 6 √ 求分段函数中参数值或自变量的值的方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 思维建模 考法(三)　与不等式结合 例 7 √ 快审准解：法一：分别在x≤0和x>0时，解不等式f(x)≥－1，再求并集得答案． 法二：在同一坐标系中画f(x)的图象，虚线y＝－1，则函数f(x)图象在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围，即不等式f(x)≥－1的解集，从而得答案． 解析：法一　当x≤0时f(x)＝2x＋3，不等式f(x)≥－1可化为2x＋3≥－1，解得x≥－2，又x≤0，所以－2≤x≤0；当x>0时，f(x)＝－(x－1)2，不等式f(x)≥－1可化为－(x－1)2≥－1，解得0≤x≤2，又x>0，所以0<x≤2.综上，使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2,2]．故选A. 法二　函数f(x)的图象如图所示，虚线表示y＝－1，函数f(x)图象在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围即不等式f(x)≥－1的解集．由图可知，x的取值范围就是点A的横坐标与点B的横 的横坐标之间的范围．在y＝2x＋3中，令y＝－1，得x＝－2，所以点A的横坐标为－2.在y＝－(x－1)2中，令y＝－1，得x＝0(舍去)或x＝2，所以点B的横坐标为2，所以使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2,2]． 与分段函数有关的不等式问题的解题策略 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 思维建模 针对训练 √ 6.设f(x)=若f(m)=f(m+1),则f=(　 ) A.14 B.16 C.2 D.6 解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),则解得m>0,若m≥1,则m+1≥2>1,可得2(m-1)=2m-2≠2m,不合题意;若0<m<1,则m+1>1,可得=2m,解得m=.综上所述m=.所以f=f(8)=14. √ √ 解析：f(0)＝02＝0，A错误； 当x≤－1时，f(x)＝x＋2≤－1＋2＝1；当－1<x<2时，f(x)＝x2∈[0,4)，∴f(x)的值域为(－∞，4)，B正确； 当x≤－1时，f(x)＝x＋2<1，解得x<－1；当－1<x<2时，f(x)＝x2<1，解得－1<x<1，∴f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，C正确； 4 特训·微专题强化 03 掌握几个特殊的函数 1．[多选]对任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论正确的是(　 ) A．对于任意的x∈R ，x＜[x]＋1 B．y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称 C．函数y＝x－[x](x∈R)，y的取值范围为[0,1) D．对于任意的x，y∈R ，[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立 √ √ √ 解析：由定义知[x]≤x＜[x]＋1，所以∀x∈R，x＜[x]＋1，故A正确； 当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当－1≤x＜0时，y＝[x]＝－1，所以y＝[x]，x∈R不是奇函数，故B错误； 因为x－1＜[x]≤x，所以0≤x－[x]＜1，所以y＝x－[x](x∈R)的值域为[0,1)，故C正确； ∀x，y∈R,0≤x－[x]<1,0≤y－[y]<1，所以0≤x－[x]＋y－[y]<2，当1≤x－[x]＋y－[y]<2时，[x]＋[y]＋1＝[x＋y]，此时[x]＋[y]<[x＋y]；当0≤x－[x]＋y－[y]<1时，[x]＋[y]＝[x＋y]，故∀x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]，故D正确． √ √ 解析：函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误； 当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，故B正确； 由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，故D正确． √ 4．[多选]欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过n，且与n互素(两个数的最大公约数为1)的正整数的个数，例如φ(1)＝1，φ(4)＝2.欧拉函数具有以下性质：如果m，n是互素的正整数，那么φ(mn)＝φ(m)·φ(n)．下列说法正确的是(　 ) A．φ(40)＝16 B．若n为素数，则φ(n)＝n－1 C．若n为奇数，则φ(2n)＝2φ(n) D．若n∈N*，则φ(2n)＝2n－1 √ √ √ 解析：在不超过5的正整数中与5互素的正整数有1,2,3,4，所以φ(5)＝4，在不超过8的正整数中与8互素的正整数有1,3,5,7，所以φ(8)＝4,5与8互素，所以φ(40)＝φ(5×8)＝φ(5)·φ(8)＝16，故A正确； 若n为素数，则n与其前面n－1个正整数互素，所以φ(n)＝n－1,故B正确； 因为φ(1)＝1，φ(2)＝φ(2×1)＝1≠2φ(1)，故C错误； 因为在不超过2n且与2n互素的正整数有1,3,5，…，2n－1,共有2n－1个,所以φ(2n)＝2n－1，故D正确． 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 √ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2．已知函数f(x－2)＝2x－x＋3，则f(0)＝(　 ) A．2 B．4 C．5 D．7 解析：令x－2＝0，得x＝2，所以f(0)＝f(2－2)＝22－2＋3＝5. 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 解析：A中，M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x|，集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，满足函数的定义； B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2，M中任一元素，在N中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 6.已知函数f(x)= 若f(m)=3,则m的值为(　 ) A. B.2 C.9 D.2或9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 解析:∵函数f(x)=f(m)=3,∴或解得m=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7．(2024·潍坊一模)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　 ) A．f(|x|)＝x3 B．f(sin x)＝x2 C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析：当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误； 令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误； 令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2(－2))＝2，不符合函数定义，C错误； f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确，故选D. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析：①当a<0时，2a<0，此时f(a)＝f(2a)＝1，不合题意；②当a≥0时，2a≥0，f(a)<f(2a)可化为2a<22a，所以a<2a，解得a>0.综上，实数a的取值范围是(0，＋∞)． 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 11.已知函数f(x)满足f(2x)=f(x+1),则f(x)可能是 (　 ) A.f(x)=x B.f(x)=log2x C.f(x)=2x D.f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 解析：对于A，f(x)＝x，则f(2x)＝2x，f(x＋1)＝x＋1，不满足f(2x)＝f(x＋1)； 对于B，f(x)＝log2x，则f(2x)＝log22x＝1＋log2x，f(x＋1)＝log2(x＋1)，不满足f(2x)＝f(x＋1)； 对于C，f(x)＝2x，则f(2x)＝22x＝4x，f(x＋1)＝2x＋1＝2×2x，不满足f(2x)＝f(x＋1)； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 对于D,f(x)=当x∈Q时,2x∈Q,x+1∈Q,故f(2x)=f(x+1)=1;当x∉Q时, 2x∉Q,x+1∉Q,故f(2x)=f(x+1)=0,即此时f(x)=满足f(2x)=f(x+1).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 (－1,1) 15．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 解析：由题意，定义域为R，在函数f(x)中，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝1，令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋1，f(2 023)＝f(2 022)＋1＝f(2 021)＋2＝f(2 020)＋3＝…＝f(1)＋2 022＝2 023. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 2 023 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 (1)当k＝1，m＝2时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？ (2)当且仅当x＝6时，此物体达到最大的高度6，求实数k，m满足的条件？ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17．在一个实验中，发现某个物体离地面的高度y(米)随时间x(秒)的 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 若6<x≤12，则12－x≥4，解得6<x≤8. 综上所述2≤x≤8，所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为8－2＝6(秒)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P66例3改编)下列函数与函数y＝x是同一个函数的是 (　 ) A．y＝()2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数．函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 3．(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)＝则f(f(2))＝(　 ) A. B. C．2 D．－2 解析：由题意得f(2)＝－2，f(－2)＝，故选B. 2．(忽视新变量的取值范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝___________. x2－1(x≥0) 解析：令t＝，则t≥0，故x＝t2，则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0)． 3．[多选]下列各组函数表示同一个函数的是(　 ) A．f(x)＝x0(x≠0)，g(x)＝1(x≠0) B．f(x)＝2x＋1(x∈Z)，g(x)＝2x－1(x∈Z) C．f(x)＝，g(x)＝· D．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1 解析：由题意得出函数为或或或故满足条件的函数个数为4. (2024·九江模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则函数y＝ f(2x2－1)的定义域为(　 ) A．[0,3] B．[－3,3] C．[－，] D．[－3,0] 解析：因为函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，所以－1≤2x2－1≤5，即0≤x2≤3，解得－≤x≤ ，所以函数y＝f(2x2－1)的定义域为[－，]，故选C. (2024·常州一模)函数f(x)＝的定义域为__________________． 解析：由题意函数f(x)＝有意义， 需满足解得x>3且x≠4， 故函数的定义域为(3,4)∪(4，＋∞)． 1．(2024·河南联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为(　 ) A．[0,1] B．[－1,0] C. D. 解析：由题意解得－≤x≤0. 2．函数f(x)＝＋＋(x－2)0的定义域为 _______________________． 解析：由题可得解得－1≤x≤5且x≠2，x≠3.故f(x)的定义域为[－1,2)∪(2,3)∪(3,5]． 求下列函数的解析式： (1)(换元法)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)(配凑法)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法 解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 3．已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　 ) A.－1(x≠0) B.－1(x≠1) C.－1(x≠0) D.－1(x≠1) 解析：令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1)． f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝3x＋2，于是有解得或所以f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1. 5．若函数f(x)，g(x)满足f(x)－2f＝2x－，且f(x)＋g(x)＝x＋6，则f(1)＋g(－1)＝_____. 解析：由f(x)－2f＝2x－，可知f－2f(x)＝－4x，联立可得f(x)＝2x，所以g(x)＝6－x，所以f(1)＋g(－1)＝9. 已知函数f(x)＝则f(9)＝(　 ) A．16 B．8 C．－8 D．－16 已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是(　 ) A．－3或5 B．3或－3 C．－3 D．3或－3或5 解析：由f(x)＝当a<1时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>1时，f(a)＝2a＝10，解得a＝5，故a的值是－3或5. 已知f(x)＝则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　 ) A．[－2,2] B．[－2,0] C．[－2,2) D．(0,2] 7．[多选]已知函数f(x)＝则(　 ) A．f(0)＝2 B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1) D．若f(x)＝3，则x＝或x＝1 当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍去)；当－1<x<2时，f(x)＝x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝，∴f(x)＝3的解为x＝，D错误． 8．(2024·泰州模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝_______. 解析：由f(x)＝所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝23－1＝22＝4. 2．[多选]德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　 ) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝1 C．f()＞f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，故C错误； 3．黎曼函数R(x)是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，R(x)在[0,1]上的定义为：当x＝(p>q，且p，q为互质的正整数)时，R(x)＝；当x＝0或x＝1或x为(0,1)内的无理数时，R(x)＝0.已知a，b，a＋b∈[0,1]，则(　 ) A．R(x)的值域为 B．R(a·b)≥R(a)·R(b) C．R(a＋b)≥R(a)＋R(b) D．以上选项都不对 解析：设A＝(p>q，且p，q为互质的正整数)，B＝{x|x＝0或x＝1或x是(0,1)内的无理数}．由题意，R(x)的值域为，其中p是大于等于2的正整数，故A错误； ①当a∈A，b∈A，则R(a＋b)≤R(a)＋R(b)，R(a·b)≥R(a)·R(b)；②当a∈B，b∈B，则R(a＋b)＝R(a)＋R(b)，R(a·b)≥R(a)·R(b)＝0；③当或则R(a＋b)≤R(a)＋R(b)，R(a·b)≥R(a)·R(b)，故B正确，C、D错误． 1．函数y＝的定义域是(　 ) A．[－3，＋∞) B．[－3,0)∪(0，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：依题意⇒x≥－3且x≠0，所以函数y＝的定义域是[－3,0)∪(0，＋∞)． 3．[多选]以下从M到N的对应关系表示函数的是(　 ) A．M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x| B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2 C．M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝± D．M＝R，N＝R，f：x→y＝ C中，M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝±，M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义； D中，M＝R，N＝R，f：x→y＝，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义．故选AB. 4．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　 ) A．8 B. C．－ D．－ 解析：因为f(x)＝所以f(－2)＝(－2)2－1＝3，所以 f(f(－2))＝f(3)＝＝. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝(　 ) A.＋1 B．x＋ C. D．x＋1 解析：由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1， 由解得f(x)＝＋1，故选A. 8．若函数y＝＋ln(x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝(　 ) A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：由得由题意可知上式的解集为[1，＋∞)，易知x＝1为方程x2＋2x＋a＝0的一个根，故1＋2＋a＝0，得a＝－3. 9．(2024·丽江一模)设函数f(x)＝若f(f(a))－f(a)＋2＝0，则实数a的值为(　 ) A.－1 B．－－1 C.＋1 D．－＋1 解析：令f(a)＝t，则f(t)＝t－2.当t≤0时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解；当t>0时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f(a)＝1，若a≤0时，则a2＋2a＝1，解得a＝－－1，若a>0，则－a2＝1无解．综上，a＝－－1，故选B. 10．(2024·成都模拟)设函数f(x)＝则满足f(a)<f(2a)的实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(1，＋∞) 12．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2) C．[－2,2] D．(－，) 解析：当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)＝若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2. 13．已知f＝2x＋3，f(m)＝8，则m＝______. 解析：∵f＝2x＋3，f(m)＝8，∴设x－1＝t，解得x＝2t＋2.∴f(t)＝4t＋7.∴f(m)＝4m＋7＝8，解得m＝. 14．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝的定义域是_________． 解析：由题意解得－1<x<1，即定义域为(－1,1)． 16．已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是_____________________． 解析：若f(a)＝4，则或解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)． 变化规律可表示为f(x)＝ 解：(1)当k＝1，m＝2时，f(x)＝ 由题意可知f(x)≥4， 若0≤x≤6，则8－≥4，解得2≤x≤6； (2)令x＋m＝0，解得x＝－m∉[0,6]，可得m∈(－∞，－6)∪(0，＋∞)，因为f(x)＝8－在[0,6]上单调递增， 由题意可得当x＝6时，f(x)＝8－＝6，解得m＝2， 且f(x)＝12－kx<6在(6,12]内恒成立，则解得k≥1.综上所述m＝2，k≥1. $$