第1章 第4节 基本不等式(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

基本不等式 第四节 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 a>0，b>0 a＝b 2．几个重要的不等式 2ab 3．算术平均数与几何平均数 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有最小值_____. (简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_____时，xy有最大值______. (简记：和定积最大) x＝y x＝y 拓展教材 常用的几个结论 (常见结论及应用) 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) √ √ 发现启迪 教材中提供的几个不等式是经典模型、是解题的必备工具，掌握并理解透这几个不等式，解决高考题轻而易举．这启示我们：学通弄懂教材，才是高分的起点. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P58T5改编)若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　 ) A．16 B．8 C．4 D．2 √ √ √ 4．(人A必修①P48T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． B组——迷点盲点的澄清训练 √ √ 课堂·题点精研 02 题点一　利用基本不等式求最值 方法(一)　配凑法 √ 例 1 例 2 9 思维建模 配凑法求最值的策略 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标． 方法(二)　常数代换法 例 3 √ 例 4 √ 思维建模 常数代换法求最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 方法(三)　消元法 例 5 (2024·大连模拟)已知xy>0，且x2＋2xy＝1，则x2＋y2的最小值为________． 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 思维建模 针对训练 √ √ 题点二　基本不等式的实际应用 例 6 解：(1)由题意，当v＝100时，y＝1， ∴该车型的平均车长为5米． 故当汽车的平均速度为80千米/小时时车流量y达到最大值． 思维建模 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 4．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品(　 ) A．大于20克 B．小于20克 C．大于等于20克 D．小于等于20克 针对训练 √ 5.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(　 ) A．1 208平方米 B．1 448平方米 C．1 568平方米 D．1 698平方米 √ 题点三　基本不等式的综合应用 例 7 √ 解析：由题意可知2a＋b＝1， 例 8 关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为_____________． 解析：不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R， (1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值； (2)基本不等式与其他知识的交汇问题中，一般是利用其他知识得到利用基本不等式求最值的条件，如两个数的和为定值、两个数的积为定值等，然后根据此定值求其他代数式的最值． 思维建模 针对训练 √ 4 特训·微专题强化 03 三元基本不等式及柯西不等式 1．三元基本不等式的应用 (1)三元基本不等式 应用体验 √ 2．设x，y，z是实数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　 ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) √ 3．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，则ax＋by的取值范围是(　 ) A．[0,2] B．[－1,1] C．[－2,2] D．[0,1] 应用体验 √ 解析：利用柯西不等式，得1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，当且仅当ay＝bx时等号成立，解得－1≤ax＋by≤1. √ 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 2．若x，y为实数，且x＋2y＝6，则3x＋9y的最小值为(　 ) A．18 B．27 C．54 D．90 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7．已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg(a＋2b)，则2a＋b的最小值是(　 ) A．5 B．9 C．13 D．18 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11．若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy. (1)求xy的最大值； (2)求x＋y的最小值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 ∴[(x＋y)＋8][(x＋y)－4]≥0， ∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立． ∴x＋y的最小值为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 故当a>2，促销费用投入2万元时，公司利润最大． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 快审准解：分析4个选项，每个选项分别是不同的整数值，因而求解的关键是求出参数a的取值范围． √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 特别提醒：应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16．(2024·北京石景山高三期末)已知命题p：若a＋b≥1，则a3＋b3≥1.能说明p为假命题的一组a，b的值为a＝_______________， b＝________________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解基本不等式的推导过程． 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_______，几何平均数为_____， 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2 (1)若x≠0，则≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立． (2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立． (3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x＝± 时，等号成立． (4)若a>0，b>0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 考题品悟 (2022·新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 ( ) A．x＋y≤1　　　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 追根溯源 (苏教必修①P61习题T1)证明下列不等式： (1)a2＋b2≥2a＋2b－2； (2)2≤； (3)若a，b∈(0，＋∞)，则≤ . 2．(苏教必修①P61练习T1)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　 ) A．4 B．4 C．9 D．18 3．(人B必修①P79“探索与研究”结论应用：当a，b，c为正实数时，≥ ，当且仅当a＝b＝c时等号成立) 若n>0，则n＋的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：∵n>0，∴n＋＝＋＋≥3＝6，当且仅当＝，即n＝4时取等号，∴n＋的最小值为6.故选C. 解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 1．(忽视应用基本不等式应用条件中的“正”)当x＜0时，函数y＝x＋(　 ) A．有最大值－4 B．有最小值－4 C．有最大值4 D．有最小值4 解析：y＝x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时等号成立，故选A. 2．(连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　 ) A．2 B．2 C．4 D．5 解析：＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当＝且 ＝，即a＝b＝1时取等号． 已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　 ) A．2 B．2＋2 C．2 D.＋2 解析：由题意可知，x－2>0，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. 函数y＝(x>－1)的最小值为________． 解析：因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，所以所求函数的最小值为9. 若＋＝1，则4a2＋b2的最小值为(　 ) A．16 B．8 C．20 D．12 解析：由题意得4a2＋b2＝(4a2＋b2)＝8＋＋≥2＋8＝16，当且仅当＝，即b2＝4a2＝8时等号成立，所以4a2＋b2的最小值为16，故选A. (2024·邯郸模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　 ) A．2 B．4 C. D．9 解析：依题意，因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·＝≥×(2×4＋10)＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立． 所以x2＋y2的最小值为. 解析：因为xy>0，所以x≠0，又x2＋2xy＝1，所以y＝，所以x2＋y2＝x2＋2＝x2＋＝＋－≥2－＝，当且仅当＝时取等号， 1．已知正数x，y满足9x＋x＝4，则＋的最小值为(　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：x>0，y>0，＋＝(9x＋y)＝≥＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝1时等号成立，所以＋的最小值为4. 2．若正数x，y满足x2＋xy－3＝0，则4x＋y的最小值是(　 ) A．3 B．6 C．2 D．4 解析：因为正数x，y满足x2＋xy－3＝0，所以y＝－x，所以4x＋y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时，等号成立． 3．当x<时，函数y＝x＋的最大值为______． － 解析：x<，则2x－3<0,3－2x>0，y＝x＋＝(2x－3)＋＋＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当＝，即x＝－时等号成立． 春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满足的函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． (1)求该车型的平均车长l； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？ ∴1＝，∴l＝5. (2)由(1)知，函数的表达式为y＝(0<v≤120)．∵v>0， ∴y＝＝≤＝， 当且仅当v＝，即v＝80时取等号． 解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝，故x＋y＝＋≥2＝20，当且仅当a＝2b时取等号． 解析：设AB＝x米(x>0)，则BC＝米，种植花卉区域的面积S＝(x－4)＝－2x－＋1 808.因为x>0，所以2x＋≥2＝240，当且仅当x＝60时，等号成立，则S≤－240＋1 808＝1 568，即当AB＝60米，BC＝30米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568平方米． (2024·安庆联考)已知函数f(x)＝log2(ax＋b)(a>0，b>0)恒过定点(2,0)，则＋的最小值为(　 ) A．2＋1 B．2 C．3 D.＋2 则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1， 当且仅当a＝，b＝－1时取等号，所以＋的最小值为2＋1，故选A. 即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，即a≥恒成立． 当x＝0时，a≥0； 当x≠0时，a≥＝， 综上所述，a∈. 因为≤＝，当且仅当|x|＝时取“＝”， 所以a≥. 6．已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为(　 ) A. B．9 C．4 D．8 解析：圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”．∴＋的最小值为9. 7．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________． 解析：已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)＝1＋a＋＋≥a＋2＋1＝(＋1)2，当且仅当y＝x时，等号成立，∴(＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4. ⇒ 当且仅当a＝b＝c时等号成立． (2)推广到n元的基本不等式为≥ (a1，a2，…，an均为正实数)， 当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立． 1．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，则＋的最小值为(　 ) A． B．6 C． D．4 解析：因为a>0，b>0，a＋2b＝1，所以＋＝＋＝1＋＋＝1＋＋＋≥1＋3＝1＋3＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 解析：因为x，y，z是实数，且x＋y＋z＝6，则3 ≤x＋y＋z＝6，所以0<xyz≤8，所以lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时等号成立． 2．柯西不等式的应用 (1)柯西不等式的一般形式 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当＝＝…＝时等号成立． (2)柯西不等式的二元式 形式一：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． 形式二：设a，b，c，d∈R＋，则(a＋b)(c＋d)≥(＋)2， 当且仅当＝时等号成立． 4．根据柯西不等式可知函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为(　 ) A.， B.， C.， D.， 解析：由柯西不等式可知(2＋)2≤(22＋12)[()2＋()2]＝5，所以2＋≤，当且仅当2＝，即x＝时取等号，故函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为，，故选A. 1．下列不等式证明过程正确的是(　 ) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x>0，y>0，则lg x＋lg y≥2 C．若x<0，则x＋≥－2＝－4 D．若x<0，则2x＋2－x>2＝2 解析：∵，可能为负数，如＝＝－1时，＋＝－2，∴A错误； ∵lg x，lg y可能为负数，如lg x＝lg y＝－1时，lg x＋lg y＝－2，2＝2，∴B错误； ∵x<0，<0，如x＝－1，＝－4时，x＋＝－5<－4，∴C错误； ∵x<0,2x∈(0,1)，2－x>1，∴2x＋2－x>2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0等号成立，∴D正确． 解析：由题意可得3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2×27＝54，当且仅当3x＝32y，即x＝2y时等号成立． 3．若x>0，y>0，且2x＋3y＝6，则xy的最大值为(　 ) A．9 B．6 C．3 D. 解析：因为x>0，y>0，且2x＋3y＝6，所以xy＝×2x·3y≤2＝，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立，即xy的最大值为. 4．已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　 ) A．16 B．8＋4 C．12 D．6＋4 解析：由题意可知＋＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当＝，即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16. 5．(2024·南宁模拟)某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为(　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：设该设备年平均费用为y，由题意可得，y＝＝＋＋(x∈N*)，∵x>0，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9. 6．(2024·西安模拟)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　 ) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：由＋≥，得m≤(a＋3b)·＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12(当且仅当＝，即a＝3b时等号成立)，∴m≤12，∴m的最大值为12，故选B. 解析：由lg a＋lg b＝lg(a＋2b)，可得lg ab＝lg(a＋2b)，所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a>0，b>0，则2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9. 8．若a>1，则＋的最小值为______． 解析：因为a>1，所以－1>0，所以＋＝－1＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当a＝16时等号成立，故＋的最小值为7. 解析：2a＋＝2a＋2－3b≥2×＝2×＝4，当且仅当即时等号成立． 9．已知a，b∈R，若a－3b＝2，则2a＋的最小值为________． 10．(2024·湖南联考)若a>0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为________． 解析：由a>0，b>0，a＋b＝9，得＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝6，b＝3时等号成立，故＋的最小值为8. 即(＋4)(－2)≤0，解得0＜xy≤4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．∴xy的最大值为4. 解：(1)∵x>0，y>0，∴8－xy＝x＋y≥2， (2)8－(x＋y)＝xy≤2， 12．某公司生产的某批产品的销售量p万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p＝(其中0≤x≤a，a>0)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)设a>2，当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 解：(1)由题意可知，y＝p－x－6， 将p＝代入化简得y＝19－－x(0≤x≤a)． (2)因为19－－x＝22－≤22－3＝10， 当且仅当＝x＋2，即x＝2时，取等号． 13．设x>0，则函数y＝－的最小值为(　 ) A．0 B. C．－1 D. 解析：设2x＋1＝t，t>1，则x＝，y＝－＝－＝＋－3≥2－3＝－1，当且仅当＝，即t＝2，x＝时等号成立.故选C. 14．[多选]已知不等式＋≥9对任意x∈(0,1)恒成立，则满足条件的正实数a的值可以是(　 ) A．2 B．4 C．8 D．9 解析：已知式可化为＋＝[x＋(1－x)]＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2， (关键点：从题型上分析，显然是积为定值的求倒数和的最值问题，因而采用基本不等式求解) 当且仅当＝，即x＝时等号成立， (易错点：此处容易忽视对，的正负的考虑与等号成立条件的判断) 所以要使＋≥9对任意x∈(0,1)恒成立，只需要最小值1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，得(＋4)(－2)≥0，解得≤－4(舍去)或≥2，得a≥4. 15．(2024·济南模拟)[多选]已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－2)y＋1＝0，l2：bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则下列选项正确的是(　 ) A．0<ab≤1 B．＋≤2 C．a2＋b2≤2 D．＋≥3 解析：∵l1⊥l2，∴b＋a－2＝0，a＋b＝2，∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴0<ab≤1，A正确； (＋)2＝a＋b＋2≤2＋2，∴＋≤2，B正确； ∵a＋b＝2，可取a＝，b＝，a2＋b2＝＋＝>2，C错误； ＋＝＋＝＋－1＝(a＋b)－1＝－1≥－1＝3，D正确． (答案不唯一) (答案不唯一) 解析：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝(a＋b)3－3ab (a＋b)≥(a＋b)3－3(a＋b)2＝(a＋b)3，当且仅当a＝b时等号成立. 所以若a＋b≥1，则a3＋b3≥，所以p为假命题．所以一组a，b的值为a＝，b＝. $$