第03讲 二次函数与一元二次方程（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第03讲 二次函数与一元二次方程（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型强化 题型一．抛物线与x轴的交点 1．（2024•安徽模拟）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•金安区校级月考）抛物线与轴交于两点，分别是，，，，则　　． 3．（2021秋•霍邱县校级月考）已知二次函数为常数）． （1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围； （2）求其图象与直线交点的横坐标． 题型二．图象法求一元二次方程的近似根 4．（包河区校级期中）抛物线的图象的部分如图所示，则关于的一元二次方程的解是 　　． 5．（2021秋•桐城市校级期中）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（马鞍山校级月考）利用函数的图象，求方程的解． 题型三．二次函数与不等式（组） 7．（2023秋•蚌埠月考）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为　　 A． B． C．或 D．或 8．（2023•蜀山区校级模拟）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则①与的关系是 　　；②当时，的取值范围是 　　． 9．（2023秋•裕安区月考）已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与轴交于点． （1）求函数和的解析式； （2）直接写出为何值时， ①； ②； ③． 分层练习 一、单选题 1．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（    ） A．1 B． C．2或 D．3或 2．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 3．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知抛物线（）的顶点坐标为，若，则抛物线与坐标轴的交点个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．已知抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的值不可能是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 9．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 10．如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动(抛物线随顶点一起平移)，与轴交于两点(在的左侧，且两点间距个单位长度)，点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为(    )    A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 12．若关于的方程的两个根分别是和（，，均为常数，），则抛物线与轴的交点坐标是 . 13．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．    14．定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为 . 三、解答题 15．若二次函数的图象与x轴没有交点，求a的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求直线与该二次函数图象的交点的纵坐标之差的绝对值． 17．已知抛物线的顶点坐标为，它与x轴的一个交点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的开口方向以及与y轴的交点坐标． 18．已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 19．已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 20．如图，抛物线(a，，是常数，)与轴交于，两点，顶点．给出下列结论： ①；②若，，在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形． 根据图象可知 ，上述四个结论中正确的是 (填序号)．    21．已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 22．如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．    (1)直接写出点的坐标__________（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围？ 23．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数与一元二次方程（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型强化 题型一．抛物线与x轴的交点 1．（2024•安徽模拟）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为，即可． 【解答】解：的两个实数根分别为，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， 对称轴为； 故选：． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴， 2．（2023秋•金安区校级月考）抛物线与轴交于两点，分别是，，，，则　2　． 【分析】用韦达定理求解即可． 【解答】解：由韦达定理得： ， 故答案为2． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生熟练运用韦达定理． 3．（2021秋•霍邱县校级月考）已知二次函数为常数）． （1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围； （2）求其图象与直线交点的横坐标． 【分析】（1）根据题意得，△，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得，△， ； （2）根据题意得，， 解得，，， 图象与直线交点的横坐标为5或． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 题型二．图象法求一元二次方程的近似根 4．（包河区校级期中）抛物线的图象的部分如图所示，则关于的一元二次方程的解是 　，　． 【分析】由图象可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，根据抛物线的对称性可求抛物线与轴的另一交点坐标，从而确定一元二次方程的解． 【解答】解：观察图象可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 一元二次方程的解为，． 故本题答案为：，． 【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与轴交点的横坐标的值． 5．（2021秋•桐城市校级期中）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题． 【解答】解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，由题意可知：， 当时，， 当时，， 由图象可知关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解， 直线在直线和直线之间包括直线， ． 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题． 6．（马鞍山校级月考）利用函数的图象，求方程的解． 【分析】根据二次函数图象与轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的根． 【解答】解：抛物线的图象如图所示： ． 抛物线与轴交点横坐标分别是、3． 则方程的根是，． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的根，二次函数图象与轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解． 题型三．二次函数与不等式（组） 7．（2023秋•蚌埠月考）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集． 【解答】解：二次函数的图象过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当或时，， 不等式的解集为或． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：对于二次函数、、是常数，，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 8．（2023•蜀山区校级模拟）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则①与的关系是 　　；②当时，的取值范围是 　　． 【分析】由，则该直线过点，则抛物线和轴的交点为和，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 将代入并整理得：， ， 由，则该直线过点， 则抛物线和轴的交点为和，结合当时，， 则抛物线和直线的大致图象如图所示， 结合函数图象知，当时，时， 的取值范围是：， 故答案为：，． 【点评】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键． 9．（2023秋•裕安区月考）已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与轴交于点． （1）求函数和的解析式； （2）直接写出为何值时， ①； ②； ③． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在同一坐标系中画出和的图象，根据图象即可得到答案． 【解答】解：（1）把点、点、点代入得， ， 解得， ； 把点和点代入得， 解得， ． （2）如图，在同一坐标系中画出和的图象， 由图象可得①当时，；②当或时，；③当或时，． 【点评】此题考查二次函数和一次函数交点问题，还考查了待定系数法、图象法解不等式等知识，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（    ） A．1 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点问题，根的判别式等知识点，根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，得出，即可求出k的值，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴， ∴或， 故选：D． 2．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由表格可知，与关于对称轴对称，且开口向下，对称轴为直线，当时，随着的增大而增大，结合表格作答即可． 【详解】解：由表格可知，与关于对称轴对称，且开口向下， ∴对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵时，时， ∴当时，有解， 故选：B． 3．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 4．二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点，令中，求解即可出结论．解题的关键是掌握求二次函数的图像与坐标轴交点的方法：①与轴的交点，令后求解；②与轴的交点，令后求解． 【详解】解：令二次函数中， ∴， ∴二次函数与轴的交点坐标是． 故选：D． 5．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：如图： 利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个. 故选：D. 6．无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题和数形结合思想．根据题意得到直线一定过定点，抛物线一定过定点和，再通过图象分别讨论当和时的情况求出a的取值范围． 【详解】解：由题意，直线， 则直线一定过定点， 同理，抛物线， 则抛物线过定点和， 如示意图，当时，直线与抛物线一定有公共点； 当时，为了保证直线与抛物线一定有公共点，则要求当时， 解得 综上，或， 故选：D 7．已知抛物线（）的顶点坐标为，若，则抛物线与坐标轴的交点个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，判断出抛物线的开口方向，顶点的位置，对称轴位置，可得结论． 【详解】解：顶点坐标为，若， 顶点在第一象限或第三象限， 对称轴，，， ， 抛物线的顶点在第一象限， ， 开口向上， 抛物线与轴没有交点，即抛物线与轴的交点个数为0，与y轴有一个交点， ∴抛物线与坐标轴的交点个数为1． 故选：C． 8．已知抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的值不可能是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握这些知识是关键；由抛物线的对称轴可求得抛物线的解析式，则可求出时的函数值，结合抛物线的图象与性质可确定t的取值范围，从而求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，即， ； 当时，；当时，； 画出二次函数的图象如下： 如图，当时，直线与抛物线有交点， 则关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解； 而不在此范围内，故答案为A； 故选：A． 9．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 10．如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动(抛物线随顶点一起平移)，与轴交于两点(在的左侧，且两点间距个单位长度)，点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当抛物线经过点时，与轴的交点的横坐标是最小值，所以把点坐标和代入可以，再把点坐标代入，求出与轴的交点就是点的横坐标的最大值． 【详解】抛物线过点时，与轴的交点的横坐标是最小值， ， ， 抛物线过点时，与轴的交点的横坐标是最大值， ， ，， 的横坐标是， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是通过数形结合观察到图象过点时，的横坐标是最小值，过点时， 的横坐标是最大值． 二、填空题 11．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据坐标轴上点的特征，y轴上点的横坐标为0，即可得到答案，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时， 此时， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 12．若关于的方程的两个根分别是和（，，均为常数，），则抛物线与轴的交点坐标是 . 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，二次函数的平移问题；根据题意得出抛物线与轴的交点坐标是和，根据二次函数的平移可得是向左平移个单位，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个根分别是和， ∴抛物线与轴的交点坐标是和， ∵是向左平移个单位， ∴抛物线与轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 13．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，二次函数的图象与直线有交点，由图象求出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，由图象得， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线与横线的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 14．定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据定义画出函数图象，设直线y=x+1，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：依题意，设直线y=x+1，抛物线， 联立直线与抛物线方程得 ， 解得或， ∴直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3）， 如图， ∴x≤-1时，y=，函数最大值为y=0， -1＜x≤2时，y=x+1，函数最大值为y=3， 当x＞2时，y=，y＜3， ∴x=2时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 三、解答题 15．若二次函数的图象与x轴没有交点，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．由二次函数和根的判别式得且，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得且， 解得， 所以a的取值范围为． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求直线与该二次函数图象的交点的纵坐标之差的绝对值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据顶点坐标，设出二次函数的顶点式，将点B的坐标代入即可求解； （2）将直线解析式与二次函数解析式联立组成方程组，解方程组即可求解出两函数的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数是， 把代入函数， 则， 解得， 所求函数是； （2）解：根据题意联立直线解析式与二次函数解析式组成方程组为 ， 解得或， ∴两个函数交点坐标是和． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点坐标．用待定系数法求出二次函数解析式是解答关键． 17．已知抛物线的顶点坐标为，它与x轴的一个交点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的开口方向以及与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)开口向下，与y轴交点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与y轴交点坐标及抛物线的性质； （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）由（1）即可确定开口方向，令，求得y的值，可得抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标为， ∴抛物线与x轴的一个交点的坐标为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为，化为一般式为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下； 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． 18．已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)2． 【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值； （2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案； （3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 19．已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 20．如图，抛物线(a，，是常数，)与轴交于，两点，顶点．给出下列结论： ①；②若，，在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形． 根据图象可知 ，上述四个结论中正确的是 (填序号)．    【答案】 ②④/④② 【分析】根据对称轴以及抛物线开口方向，即可得出，进而根据二次函数的性质，逐项分析判断①②③，对于④设抛物线的对称轴交轴于，根据顶点坐标公式得出，根据，可得，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】，， ， 时，， ， ，故①错误， 若，，在抛物线上， 由图象法可知，；故②正确， 抛物线与直线有交点时，方程有解，， 有实数解 要使得有实数解，则；故③错误， 设抛物线的对称轴交轴于． ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形．故④正确．    故答案为：，②④． 【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 21．已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 22．如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．    (1)直接写出点的坐标__________（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，即可求得点坐标； （2）求出的坐标，表示出的面积，由此即可得到答案； （3）平移后的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，当抛物线经过点时，，此时直线与有两个公共点，联立，得到方程，当时，此时直线与有两个公共点，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在中，令，得， 解得，， ，， ， 由抛物线图象可得：， ， ， 解得：； （3）解：， ，， 将抛物线向右平移个单位， 新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 当时，随的增大而减小， 联立， 解得：，， 此时与直线有两个交点； 联立， ， 直线与总有两个公共点， ， 解得：， 综上所述，当时，直线与总有两个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键． 23．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ，， 将代入得：， 解得：， ， 点的横坐标为3， 当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：， ； （2）解：由（1）得：，， 设点的坐标为， ， 为的中点， 在轴上， ， ， 在中，当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：； （3）解：由（1）知：，，， ， 在中，当时，， ， ， 设， ， ， 当时，的值最大，此时． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$