第03讲 函数（8个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第03讲 函数（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型强化 题型一．常量与变量 1．（2023秋•裕安区校级月考）已知一个长方形的面积为，它的长为 ，宽为 ，下列说法正确的是　　 A．常量为15，变量为， B．常量为15，，变量为 C．常量为15，，变量为 D．常量为，，变量为15 2．（霍邱县校级月考）齿轮每分钟120转，如果表示转数，表示转动时间． （1）用的代数式表示； （2）说出其中的变量与常量． 题型二．函数的概念 3．（2022秋•霍邱县期中）如图，下列各曲线中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•宣州区校级期中）下列各式①；②；③；④中，是的函数的有　　（只填序号） 题型三．函数关系式 5．（2021秋•金安区校级月考）一列火车从站行驶3公里到处以后，以每小时90公里的速度前进．则离开处小时后，火车离站的路程与时间的关系是　　 A． B． C． D． 6．（2020秋•庐阳区校级月考）一根长为的蜡烛，每分钟燃烧，蜡烛剩余长度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系式为 　　（不必写出自变量的取值范围） 7．（2024春•泗县月考）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数 1 2 3 4 座位数 50 53 56 59 （1）按照上表所示的规律，当每增加1时，如何变化？ （2）写出座位数与排数之间的解析式． （3）按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 题型四．函数自变量的取值范围 8．（2023秋•肥东县期末）函数的自变量的取值范围是 　　． 9．（2023秋•蚌山区期中）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．（蒙城县校级月考）求出下列函数中自变量的取值范围． ① ②． 题型五．函数值 11．（2022秋•桐城市校级期中）若函数，则当时，自变量的值是　　 A． B．4 C．或4 D．4或 12．（2023秋•肥西县期末）已知，那么　　． 题型六．函数的图象 13．（2023秋•利辛县校级期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是　　 A．小汽车共行驶 B．小汽车中途停留 C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 14．（2023秋•利辛县期末）小敏上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程（米和所经过的时间（分之间的函数图象如图所示．下列结论：①小敏在超市逗留了30分钟；②小敏家距离超市3000米；③小敏去超市途中的速度是300米分钟；④小敏8点50分返回到家．以上结论中正确的是 　　（填序号）． 15．（2022秋•砀山县校级期中）某天小刚骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续前行，按时赶到学校，如图是小刚从家到学校这段所走的路程（米与时间（分之间的关系． （1）小刚从家到学校的路程是 　　米，从家出发到学校，小刚共用了 　　分； （2）小刚修车用了多长时间； （3）小刚修车前的平均速度是多少？ 题型七．动点问题的函数图象 16．（2022秋•霍邱县期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿方向运动到处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点运动到　　 A．点 B．点 C．点 D．点 17．（2024春•埇桥区校级期中）如图1，在长方形中，点是上一点，点从点出发，沿着，，运动，到点停止，运动速度为，三角形的面积为，点的运动时间为，与之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 　　； （2）当点运动到点时，，则的值为 　　． 题型八．函数的表示方法 18．（霍邱县校级月考）下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度与下降高度的关系，下面能表示这种关系的式子是　　 50 80 100 150 25 40 50 75 A． B． C． D． 19．（2022秋•无为市月考）如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值数据． 输入 0 2 输出 2 6 16 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为3时，输出的值为 　　． （2）当时，求该函数的表达式． （3）当输出的值为时，求输入的值． 分层练习 一、单选题 1．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆周率为，在圆的周长与圆的半径之间的函数关系式中，变量是（　　） A．， B．， C．，， D．， 3．向湖中扔一个小石子，湖中会荡起层层涟漪．若圆形水波的半径为，面积为．对于函数关系式，下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．是变量 D．是常量 4．下列选项中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 6．下列关于变量和的关系式：，，，，，，，其中是的函数的个数为(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．乙用16分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1500米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟 9．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．     B．   C．   D．   10．如图，长方形中，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿运动，到达点D后停止运动，若点Р的运动时间为，的面积为，则y与t之间函数关系的大致图像是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．函数的自变量的取值范围是 ． 12．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是 ．      13．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝9cm，点 D在线段 CA上从点C出发向点A方向运动（点 D不与点 A，点C重合），且点D运动的速度为2cm/s，现设运动时间为 x（0＜x＜）秒时，对应的 △ABD 的面积为ycm²，则当x＝2 时，y＝ ；y与x之间满足的关系式为 ． 14．函数，当函数自变量 时， y = ；当时， x = ． 三、解答题 15．定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 16．今年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在天安门正式举行．通常提到的“阅兵”，实际是分为“阅兵式”和“分列式”．阅兵式，就是士兵不动，军委主席坐车来检阅．分列式，就是所有方（梯）队，踏着统一的节奏，依次通过天安门前检阅区．在分列式中，受检阅的距离就是天安门前，东西的两个华表之间，两个华表相隔米．受检阅官兵迈着每步厘米，必需x步走完，若步速每分钟步，需要时间秒．求出与各是多少?若淮北籍东海舰队航空兵副司令员梁旭少将在受检阅时，他走过的路程步，行走的时间为秒写出与的函数关系（不需要写出自变量的取值范围) 17．小华骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离西安交大的距离是多少？ （2）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？ （3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？ 18．人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，李老师调查了自己班学生的学习遗忘规律，并根据调查数据描绘了一条曲线（如图所示），其中纵轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间，观察图象并回答下列问题： （1）观察图象，1h后，记忆保持量约为　 　；8h后，记忆保持量约为　 　． （2）图中的A点表示的意义是　 　； （3）在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号　 　； ①0﹣2h；②2﹣4h；③4﹣6h；④6﹣8h． （4）有研究表明，如及时复习，一天后能保持98%，根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样？由此，你有什么感受． 19．观察下列由白色正方形和灰色正方形组成的图案，并解决下列问题． (1)图4中有________个白色正方形；若图中有个白色正方形，则与的函数关系式是________； (2)若在图中，白色正方形比灰色正方形多2023个，求的值． 20．有人说“鲜花可作为七彩云南的一张名片”，的确，在云南几乎一年四季都有各种鲜花在争妍斗艳，令人赏心悦目，各种鲜花制品也是种类繁多，令人目不暇接，某花店第一天卖出50束玉兰花和20束玫瑰花的利润是800元，第二天卖出30束玉兰花和30束玫瑰花的利润是750元． (1)每束玉兰花和玫瑰花的利润各是多少元？ (2)某天该花店卖出玉兰花和玫瑰花一共80束． ①卖出束玉兰花，卖出两种花的总利润为 元，写出与的函数关系式； ②卖这两种花的利润是900元，这天卖出多少束玫瑰花？ 21．已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图像． 22．下图是某水库的库容曲线图，其中x表示水库的平均水深（m），表示水库的库容（万）．根据图象回答下面的问题： (1)这个函数反映了哪两个变量之间的关系？ (2)填表： 5 10 15 20 25 V（万） (3)当平均水深取至之间的一个确定的值时，相应的库容确定吗？ (4)库容V可以看成平均水深x的函数吗？ (5)求当时的函数值，并说明它的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型强化 题型一．常量与变量 1．（2023秋•裕安区校级月考）已知一个长方形的面积为，它的长为 ，宽为 ，下列说法正确的是　　 A．常量为15，变量为， B．常量为15，，变量为 C．常量为15，，变量为 D．常量为，，变量为15 【分析】根据变量和常量的定义来选择． 【解答】解：长方形的面积始终不变为常量； 长和宽的数值发生变化为变量， 故选：． 【点评】本题考查了常量与变量，解题的关键是根据变量和常量的定义来解答． 2．（2013秋•霍邱县校级月考）齿轮每分钟120转，如果表示转数，表示转动时间． （1）用的代数式表示； （2）说出其中的变量与常量． 【分析】（1）根据题意可得：转数每分钟120转时间； （2）根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得、是变量． 【解答】解：（1）由题意得： ， ； （2）变量：，常量：． 【点评】此题主要考查了常量和变量的定义，关键是正确理解定义的意思． 题型二．函数的概念 3．（2022秋•霍邱县期中）如图，下列各曲线中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【解答】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 4．（2022秋•宣州区校级期中）下列各式①；②；③；④中，是的函数的有　①②③　（只填序号） 【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【解答】解：①；②；③，是的函数， 故答案为：①②③． 【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 题型三．函数关系式 5．（2021秋•金安区校级月考）一列火车从站行驶3公里到处以后，以每小时90公里的速度前进．则离开处小时后，火车离站的路程与时间的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据路程、速度、时间之间的关系可得关系式． 【解答】解：火车离站的距离等于先行的3公理，加上后来小时行驶的距离可得， ， 故选：． 【点评】本题考查函数关系式，理解路程、速度、时间之间的关系是解决问题的前提． 6．（2020秋•庐阳区校级月考）一根长为的蜡烛，每分钟燃烧，蜡烛剩余长度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系式为 　　（不必写出自变量的取值范围） 【分析】根据题意可得燃烧的长度为，根据题意可得等量关系：蜡烛剩余长度原长度燃烧的长度，根据等量关系再列出函数关系式即可． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 7．（2024春•泗县月考）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数 1 2 3 4 座位数 50 53 56 59 （1）按照上表所示的规律，当每增加1时，如何变化？ （2）写出座位数与排数之间的解析式． （3）按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【分析】（1）根据表格中数据直接得出的变化情况； （2）根据，的变化规律得出与的函数关系； （3）利用（2）中所求，将代入分析即可． 【解答】解：（1）由图表中数据可得：当每增加1时，增加3； （2）由题意可得：； （3）某一排不可能有90个座位， 理由：由题意可得：， 解得：． 故不是整数，则某一排不可能有90个座位． 【点评】此题主要考查了函数关系，正确得出与的函数关系式是解题关键． 题型四．函数自变量的取值范围 8．（2023秋•肥东县期末）函数的自变量的取值范围是 　　． 【分析】根据分式分母不为0列式计算即可． 【解答】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键． 9．（2023秋•蚌山区期中）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 10．（蒙城县校级月考）求出下列函数中自变量的取值范围． ① ②． 【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：（1）由有意义，得， 解得； （2）由有意义，得 ， 解得． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 题型五．函数值 11．（2022秋•桐城市校级期中）若函数，则当时，自变量的值是　　 A． B．4 C．或4 D．4或 【分析】根据分段函数得出的值，再进行讨论即可． 【解答】解：当时，由得， 解得，成立； 当时，由得， 解得，成立； 或， 故选：． 【点评】本题考查了函数值的计算，利用分段函数进行求解是解题的关键． 12．（2023秋•肥西县期末）已知，那么　2070　． 【分析】把直接代入函数，即可求出函数值． 【解答】解：因为函数， 所以当时，． 故答案为：2070． 【点评】本题主要考查了函数值，熟练掌握函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 题型六．函数的图象 13．（2023秋•利辛县校级期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是　　 A．小汽车共行驶 B．小汽车中途停留 C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【解答】解：根据题意和图象可知： 小汽车共行驶：，故选项说法正确，不符合题意； 小汽车中途停留，故选项说法正确，不符合题意； 小汽车出发后前3小时的平均速度为：（千米时），故选项说法正确，不符合题意； 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项说法错误，符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了函数的图象以及学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”． 14．（2023秋•利辛县期末）小敏上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程（米和所经过的时间（分之间的函数图象如图所示．下列结论：①小敏在超市逗留了30分钟；②小敏家距离超市3000米；③小敏去超市途中的速度是300米分钟；④小敏8点50分返回到家．以上结论中正确的是 　①②③　（填序号）． 【分析】仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，从而进行判断． 【解答】解：（分钟）， 小敏在超市逗留了30分钟，①正确； 小敏家距离超市3000米，②正确； 小敏去超市途中的速度是（米分钟），③正确； 小敏从超市返回时的速度是（米分钟）， 小敏从超市返回时的时间是（分钟）， （分， 小敏8点55分返回到家，④错误； 综上，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 15．（2022秋•砀山县校级期中）某天小刚骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续前行，按时赶到学校，如图是小刚从家到学校这段所走的路程（米与时间（分之间的关系． （1）小刚从家到学校的路程是 　2000　米，从家出发到学校，小刚共用了 　　分； （2）小刚修车用了多长时间； （3）小刚修车前的平均速度是多少？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以得到小刚修车用了多长时间； （3）根据函数图象中的数据可以求得小刚修车前的平均速度． 【解答】解：（1）由图象可得， 小刚从家到学校的路程共2000米，从家出发到学校，小刚共用了20分钟． 故答案为：2000；20； （2）小刚修车用了：（分钟）， 答：小刚修车用了5分钟； （3）（米分钟）． 答：小刚修车前的平均速度是100米分钟． 【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型七．动点问题的函数图象 16．（2022秋•霍邱县期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿方向运动到处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点运动到　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据三角形的面积变化情况，可得在上时，三角形面积不变，可得答案． 【解答】解：当点运动到上时，的面积达到最大，且保持一段时间不变； 到点以后，面积开始减小； 故当时，点应运动到处． 故选：． 【点评】本题考查了动点函数图象，利用三角型面积的变化确定的位置是解题关键． 17．（2024春•埇桥区校级期中）如图1，在长方形中，点是上一点，点从点出发，沿着，，运动，到点停止，运动速度为，三角形的面积为，点的运动时间为，与之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 　4　； （2）当点运动到点时，，则的值为 　　． 【分析】（1）依据题意，根据三角形的面积随点的运动时间变化图象，判断出，，进而可以得解； （2）依据题意，根据三角形的面积随点的运动时间变化图象，抓住当 时，的面积进而进行计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，当从到三角形的面积逐渐增大，再由到时，三角形的面积逐渐变小，最后由到时面积变小速度变慢． 故，， ． 故答案为：4． （2）由题意，当 时，的面积， 又 ， ． ． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并理解是关键． 题型八．函数的表示方法 18．（霍邱县校级月考）下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度与下降高度的关系，下面能表示这种关系的式子是　　 50 80 100 150 25 40 50 75 A． B． C． D． 【分析】这是一个用图表表示的函数，可以看出是的2倍，即可得关系式． 【解答】解：由统计数据可知： 是的2倍， 所以，． 故选：． 【点评】此题主要考查了函数的表示方法，利用表格数据得出，关系是解题关键． 19．（2022秋•无为市月考）如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值数据． 输入 0 2 输出 2 6 16 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为3时，输出的值为 　24　． （2）当时，求该函数的表达式． （3）当输出的值为时，求输入的值． 【分析】（1）把代入，即可得到结论； （2）将，，代入解方程即可得到结论； （3）解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）当输入的值为3时，输出的值为， 故答案为：24； （2）将，，代入， 得， 解得， 当时，该函数的表达式为； （3）把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得（不合题意舍去）， 输出的值为时，输入的值为． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0即可求解． 【详解】解：由题意知， 解得， 函数的自变量的取值范围是， 故选A． 2．已知圆周率为，在圆的周长与圆的半径之间的函数关系式中，变量是（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了常量和变量，变量是改变的量，常量是不变的量．据此即可确定变量与常量． 【详解】解：在函数关系式中，变量是、，常量是， 故选：B． 3．向湖中扔一个小石子，湖中会荡起层层涟漪．若圆形水波的半径为，面积为．对于函数关系式，下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．是变量 D．是常量 【答案】C 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：关系式：中、是变量，、是常量，故C正确． 故选：C． 4．下列选项中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数定义，根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，给定一个的值，都只有唯一的与之对应，故能表示是的函数． 对于选项B、C、D，给定的的值，会出现多个的值与之对应，故不能表示是的函数． 故选A． 5．已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长公式列出等式变形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，且 ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查求函数解析式及自变量x的取值范围，根据题意列等量关系式及根据实际有意义求取值范围是解题的关键． 6．下列关于变量和的关系式：，，，，，，，其中是的函数的个数为(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应， 是的函数有：，，，，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量、，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 7．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】分别列方程计算即可． 【详解】A、，解得，不合题意； B、，解得，不合题意； C、，解得，符合题意； D、，解得，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了新定义，函数的知识，以及解一元一次方程，掌握新定义的含义是解题的关键． 8．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．乙用16分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1500米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，能从函数的图象中获取相关信息解决问题是解答的关键．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 甲步行的速度为：米/分， 乙追上甲用的时间为：（分钟），故A选项错误； 设乙速度为x米/分， 由题意得：， 解得：． ∴乙的速度为80米/分． ∴乙走完全程的时间为（分）， 乙追上甲后，又走（分），即再走米才到达终点，故B选项错误； 乙到达终点时，甲离终点距离是：米， （分），即甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D选项正确； 由图可知，乙到达终点时，甲乙两人之间的距离最远，最远距离是360米，故C选项错误； 故选：D． 9．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意 故选：D． 【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数． 10．如图，长方形中，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿运动，到达点D后停止运动，若点Р的运动时间为，的面积为，则y与t之间函数关系的大致图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分点P在AB上，点P在BC上，点P在CD上三种情况，分别判断面积的变化情况即可． 【详解】解：在长方形ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3， 由题意得：当点P在AB上，即0≤t≤2时，的面积y逐渐变大， 当点P在BC上，即2＜t≤5时，的面积y不变， 当点P在CD上，即5＜t≤7时，的面积y逐渐变小， ∴y与t之间函数关系的大致图像是B中的图像， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，分情况判断出面积的变化情况是解题的关键． 二、填空题 11．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 12．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是 ．      【答案】30 【分析】首先小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，回家就变为先下坡后上坡，而据图象知道上坡路程是24百米，下坡路程是48百米，由此先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间=路程÷速度即可求出小明从学校骑车回家用的时间． 【详解】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为24百米，所用时间为12分， ∴上坡速度=24÷12=2百米/分， 下坡路的距离是72-24=48百米，所用时间为24-12=12分， ∴下坡速度=48÷12=4百米/分； ∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小明从学校骑车回家用的时间是：48÷2+24÷4=30分钟． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查学生的读图获取信息的能力，需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，去学校时的下坡，返回家时是上坡． 13．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝9cm，点 D在线段 CA上从点C出发向点A方向运动（点 D不与点 A，点C重合），且点D运动的速度为2cm/s，现设运动时间为 x（0＜x＜）秒时，对应的 △ABD 的面积为ycm²，则当x＝2 时，y＝ ；y与x之间满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】根据,代入数轴求解即可． 【详解】解：根据题意得： ＝ ＝ ＝， ∴当x＝2 时，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了动点问题的函数关系，根据题意得出解析式是关系． 14．函数，当函数自变量 时， y = ；当时， x = ． 【答案】 或/或 【分析】根据函数自变量的范围，将代入，根据，分别解方程，结合自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：当函数自变量 时，∵ ∴， 当时，时，， 解得：或， 当，解得：，舍去 ∴或， 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了求函数自变量的值或函数值，根据平方根的定义解方程，注意自变量的取值范围是解题的关键. 三、解答题 15．定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)17 (2)， (3)；或 【分析】（1）根据新运算计算，即可求解； （2）根据新运算可得①，②，即可求解； （3）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：； （3）解：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． 16．今年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在天安门正式举行．通常提到的“阅兵”，实际是分为“阅兵式”和“分列式”．阅兵式，就是士兵不动，军委主席坐车来检阅．分列式，就是所有方（梯）队，踏着统一的节奏，依次通过天安门前检阅区．在分列式中，受检阅的距离就是天安门前，东西的两个华表之间，两个华表相隔米．受检阅官兵迈着每步厘米，必需x步走完，若步速每分钟步，需要时间秒．求出与各是多少?若淮北籍东海舰队航空兵副司令员梁旭少将在受检阅时，他走过的路程步，行走的时间为秒写出与的函数关系（不需要写出自变量的取值范围) 【答案】，， 【分析】先统一单位，然后根据题意即可求出x和y的值，然后根据路程=每秒的步数×时间即可求出s与t的关系式． 【详解】解： 步/分=步/秒 由题意可得 答：，，与的函数关系为． 【点睛】此题考查的是函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键． 17．小华骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离西安交大的距离是多少？ （2）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？ （3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？ 【答案】（1）4800米；（2）450米/分；（3）6800米 【分析】（1）根据函数图象，直接可得小华家到西安交大的路程； （2）根据函数图象求得从新华书店到西安交大的路程和时间，根据速度等于路程除以时间即可求得； （3）根据函数图象可得路程为3段，将其相加即可． 【详解】解：（1）根据函数图象，可知小华家到西安交大的路程是4800米； （2）小华从新华书店到西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟， 小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是1800÷4=450米/分； （3）根据函数图象，小华一共行驶了4800＋2×（4000﹣3000）＝6800（米）． 【点睛】本题考查了函数图象，要理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动过程，从函数图象中获取信息是解题的关键． 18．人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，李老师调查了自己班学生的学习遗忘规律，并根据调查数据描绘了一条曲线（如图所示），其中纵轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间，观察图象并回答下列问题： （1）观察图象，1h后，记忆保持量约为　 　；8h后，记忆保持量约为　 　． （2）图中的A点表示的意义是　 　； （3）在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号　 　； ①0﹣2h；②2﹣4h；③4﹣6h；④6﹣8h． （4）有研究表明，如及时复习，一天后能保持98%，根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样？由此，你有什么感受． 【答案】（1）50%，30%；（2）2h记忆量大约保持了40%；（3）①；（4）如果一天不复习，记忆量只能保持不到30%；感受：①学习知识后每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合． 【分析】（1）观察图像可知1h后，记忆保持量约为50%，8h后，记忆保持量约为30%； （2）由题可得，点A表示：2h大约记忆量保持了40%； （3）观察图像可知在0﹣2h 内记忆保持量下降的速度是最快的； （4）如果一天不复习，记忆量只能保持不到30%，提出合理感受即可. 【详解】解：（1）由图可得，1h后，记忆保持量约为50%（50%±3%均算正确）； 8h后，记忆保持量约为30%（30%±3%均算正确）； 故答案为：50%，30%； （2）由题可得，点A表示：2h大约记忆量保持了40%， 故答案为：2h记忆量大约保持了40%； （3）由图可得，0﹣2h 内记忆保持量下降60%，故0﹣2h 内内遗忘的速度最快， 故答案为：①； （4）如果一天不复习，记忆量只能保持不到30%； 感受：①学习知识后每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合． 【点睛】本题主要考查了从函数图像中获取信息，解题的关键在于能够准确读懂函数图像所表达的意思. 19．观察下列由白色正方形和灰色正方形组成的图案，并解决下列问题． (1)图4中有________个白色正方形；若图中有个白色正方形，则与的函数关系式是________； (2)若在图中，白色正方形比灰色正方形多2023个，求的值． 【答案】(1)23； (2)505 【分析】（1）由题意知，图1中有个白色正方形；图2中有个白色正方形；图3中有个白色正方形；据此类推，图4中有个白色正方形；…，进而可得图中有个白色正方形； （2）由题意知，在图中，白色正方形有个，灰色正方形有个，则由题意得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，图1中有个白色正方形； 图2中有个白色正方形； 图3中有个白色正方形； 据此类推，图4中有个白色正方形；… 综上所述，可得图中有个白色正方形， ∴与的函数关系式为， 故答案为：23；． （2）解：由题意知，在图中，白色正方形有个，灰色正方形有个． ∵白色正方形比灰色正方形多2023个， ∴，解得， ∴的值为505． 【点睛】本题考查了图形规律的探究，函数解析式，解一元一次方程．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 20．有人说“鲜花可作为七彩云南的一张名片”，的确，在云南几乎一年四季都有各种鲜花在争妍斗艳，令人赏心悦目，各种鲜花制品也是种类繁多，令人目不暇接，某花店第一天卖出50束玉兰花和20束玫瑰花的利润是800元，第二天卖出30束玉兰花和30束玫瑰花的利润是750元． (1)每束玉兰花和玫瑰花的利润各是多少元？ (2)某天该花店卖出玉兰花和玫瑰花一共80束． ①卖出束玉兰花，卖出两种花的总利润为 元，写出与的函数关系式； ②卖这两种花的利润是900元，这天卖出多少束玫瑰花？ 【答案】(1)每束玉兰花和玫瑰花的利润各是10元，15元 (2)①；②这天卖出20束玫瑰花 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式，求自变量的值： （1）设每束玉兰花和玫瑰花的利润各是x元，y元，根据出50束玉兰花和20束玫瑰花的利润是800元，第二天卖出30束玉兰花和30束玫瑰花的利润是750元列出方程组求解即可； （2）①根据利润单束花的利润花的数量求出两种花的利润，再求和即可得到答案；②根据（2）①所求代入，求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设每束玉兰花和玫瑰花的利润各是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：每束玉兰花和玫瑰花的利润各是10元，15元； （2）解：①由题意得，； ②由题意得，， 解得， ∴， 答：这天卖出20束玫瑰花． 21．已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图像． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的周长是，列出关于的等式，然后变形即可； （2）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （3）用描点法画图即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 变形得： ∴与的函数关系式为： （2）解：由三角形的三边关系可知： 即： 解得： 故自变量的取值范围为： （3）解：在函数（）中 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴该函数经过、、、、 其图像如下： 【点睛】本题考查了求函数表达式、函数表达式中自变量的取值范围、函数的图像等知识点；熟练掌握函数图像与函数表达式的关系是解题的关键． 22．下图是某水库的库容曲线图，其中x表示水库的平均水深（m），表示水库的库容（万）．根据图象回答下面的问题： (1)这个函数反映了哪两个变量之间的关系？ (2)填表： 5 10 15 20 25 V（万） (3)当平均水深取至之间的一个确定的值时，相应的库容确定吗？ (4)库容V可以看成平均水深x的函数吗？ (5)求当时的函数值，并说明它的实际意义． 【答案】(1)水库的库容与平均水深之间的关系． (2)10，40，75，150，250 (3)确定 (4)是 (5)当时的函数值为，表示的意义是：当水库的平均水深为18m时，水库的库容是125万． 【分析】（1）观察水库的库容曲线图，理解横、纵坐标代表的实际意义，就可解答问题； （2）从图象可以读出来即可； （3）抓住函数的概念，就可以判断出来； （4）抓住函数的概念，就可以判断出来； （5）从图象可以读出来，还要结合横、纵坐标代表的实际意义，即可解答． 【详解】（1）根据图像可知，这个函数反映了水库的库容与平均水深之间的关系． （2）根据图像可知， 5 10 15 20 25 V（万） 10 40 75 150 250 故答案为：10，40，75，150，250； （3）根据图像可知，当平均水深取至之间的一个确定的值时，相应的库容确定； （4）根据函数图像及函数定义可知，库容V可以看成平均水深x的函数； （5）根据图像可知，当时的函数值为， 表示的意义是：当水库的平均水深为18m时，水库的库容是125万． 【点睛】本题考查的是由图象反映的信息来解决的题目，解此类题的关键是理解点的横坐标和纵坐标的实际意义，明确点的坐标与点的对应关系，培养观察能力和分析问题的能力，体现了数形结合的思想，将“数”和“形”结合在一起研究、探索，从而解决问题．函数的三种表示形式是：列表法、图象法、解析法．本题考查的是图象法. 学科网（北京）股份有限公司 $$