第03讲 三角形一边的平行线（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第03讲 三角形一边的平行线（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点2．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型强化 题型一．三角形的重心 1．（2022秋•嘉定区期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为　　 A．2 B． C． D． 2．（2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 　　． 3．（2022秋•青浦区校级月考）如图，为的重心，，求的值． 题型二．平行线分线段成比例 4．（2024•崇明区）如图，已知，它们与直线、依次交于点、、和点、、，如果，，那么线段的长是 　　． 5．（2024•闵行区）如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•松江区校级月考）如图，，，，． （1）求的值； （2）求证：． 分层练习 一、单选题 1．（20-21九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A．   B．  C．   D．   2．（2023·上海·一模）如图，已知，，，那么的长等于（    ） A．4 B． C． D．8 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（  ） A． B． C． D． 4．（2023·上海黄浦·一模）如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·上海·阶段练习）如图，点D、点F在的边上，点E在边上，，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，且不与的顶点重合，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知一张等腰直角纸片，其底边长为，将其沿过其重心且平行于底边的直线折叠，则折叠后重叠部分的面积为 ． 9．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，，如果，，，那么的长是 ． 10．（21-22九年级下·上海普陀·期中）如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为 ． 11．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 12．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 13．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 14．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 15．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，四边形中，，如果，， ，则的长是 ． 16．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，如果，那么，这个命题是 命题（填“真”或“假”）． 17．（2022·上海黄浦·二模）如图，在中，，，点E在边上且，点F在边上，过点F作的垂线交射线于点G，当Rt的一条直角边与的一边平行时，则的长为 ． 18．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于点、、．直线分别与直线、、相交于点、、，直线与交于点．如果，，那么的长为 ． 三、解答题 19．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）小明夜游世博会，在路灯下的处走到处时，测得影子的的长为1米，继续往前走了米到达处，若小明的身高是米，路灯高度为米，此时小明的影子长为多少米？ 20．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，在中，，，，，求．    21．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，为对角线上任意一点．求证：．    22．（22-23九年级·上海·假期作业）在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行． (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，． 23．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 24．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长． 25．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 26．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，点、分别在的边、上，，求证： ．    27．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 28．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形一边的平行线（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点2．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型强化 题型一．三角形的重心 1．（2022秋•嘉定区期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为　　 A．2 B． C． D． 【分析】根据重心的概念得出，即可得出答案． 【解答】解：点是的重心，是边的中点， 那么的值为：， 故选：． 【点评】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 2．（2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 　9　． 【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得，为边上的中线，然后即可． 【解答】解：如图，连接，延长交于点． 点是的重心， ，为边上的中线， ， 边上的中线长为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 3．（2022秋•青浦区校级月考）如图，为的重心，，求的值． 【分析】为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论． 【解答】解：点为的重心， ， ， ， 点为的重心， 点是边的中点， ； 点为的重心， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 题型二．平行线分线段成比例 4．（2024•崇明区）如图，已知，它们与直线、依次交于点、、和点、、，如果，，那么线段的长是 　15　． 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可． 【解答】解：， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 5．（2024•闵行区）如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可判断． 【解答】解：， ，选项符合题意； ，选项不符合题意； ，选项不符合题意； ，选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 6．（2022秋•松江区校级月考）如图，，，，． （1）求的值； （2）求证：． 【分析】（1）由平行可得，可求得，且，可求得； （2）由平行可知，可得出结论． 【解答】（1）解： ， ， 又，， ， 解得， ； （2）证明： ，， ， ． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（20-21九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，逐项分析即可． 【详解】解：A、图中线段满足，故不合题意； B、图中线段满足，故符合题意； C、图中线段满足，故不合题意； D、图中线段满足，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 2．（2023·上海·一模）如图，已知，，，那么的长等于（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键． 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、∴，， ∴， ∴， 故选项不符合题意， B、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项不符合题意， C、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项不符合题意， D、，但不是对应边的夹角，不能判定，故选项符合题意， 故选：． 4．（2023·上海黄浦·一模）如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键． 5．（21-22九年级上·上海·阶段练习）如图，点D、点F在的边上，点E在边上，，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例可得，则可以推出当，即时，． 【详解】解：，， ， 当时，， 此时，故A选项符合题意； B，C，D选项均不能得出． 故选A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”． 6．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，且不与的顶点重合，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可得出，故由不能得到，该选项不符合题意； B．由，可得出，故该选项符合题意； C．由不一定能得到，故该选项不符合题意； D．由，可得出，故由不能得到，该选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行．掌握如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边是解题关键． 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 【答案】2 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意，当，即：时，； 故答案为：2． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知一张等腰直角纸片，其底边长为，将其沿过其重心且平行于底边的直线折叠，则折叠后重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例及三角形中位线的性质、勾股定理，熟知相关性质是正确解决本题的关键．过中点E作，交于F，利用平行线分线段成比例求出重叠部分的上底、下底、高，再利用梯形面积公式即可求出． 【详解】 解：如图所示，，是中线，M是重心，过点M且，将沿直线折叠，重叠部分是梯形， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 同理， ， ． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得到，即可求出，进而得到的长，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（21-22九年级下·上海普陀·期中）如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】证明，推出，设，则，，求出四边形的面积，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 11．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15． 12．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】9 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．由平行得比例，求出的长即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 解得：， ∴， 故答案为：9． 13．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将代入求出，即可求解． 【详解】解：∵， 解得． 故答案为：2． 14．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【详解】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 15．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，四边形中，，如果，， ，则的长是 ． 【答案】// 【分析】根据平行线分线段成比例得出，求出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 16．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，如果，那么，这个命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】当是的中点，是的中点时，，但不平行，也不平行，从而得出是假命题． 【详解】解：是假命题，理由如下： 当是的中点，是的中点时，，但不平行，也不平行，所以这是个假命题； 如图， 故答案为：假． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案 17．（2022·上海黄浦·二模）如图，在中，，，点E在边上且，点F在边上，过点F作的垂线交射线于点G，当Rt的一条直角边与的一边平行时，则的长为 ． 【答案】4或8/8或4 【分析】分，，三种情况，结合含角的直角三角形和平行线分线段成比例定理分别求解． 【详解】解：过点C作CM⊥AB， ∵，， ∴， 在Rt中，， ∴， ∵， ∴，， ①当时， 由题意可得， ∴， 在Rt，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时， ∴， ∴； ③当时， 此时， 过点F作， ∴，， ∵，， ∴， 在Rt中，， ∴， 综上，的长为4或8， 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，理解等腰三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质，利用分类讨论思想解题是关键． 18．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于点、、．直线分别与直线、、相交于点、、，直线与交于点．如果，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键． 三、解答题 19．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）小明夜游世博会，在路灯下的处走到处时，测得影子的的长为1米，继续往前走了米到达处，若小明的身高是米，路灯高度为米，此时小明的影子长为多少米？ 【答案】 【分析】根据题意得，再根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，米，米，米，米， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴，则米， ∴，即， ∴，解得，， ∴小明的影子长为米． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线的判断和平行线分线段成比例是解题的关键． 20．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，在中，，，，，求．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 21．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，为对角线上任意一点．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 22．（22-23九年级·上海·假期作业）在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行． (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，． 【答案】(1)平行 (2)平行 (3)不平行 (4)平行 【分析】（1）根据平行线分线段成比例判断即可； （2）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可； （3）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可； （4）根据题意得出，，根据平行线分线段成比例判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴； （2），， ∴； （3），， ∴不相等，不平行； （4）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用是解题关键． 23．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，求出，从而得到的长．根据等腰三角形的性质得到，再由平行线分线段成比例，可得，得到的长． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应关系，避免错误． 24．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长． 【答案】，． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 25．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，由为中点，即可证得； （2）根据平行线分线段成比例得出，等量代换后得到，再得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 由为中点，即可证得． （2）证明：连接．    ， ． 由（1）可得， ， ， ． 【点睛】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换． 26．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，点、分别在的边、上，，求证： ．    【答案】见解析 【分析】首先证明四边形平行四边形，易得，；然后根据“平行线分线段成比例定理”证明即可． 【详解】证明：过点作，交边于点，    又∵， ∴四边形平行四边形 ∴，， ∴， ∴； 由， 得， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 27．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 28．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例．正确作出辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长、，设交点为，则四边形为平行四边形．结合题意得出．根据平行线分线段成比例，得出，，即得出．再证明即可． 【详解】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形． 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ，即． 又， ， ． ∵． ，即， ， 即． 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