第3章 第1节 导数的概念及运算(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三章一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 学习目标 1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数.通过函数图象,理解导数的几何意义. 2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数. 　　　　　　　　　　　　　　　　 回首教材 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)==. (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 3.导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (3)'=(g(x)≠0); (4)[cf(x)]'=cf'(x)(c为常数). 4.复合函数的导数 对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 　　[微点提醒] (1)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点. (2)函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡峭”. (3)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆. (4)f'(x)是一个函数,f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0,[f(x0)]'是函数值f(x0)的导数且[f(x0)]'=0. 拓展教材(常见结论及应用) (1)若函数连续且可导,奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. (2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x). (3)①注意≠. ②(特殊化)当f(x)=1,g(x)≠0时,=,=-. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为y=x,y=-x. 追根溯源 (人B选择性必修③P91T6)求满足下列条件的直线l的方程. (1)过原点且与曲线y=ln x相切; (2)斜率为e且与曲线y=ex相切. 发现启迪 从条件上看,两题均是求曲线y=ln x过坐标原点的切线方程,只不过高考题又结合了分段函数及函数的性质求解,完美阐释了教材的本位作用. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1.(苏教选择性必修①P203T2改编)[多选]下列函数求导运算正确的是 (　 ) A.若y=,则y'=- B.若y=4x,则y'=4x C.若y=,则y'= D.若y=xex,则y'=(x+1)ex 答案:AD 2.(北师大选择性必修②P66T1改编)设函数f(x)=x4+3x-1,则f'(2)= (　 ) A.37 B.21 C.35 D.-1 解析:选C　由f'(x)=4x3+3,得f'(2)=35. 3.(人A选择性必修②P82“探究与发现”拓展:牛顿法——用导数方法求方程的近似解) 如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.若f(x)=x2-2(x>0),x0=2,则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 (　 ) A.1.438 B.1.417 C.1.416 D.1.375 解析:选B　由f(x)=x2-2(x>0),求导得f'(x)=2x,而x0=2,则f'(x0)=4.又f(x0)=2,于是函数f(x)的图象在横坐标为x0=2的点处的切线方程为y-2=4(x-2).令y=0,得x1=,则f'(x1)=3,f(x1)=-2=,因此函数f(x)的图象在横坐标为x1=的点处的切线方程为y-=3.令y=0,得x2=≈1.417. 4.(人A选择性必修②P78T3改编)曲线y=f(x)=x2+在点(1,4)处的切线方程为　　　　　　.  解析:易知f'(x)=2x-,则f'(1)=-1,故f(x)在点(1,4)处的切线方程为y-4=-(x-1),即x+y-5=0. 答案:x+y-5=0 B组——迷点盲点的澄清训练 1.(混淆f'(x0)与[f(x0)]')已知函数f(x)=ex+x3f'(1),则f(1)= (　 ) A.e B.-e C. D.- 解析:选C　f(x)=ex+x3f'(1),则f'(x)=ex+3x2f'(1),故f'(1)=e+3f'(1),解得f'(1)=-,f(x)=ex-x3,所以f(1)=e-=. 2.(忽视f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别)已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　　.   解析:f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2.[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2. 答案:3(2x+3)2　6(2x+3)2 题点一　导数的运算(自主练通) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·济南质检)[多选]下列求导运算正确的是 (　 ) A.'=- B.(x2ex)'=2x+ex C.'=-sin D.'=1+ 解析:选AD　' =-·(ln x)'=-,故A正确;(x2ex)'=(x2+2x)ex,故B错误;'=-2sin,故C错误;'=1+,故D正确. 2.已知函数f(x)=x(x-3)(x-32)(x-33)(x-34)(x-35),则f'(0)= (　 ) A.315 B.314 C.-314 D.-315 解析:选D　设φ(x)=(x-3)(x-32)(x-33)(x-34)(x-35),即f(x)=xφ(x),则f'(x)=φ(x)+xφ'(x),∴f'(0)=φ(0)=-3×32×33×34×35=-31+2+3+4+5=-315. 3.吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的关系是V=πr3.当V= L时,气球的瞬时膨胀率为 (　 ) A. dm/L B. dm/L C.3 L/dm D.4π L/dm 解析:选A　因为V=πr3,所以r=,所以r'=×,当V=时,r'=××=××=×= dm/L.故选A. 4.已知可导函数f(x),g(x)定义域均为R,对任意x满足f(x)+2x2g=x-1,且f(1)=1,则f'(1)+g'=　　　　.  解析:由题意可知,令x=1,则f(1)+2×12×g=1-1,解得g=-=-.由f(x)+2x2g=x-1,得f'(x)+(2x2)'g+2x2=(x-1)',即f'(x)+4xg+x2g'=1.令x=1,得f'(1)+4×1×g+12×g'=1,即f'(1)+4g+g'=1,解得f'(1)+g'=1-4g=1-4×=3. 答案:3 [思维建模] 　　常用求导技巧 (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; (5)三角形式:先利用公式化简函数,再求导; (6)复合函数:确定复合关系,由外向内,层层求导. 题点二　导数的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　求切线方程　例1　(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为 (　 ) A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ 解析:选C　由题意可知y'==,则曲线y=在点处的切线斜率k=y'|x=1=,所以曲线y=在点处的切线方程为y-=(x-1),即y=x+,故选C. 例2　(2023·南通二模)过点(-1,0)作曲线y=x3-x的切线,写出一条切线的方程　　　　　.  解析:由y=x3-x,得y'=3x2-1,设切点坐标为(x0,-x0),则切线斜率为3-1,得方程y-(-x0)=(3-1)(x-x0),代入点(-1,0),得2+3-1=0,即(2x0-1)=0,解得x0=-1或x0=.当x0=-1时,切线方程为2x-y+2=0;当x0=时,切线方程为x+4y+1=0. 答案:2x-y+2=0(答案不唯一) 易错 防范 求切线方程时,要注意判断已知点是否满足曲线方程,即在曲线上,否则会出现所求切线方程不满足题意. 易错 再练 已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为　　　　　　.  答案:x-y-1=0 |思维建模|　求切线方程的策略 　　求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据斜率相等,切点在切线上,切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 考法(二)　求切点坐标 　例3　曲线f(x)=x3+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x,则点P的坐标为 (　 ) A.(2,8)或(-1,-4) B.(1,0)或(-1,-4) C.(-1,-4) D.(1,0) 解析:选D　由f(x)=x3+x-2得f'(x)=3x2+1,设点P(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4⇒x0=±1.将x0=±1代入f(x)中可得f(1)=0,f(-1)=-4,故P(1,0)或P(-1,-4).当P(-1,-4)时,切线方程为y+4=4(x+1)⇒y=4x,不符合题意,舍去.所以点P(1,0). 易错 防范 此处易忽视验证与直线重合的情况而造成增解. 易错 再练 已知曲线y=x3+3x在点P处的切线与直线y=15x+3平行,则点P的坐标为 (　 ) A.(2,14)　　　　　　　B.(-2,-14) C.(2,14)或(-2,-14) D.以上都不对 答案:C |思维建模|　求切点坐标的关键点 (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标; (2)求解曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其定义域. 考法(三)　求参数范围　 例4　若曲线y=2sin x-2cos x在点处的切线与直线x-ay+1=0垂直,则实数a等于 (　 ) A.-1 B.- C.-2 D.2 解析:选C　∵y=2sin x-2cos x,∴y'=2cos x+2sin x,∴曲线y=2sin x-2cos x在点处的切线的斜率k=y'=2cos+2sin=2.∵切线与直线x-ay+1=0垂直,∴直线x-ay+1=0的斜率为-=-,∴a=-2. 例5　若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　　.  快审准解:设出切点横坐标x0,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于x0的方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得a的取值范围. 　 解析:∵y=(x+a)ex,∴y'=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a),切线斜率k=(x0+1+a),切线方程为y-(x0+a)=(x0+1+a)·(x-x0).∵切线过原点,∴-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0),整理得+ax0-a=0.∵切线有两条,∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). 答案:(-∞,-4)∪(0,+∞) |思维建模|　由导数的几何意义求参数范围的方法 　　利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. [提醒]　注意曲线上点的横坐标的取值范围. [针对训练] 1. 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 (　 ) 解析:选B　由y=f'(x)的图象是先上升后下降可知,函数y=f(x)图象的切线的斜率先增大后减小,故选B. 2.(2024·北京东城一模)过坐标原点作曲线y=ex-2+1的切线,则切线方程为 (　 ) A.y=x B.y=2x C.y=x D.y=ex 解析:选A　由函数y=ex-2+1,可得y'=ex-2,设切点坐标为(t,et-2+1),可得切线方程为y-(et-2+1)=et-2(x-t),把原点(0,0)代入方程,可得0-(et-2+1)=et-2(0-t),即(t-1)et-2=1,解得t=2,所以切线方程为y-(e0+1)=e0(x-2),即y=x.3.若函数f(x)=2ln x+x2+mx+1的图象上任意一点的切线的斜率都大于0,则实数m的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-4) B.(-∞,4) C.(-4,+∞) D.(4,+∞) 快审准解:由f'(x)>0恒成立列不等式,利用分离常数法,结合基本不等式求得m的取值范围. 　 解析:选C　f(x)的定义域是(0,+∞),依题意,f'(x)=+2x+m>0恒成立,即-m<+2x恒成立,由于+2x≥2=4,当且仅当=2x,x=1时等号成立,所以-m<4,m>-4. 4.若过点P(m,0)与曲线f(x)=相切的直线只有2条,则m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 快审准解:求得f'(x)=-,可得切线PQ的方程t2+(1-m)t+1=0,结合题意,转化为方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根,根据二次函数的性质,即可求解. 　 解析:选D　设过点P(m,0)的直线与曲线f(x)=相切于点Q.由f(x)=,得f'(x)=-,所以切线PQ的斜率k=-=,整理得t2+(1-m)t+1=0.因为切线有2条,所以切点有2个,即方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根,则Δ=(1-m)2-4>0,解得m>3或m<-1,所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).故选D. 题点三　两曲线的公切线问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 例6　若直线y=kx+b是曲线y=ex-1和y=ex-1的公切线,则实数k的值是 (　 ) A.e-1 B.e C.0 D.1 快审准解:设直线y=kx+b与曲线y=ex-1,y=ex-1分别相切于点A(x1,-1),B(x2,),利用导数求出曲线y=ex-1在点A处的切线方程,以及曲线y=ex-1在点B处的切线方程,可得出关于x1,x2的方程组,解出这两个量的值,即可求得k的值. 　 解析:选D　设直线y=kx+b与曲线y=ex-1,y=ex-1分别相切于点A(x1,-1),B(x2,).对函数y=ex-1求导得y'=ex,则k=,曲线y=ex-1在点A处的切线方程为y-+1=(x-x1),即y=x+(1-x1)-1.对函数y=ex-1求导得y'=ex-1,则k=,曲线y=ex-1在点B处的切线方程为y-=(x-x2),即y=x+(1-x2),所以化简可得 [思维建模] 　　求解公切线问题的策略 　　确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解. [针对训练] 5.若直线l与曲线y=ex相切,切点为M(x1,y1),与曲线y=(x+3)2也相切,切点为N(x2,y2),则2x1-x2的值为 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:选B　因为直线l与曲线y=ex相切,切点为M(x1,y1),所以直线l的方程为y=(x-x1)+=x+(1-x1).又直线l与曲线y=(x+3)2也相切,切点为N(x2,y2),所以直线l的方程为y=2(x2+3)(x-x2)+=2(x2+3)x-+9,所以两式相除,可得2(1-x1)=3-x2,所以2x1-x2=-1. 6.已知函数f(x)=ax2与g(x)=ln x的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为　　　　.  解析:设公共点为P(x0,y0)(x0>0),则a=ln x0.由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax.由g(x)=ln x,得g'(x)=.因为函数f(x)=ax2与g(x)=ln x的图象在公共点P(x0,y0)处有共同的切线,所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=,得a=.所以·=ln x0,即ln x0=,得x0=.所以a==. 答案: 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 导函数与原函数的对称性、周期性 (1)若函数f(x)是可导函数,且图象关于(m,n)对称,则其导函数f'(x)的图象关于x=m轴对称. (2)若函数f(x)是可导函数,且图象关于x=m对称,则其导函数f'(x)的图象关于(m,0)对称. (3)若定义在R上的函数f(x)是可导函数,且周期为T,则其导函数f'(x)是周期函数,且周期也为T. (4)若函数f(x)是可导函数,定义域为D,其导函数f'(x)的图象关于x=m轴对称,则f(x)图象关于对称,x0为定义域内任意一点. 偶函数f'(x)的原函数f(x)图象关于对称,当f(x0)+f(-x0)=0时,f(x)为奇函数. (5)若函数f(x)是可导函数,定义域为D,其导函数f'(x)的图象关于(m,n)对称,当n≠0时,函数f(x)图象不具有对称性;当n=0时,且∃x0∈D,使得f(x0)=f(2m-x0),此时函数f(x)图象关于x=m对称. 奇函数f'(x)的原函数f(x)关于x=对称,当f(x0)+f(-x0)=0时,f(x)为偶函数. (6)定义在R上的函数f(x)是可导函数,其导函数f'(x)是周期函数,周期为T,若∃x0∈R,使得f(x0+T)=f(x0),则函数f(x)是周期函数,周期为T. [应用体验] 1.已知函数f(x),g(x)及其导函数f'(x),g'(x)的定义域均为R,且f(x+2)为偶函数,函数y=g(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,则f(g'(-1))= (　 ) A.f(4-g'(1)) B.f(4+g'(1)) C.f(-g'(1)) D.-f(g'(1)) 解析:选A　因为f(x+2)为偶函数,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.所以f(x)=f(4-x).因为函数y=g(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以函数y=g(x)关于点(0,0)对称,所以y=g(x)为奇函数,所以y=g'(x)为偶函数,所以g'(-1)=g'(1),所以f(g'(-1))=f(g'(1))=f(4-g'(1)).故选A. 2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若函数y=f(3-2x)为奇函数,函数y=x-f(x+2)为偶函数,g(x)=f'(x),则 (　 ) A.g(0)= B.g(4)= C.g(0)+g(2)= D.g(4)-g(6)= 解析:选C　由y=f(3-2x)为奇函数可得f(3-2x)=-f(3+2x),即f(3-x)=-f(3+x),所以f'(3-x)=f'(3+x),即f'(3-x)-f'(3+x)=0,即g(3-x)-g(3+x)=0,所以函数g(x)的图象关于直线x=3对称.由y=x-f(x+2)是偶函数可得y'=-f'(x+2)为奇函数,所以-f'(x+2)+-f'(-x+2)=0,即g(x+2)+g(-x+2)=,所以函数g(x)的图象关于点对称.将x=0代入g(x+2)+g(-x+2)=,得g(2)=,将x=1代入g(3-x)-g(3+x)=0,得g(4)=,B错误;将x=2代入g(x+2)+g(-x+2)=,得g(4)+g(0)=,得g(0)=,A错误;g(0)+g(2)=+=,C正确;将x=3代入g(3-x)-g(3+x)=0,得g(0)-g(6)=0,故g(6)=,g(4)-g(6)=-=0,D错误.故选C. 3.已知函数f(x)及其导函数f'(x)定义域均为R,f'(x)为奇函数,f(x+1)+f'(x-3)=2,f(-x+3)=-f'(-x+3),给出下列结论:①f(2 020)=0;②f'(2 020)=0;③f(2 022)=1;④f'(2 022)=1.其中,正确的结论是 (　 ) A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 解析:选C　因为f'(x)为奇函数,所以f'(-x+3)=-f'(x-3).因为f(x+1)+f'(x-3)=2,f(-x+3)=-f'(-x+3)=f'(x-3),故可得f(x+1)+f(3-x)=2,所以函数f(x)的图象关于点(2,1)对称.在等式f(x+1)+f(3-x)=2中,令x=1可得2f(2)=2,则f(2)=1.因为函数f'(x)为奇函数,即f'(-x)+f'(x)=0,可设f(-x)-f(x)=c,c为常数,则c=f(0)-f(0)=0,故f(-x)-f(x)=0,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.由f(x+1)+f(3-x)=2可得f(x+1)+f(x-3)=2,从而可得f(x+5)+f(x+1)=2,则f(x+5)=f(x-3),即f(x+8)=f(x),所以函数f(x)为周期为8的周期函数,故f(2 022)=f(253×8-2)=f(-2)=f(2)=1.在等式f(x+1)+f(3-x)=2两边同时求导可得f'(x+1)-f'(3-x)=0,即f'(x+1)=f'(3-x),在等式f'(x+1)=f'(3-x)中,令x=-1可得f'(4)=f'(0)=0.因为函数f(x)是周期为8的周期函数,则f(x+8)=f(x),等式f(x+8)=f(x)两边求导可得f'(x+8)=f'(x),所以函数f'(x)是周期为8的周期函数,所以f'(2 020)=f'(252×8+4)=f'(4)=0.而f(2 020),f'(2 022)的值根据已知条件无法推导,则②③正确,①④错误.故选C. 4.已知定义在R上的函数f(x),g(x),其导函数分别为f'(x),g'(x),且f(x)+g'(x)=5,f(2-x)-g'(2+x)=5,且g(x)为奇函数,则下列等式一定成立的是 (　 ) A.f(2)=0 B.f'(x+6)=f'(x) C.g(x+4)=g(x) D.g'(8-x)=g'(x) 解析:选D　由得∴g'(2-x)=-g'(2+x),∴g'(x)图象关于(2,0)中心对称,则g'(4+x)=-g'(-x).∵g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x),左、右求导得-g'(-x)=-g'(x),∴g'(x)=g'(-x),∴g'(x)为偶函数,图象关于y轴对称,∴g'(x+8)=-g'(-(x+4))=-g'(x+4)=-[-g'(-x)]=g'(-x)=g'(x),∴g'(x)是周期为8的周期函数,∴g'(8-x)=g'(x-8)=g'(x),D正确;∵f(x)+g'(x)=5,∴f(2)+g'(2)=5,又g'(-2)=g'(2)=0,∴f(2)=5,A错误;令h(x)=g'(x),则h(x+8)=h(x),∴h'(x+8)=h'(x),又h(x)=5-f(x),h(x+8)=5-f(x+8),∴-f'(x+8)=-f'(x),即f'(x+8)=f'(x),B错误;∵g'(x+4)=-g'(x),∴g'(x+4)+g'(x)=0,设F(x)=g(x+4)+g(x),则F'(x)=g'(x+4)+g'(x)=0,∴F(x)=C(C∈R),又g(x)为奇函数,∴F(-2)=g(2)+g(-2)=0,∴F(x)=0,即g(x+4)=-g(x),C错误. [课时跟踪检测]　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[多选]下列求导运算正确的是 (　 ) A.[cos(-2x)]'=2sin x B.若f(x)=,则f'(x)= C.(e3)'=3e2 D.(lg 2x)'= 解析:选BD　[cos(-2x)]'=-sin(-2x)·(-2x)'=2sin(-2x),故A错误;f'(x)==,故B正确;(e3)'=0,故C错误;(lg 2x)'=×(2x)'=,故D正确. 2. 如图,已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2))处的切线为直线l,则f(2)+f'(2)= (　 ) A.-3 B.-2 C.2 D.1 解析:选D　由导数的几何意义可得,切线l的斜率为f'(2)==-1,则直线l的方程为y=-x+4.又因为点P(2,f(2))在直线l上,所以f(2)=-2+4=2,因此f(2)+f'(2)=2-1=1. 3.曲线y=ln x+2在x=1处的切线方程为 (　 ) A.y=x+ B.y=2x-4 C.y=3x-1 D.y=2x 解析:选D　由题意可知x=1时,y=ln 1+2=2,即切点为(1,2),又y'=+,故曲线y=ln x+2在x=1处的切线斜率为y'|x=1=2,故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x,故选D. 4.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (　 ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 解析:选D　因为y'=aex+ln x+1,所以k=y'|x=1=ae+1,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1.所以解得 5.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 解析:选B　函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,即a=2-.因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2). 6.(2024·南通统考)已知f(x)=(a≠0)是奇函数,则f(x)在x=0处的切线方程是 (　 ) A.y=x B.y=2x C.y=ex D.y=2ex 解析:选B　因为f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=+=0,化简可得eax-e2x+e2x-ax-1=0,当a=2时,对任意x∈R方程成立,故f(x)==ex-e-x,所以f'(x)=ex+e-x,故k=f'(0)=2,所以切线方程为y-f(0)=2x,即y=2x. 7.(2024·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围是 (　 ) A.(1,6) B.(1,3) C.(3,4) D.(4,6) 解析:选C　设切点横坐标为x0,所作切线斜率为k,则k=f'(x0)=1-,当a≤0时,k=1->0,故不存在k1k2=-1;当a>0时,满足所以3<a<4. 8.[多选]若直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,则曲线y=f(x)的方程可以是 (　 ) A.f(x)=x3+2x2+8 B.f(x)=tan x C.f(x)= D.f(x)=ln 解析:选AC　因为直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,所以y=f(x)在某点处的导数值为.由f(x)=x3+2x2+8,得f'(x)=3x2+4x,令f'(x)=3x2+4x=,即6x2+8x-1=0,因为Δ=82-4×6×(-1)>0,所以f'(x)=有解,故A正确.由f(x)=tan x,得f'(x)=,令f'(x)==,可得cos2x=2,无解,故B不正确.由f(x)=,得f'(x)=>0,故f'(x)=有解,故C正确.f(x)=ln的定义域为,令f'(x)=-=,可得x=-,不符合x>-,所以f'(x)=无解,故D不正确. 9.若曲线y=x3-3x2+ax-1在点x0处的切线经过坐标原点,则x0= (　 ) A.- B.2 C.1或- 　D.1或2 解析:选C　由题意,得y'=3x2-6x+a,设切点的坐标为(x0,y0),故切线的斜率k=3-6x0+a.由于切线过原点,故切线方程为y=(3-6x0+a)x.又切点为(x0,y0),即y0=-3+ax0-1=(3-6x0+a)x0.整理可得2-3+1=0,即2(-)-(-1)=0⇔2(x0-1)-(x0-1)·(x0+1)=0⇔(x0-1)(2-x0-1)=0,即(2x0+1)=0,故x0=1或x0=-. 10.若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　 ) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 解析: 选D　当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=ex的下方,∴0<b<ea,故选D. 11.已知直线y=ax+2(a>0)与曲线f(x)=e2x+b相切,则曲线f(x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选C　设切点为(x0,),因为f'(x)=2e2x+b,所以解得x0=-,b=ln-2x0=ln-1+,a>0.令b'=-==0,得a=4,当a∈(0,4)时,b'<0;当a∈(4,+∞)时,b'>0,所以当a=4时,bmin=ln 2.又f(1)=e2+b,f'(1)=2e2+b,所以f(x)在x=1处的切线方程为y-e2+b=2e2+b(x-1),即y=2e2+bx-e2+b.令x=0,得y=-e2+b;令y=0,得x=,所以S=e2+b,所以Smin=e2+ln 2=. 12.[多选]已知直线l:y=kx+b为曲线C1:y=aex(a>0)和C2:y=ln(a>0)的公切线,则下列结论正确的是 (　 ) A.曲线C1的图象在x轴的上方 B.当a=1时,ln k+b=-1 C.若b=0,则a= D.当a=1时,C1和C2必存在斜率为的公切线 解析:选ABD　由a>0,ex>0得aex>0,可知曲线C1的图象在x轴的上方,故A正确;当a=1时,对于C2:y=ln x,有y'=(x>0),因为直线l:y=kx+b为曲线C2的切线,所以=k,即x=,此时y=ln=-ln k,所以切点坐标为.将其代入切线方程y=kx+b中,有-ln k=1+b,整理得ln k+b=-1,故B正确;当b=0时,公切线l为y=kx,设f(x)=aex,g(x)=ln,l与f(x),g(x)分别在x=x1,x=x2处相切,则f'(x)=aex,g'(x)=(x>0),所以f'(x1)=a=k=,g'(x2)==k=,(利用f'(x1)=g'(x2)=k求解)解得x1=x2=1,a=,故C错误;当a=1时,f(x)=ex,g(x)=ln x,则f'(x)=ex,g'(x)=(x>0),若C1和C2存在斜率为的公切线,则存在m和n使得f'(m)=em=,g'(n)==(n>0),由选项B可知,-ln k=1+b,即keb+1=1,所以eb+1=,所以eb+1=em,eb+1=,即m=b+1,n=,符合题意.故当a=1时,C1和C2必存在斜率为的公切线,故D正确. 13.函数f(x)=xln x在x=e处的切线方程为　　　　.  解析:因为f(x)=xln x,则f(e)=eln e=e,又f'(x)=ln x+1,则f'(e)=ln e+1=2,所以函数f(x)=xln x在x=e处的切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e. 答案:y=2x-e 14.已知函数f=ln x+x的零点为x0,过原点作曲线y=f的切线l,切点为P,则mx0=　　　.  解析:易知f'=+1,切点为P,则切线方程为y=+ln m+m,因为过原点,所以0=+ln m+m,解得m=e,则P,由ln x0+x0=0,可得x0=-ln x0,故mx0=ex0·=ex0·=e. 答案:e 15.(2024·扬州模拟)若直线l是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=ex-2的切线,则直线l的方程为　　　　　　　　.  解析:设y=kx+b与y=ex-2和y=ln x的切点分别为(x1,),(x2,ln x2),由导数的几何意义可得k==.曲线y=ex-2在点(x1,)处的切线方程为y-=(x-x1),即y=x+(1-x1).曲线y=ln x在点(x2,ln x2)处的切线方程为y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1,则解得x2=1或x2=e,所以k=1或k=.代入得y=x-1或y=x. 答案:y=x-1或y=x 16.(2024·哈尔滨一模)若直线y=2x为曲线y=eax+b的一条切线,则ab的最大值为　　　　.  解析:设f(x)=eax+b,则f'(x)=aeax+b, 设切点为(x0,), 则切线方程为y-=a(x-x0),整理可得y=ax+(1-ax0). 所以解得x0=,a=ae1+b=2,所以ab=.设g(x)=, 则g'(x)=,当x∈(-∞,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=,所以ab的最大值为. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $$