第8章 第7节 抛物线(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

抛物线 第七节 1.理解抛物线的定义、几何图形、标准方程，以及它们的简单几何性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_____ ，直线l叫做抛物线的_____． 相等 焦点 准线 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 x轴 y轴 续表 续表 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) √ √ 追根溯源 (人A选择性必修①P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． 发现启迪 高考题在教材问题的基础上作进一步探索，可运用有关抛物线的二级结论解决问题，可见掌握圆锥曲线的一些二级结论是必要的，也体现了高考试题的选拔性功能. 续表 3．(人A选择性必修①P138T2(2)改编)抛物线y2＝4x上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________． 5 解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上点到焦点的距离等于6，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为5. 课堂·题点精研 02 题点一　抛物线的定义及其应用(自主练通) 1．(2024·滨州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为5，则p＝(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　 ) A．5 B．6 C．8 D．10 √ 解析：x2＝4y的焦点为(0,1)，准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以由抛物线的定义知|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝6＋2＝8，故选C. 3．(2024·宁德模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 解析：由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q共线时|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|最小值为3－(－1)＝4.故选B. 4．(2024·福州模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(x，y)(y>0)为曲线C上一点，若|MF|＝4，则点M的坐标为________． (2,4) 利用抛物线的定义可解决的常见问题 思维建模 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 距离问题 涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化 (2023·梅州三模)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点E(2,0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　 ) A．x2＝3y B．x2＝12y C．x2＝9y D．x2＝6y 题点二　抛物线的标准方程 例1 √ 例 2 y2＝4x或y2＝－12x或x2＝－4y或x2＝12y 求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：确定焦点或准线的位置，再定形：根据条件求p. 思维建模 针对训练 √ 解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，准线交x轴于点G，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， ∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG， 2．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 题点三　抛物线的几何性质 例 3 √ [多选]已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，则下列结论正确的有(　 ) A．x1＋x2≥2 B．△AOB为钝角三角形 C．点F在圆M外部 D．直线A1F平分∠OFA 例 4 √ √ √ 解析：如图所示，由抛物线的焦半径公式可知|AB|＝x1＋x2＋2≥2p＝4，所以x1＋x2≥2，故A正确； 由|AA1|＝|AF|可知∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥OF，所以∠AA1F＝∠OFA1＝∠AFA1，所以直线FA1平分∠AFO，同理可得FB1平分∠BFO，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1＝90°，所以圆M经过点F，故C错误，D正确． 抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 思维建模 针对训练 √ √ 因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D. 规律方法：与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离， 利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 5．(2024·北京西城高三期末)已知抛物线C：y2＝8x.则C的准线方程为_________；设C的顶点为O，焦点为F.点P在C上，点Q与点P关于y轴对称．若QF平分∠PFO，则点P的横坐标为________． x＝－2 2 特训·微专题强化 03 活用抛物线焦点弦的4个性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 应用体验 √ √ √ √ √ √ 课时跟踪检测 04 1．(2024·十堰模拟)下列四个抛物线中，开口朝左的是(　 ) A．y2＝5x B．x2＝－5y C．y2＝－5x D．x2＝5y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为(　 ) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝－2y D．x2＝2y 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 谨记结论：常见抛物线的焦半径公式如下(p为焦准距)： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：设抛物线C：x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(4，－4)在抛物线C上，则－2p×(－4)＝42，解得p＝2，故抛物线C的焦点到准线的距离是2米．故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 6．(2024·湖北联考模拟)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝4y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM |为半径的圆与抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　 ) A．[1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由抛物线C：x2＝4y，则其焦点F(0,1)，准线l：y＝－1，F到l的距离为p＝2，可作图如图所示，其中AM⊥l，则|FM|＝|AM|，当圆F与直线l相交时，|FM|>p，则|AM|>p＝2，由|AM|＝y0＋1，则y0＋1>2，解得y0>1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 8．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． y2＝4x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 y2＝2x(或y2＝8x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 －1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y整理得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 化简得(1＋k2)(16k2＋4)＝40k4，解得k2＝1， 经检验，此时Δ>0，故k＝±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 从而抛物线C的方程为x2＝4y. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)由题意直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13．(2024·荆门模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角等于(　 ) A．30°或150° B．45°或135° C．60°或120° D．与p值有关 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析： 选项 分析过程 正误 A 过点(0，p)可作2条与抛物线C相切的直线，可作1条与抛物线C对称轴平行的直线，所以共有3条与C只有一个公共点的直线(特别提醒：直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 × 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 15．(2023·华东师大一附中三模)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线x2＋y2－8x－2y＋16＝0上一动点，则|PF|＋|PQ|的最小值为__________． 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：第一步：根据抛物线定义和圆的定义将|PF|＋|PQ|转化为|PA|＋|PM|－1. 由抛物线C：y2＝4x，可得F(1,0)，准线方程为l：x＝－1. 由x2＋y2－8x－2y＋16＝0得(x－4)2＋(y－1)2＝1， 表示以M(4,1)为圆心，1为半径的圆． 如图所示，过点P作PA⊥l，垂足为A，连接PM， 交圆M于点Q，则|PF|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 两步转化：从|PF|到|PA|，利用了抛物线的定义，而从|PQ|到|PM|－1，则利用了圆外一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，如此我们便可利用平面几何知识求最值了． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 第二步：根据“两点之间，线段最短”和“点到直线的线段中，垂线段最短”得到最小值． 连接AM，则|PA|＋|PM|－1≥|AM|－1，当且仅当A，P，M三点共线时取等号． 过点M作MA1⊥l，垂足为A1，交抛物线于点P1，交圆M于点Q1，则|AM|－1≥|A1M|－1. 综上，要想得到|PF|＋|PQ|的最小值，则A，P，Q，M四点共线，且所在直线与准线l垂直时，|PF|＋|PQ|取最小值，为|A1M|－1＝5－1＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16．(2024·重庆开学考试)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4. (1)求C的标准方程； (2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)证明：由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)， 设直线l1的方程为x＝my＋1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 顶点 O(0,0) 对称轴 ______ ______ 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 _________ x＝ _________ y＝ x＝－ y＝－ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝______ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ x0＋ 考题品悟 (2023·新课标Ⅱ卷)[多选]设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( ) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 二、复习备考要强化“教材本位” 1．(人B选择性必修①P162T2改编)抛物线x2＝y的准线方程为____________． y＝－ 解析：由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－. 2．(苏教选择性必修①P128T10)若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M，M到坐标原点O的距离为＝，解得y2＝2，故x＝＝1.点M到该抛物线焦点的距离为x＋＝1＋＝. 4．(人A选择性必修①P135“思考”改编)已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2)，则抛物线的标准方程为_______________________． x2＝－y或y2＝4x 解析：根据题意，当抛物线焦点在x轴上时，经过点M(2，－2)， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∴(－2)2＝2p×2，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.当抛物线焦点在y轴上时，经过点M(2，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∴22＝－2p×(－2)，解得p＝，所以抛物线的标准方程为x2＝－y.综上，抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 解析：设抛物线的焦点为F，则|PF|＝5，由抛物线的定义知，|PF|＝2＋＝5，解得p＝6.故选D. 解析：由抛物线C：y2＝8x可得＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝4＝x＋＝x＋2，则x＝2，又因为点M(x，y)(y>0)为曲线C上一点，所以y2＝8x＝16，所以y＝4，所以点M的坐标为(2,4)． 解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝，由y′＝，所以抛物线C在点M处的切线斜率为，由抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得＝，即x0＝p，所以y0＝p.因为点M在线段EF上，所以＝， 所以－＝－，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y.故选D. 若抛物线的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则其标准方程是________________________________________． 解析：若抛物线的焦点在x轴上，可设其标准方程为y2＝kx(k≠0)，则其焦点坐标为.由＝，得k＝4或k＝－12.此时，其标准方程为y2＝4x或y2＝－12x；若抛物线的焦点在y轴上，可设其标准方程为x2＝λy(λ≠0)，则其焦点坐标为.由＝，得λ＝－4或λ＝12.此时，其标准方程为x2＝－4y或x2＝12y.综上所述，所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－12x或x2＝－4y或x2＝12y. (2)对于焦点在x轴上的抛物线，为避开讨论，设成y2＝mx(m≠0)，则焦点坐标为，准线方程为 x＝－.同理焦点在y轴上的抛物线也可设成x2＝my(m≠0)． 1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　 ) A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x ∴＝，∴p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x. x＝－ 解析：抛物线C的焦点为F，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－.令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝6，则△MOF的面积为(　 ) A．4 B．2 C．4 D．8 解析：设点M(x0，y0)，F(2,0)，所以|MF|＝x0＋2＝6，得x0＝4， y0＝±4，所以△MOF的面积S＝|OF|×|y0|＝×2×4＝4. ·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2，令直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，所以·＝－3<0，所以△AOB是钝角三角形，故B正确； 3．(2024·唐山高三期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两点，若y－2y＝4，则＝(　 ) A. B. C. D．2 解析：由抛物线C：y2＝4x，得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，又因为y－2y＝4，所以4x2－8x1＝4，即x2＝2x1＋1，所以x2＋1＝2(x1＋1)，即|BF|＝2|AF|， 所以＝.故选A. 4．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　 ) A. B. C．1 D．2 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝. 解析：抛物线y2＝8x,2p＝8，＝2，所以准线方程为x＝－2，焦点F(2,0)．设P，则Q，由于PQ∥x轴，QF平分∠PFO，所以∠PQF＝ ∠PFQ，所以|PQ|＝|PF|，即×2＝＋＝＋2，t2＝16，所以P的横坐标为＝＝2. 性质1：x1·x2＝. 性质2：y1·y2＝－p2. 性质3：|AB|＝x1＋x2＋p＝α是直线AB的倾斜角. 性质4：＋＝为定值F是抛物线的焦点. 典例　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　 ) A．4 B. C．5 D．6 [解题观摩] 利用性质3解题： 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图.设A，B在准线上的射影分别为D，C， 作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，则sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4， 故由弦长公式得|AB|＝＝. 利用性质4解题： 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　 ) A. B. C. D. 解析：由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.又原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△OAB＝|AB|·d＝×12×＝. 2．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　 ) A．5 B．6 C． D． 解析：法一　过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝. 法二　过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　 ) A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2 因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2. 解析：因为p＝2，所以＋＝＝1， 所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立， 4．(2024·海南调研)[多选]已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　 ) A.＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点 解析：如图，过点B作x＝－的垂线，垂足为B′，又F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝. 联立得12x2－20px＋3p2＝0.解得xA＝，xB＝.由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3.所以抛物线的方程为y2＝6x.则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确； |BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝＝＝4，所以|BD|＝2|BF|，故C正确； |AF|＝|DF|＝6，则F为AD的中点，故D正确； 而＋＝，故A错误． 解析：抛物线x2＝2py(p>0)的开口向上，由于M(x,4)在C上，且|MF|＝5，根据抛物线的定义可知4＋＝5，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.故选A. 3．(2024·娄底模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M(m,2)到其焦点的距离为4，则p＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为点M(m,2)在y2＝2px(p>0)上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又点M(2,2)到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，2＋＝4， 得到p＝4，故选D. (1)焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋； (2)焦点F在x轴负半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝－x0＋； (3)焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝y0＋； (4)焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点P(x0，y0)，则|PF|＝－y0＋. 4．(2024·广东联考)石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型． 如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米， 则抛物线C的焦点到准线的距离是(　 ) A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 5．(2024·盐城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线2x－y－4＝0交于A，B两点，且|AB|＝3.若抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝(　 ) A．7 B．7 C．6 D．5 解析：由题设，得x＝＋2，代入抛物线可得y2－py－4p＝0，所以yA＋yB＝p，yAyB＝－4p，则|AB|＝×＝3，则p2＋16p－36＝0，可得p＝－18(舍)或p＝2，故xA＋xB＝＋4＝5，由抛物线定义知|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝7.故选B. 7．[多选]在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　 ) A．C的准线方程为x＝ B．b＝ C．·＝2 D．＋＝ 解析：点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得 则抛物线C：y2＝x，A，B(，)， 抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确； ·＝×＋1×＝1＋，故C错误； 抛物线C的焦点F， 则|AF|＝＝， |BF|＝＝， 则＋＝＋＝，故D正确． 9．(2024·临沂模拟)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－2与抛物线交于点A，且|AF|＝.写出抛物线的一个标准方程_______________ _____________________________________． 或y2＝－2x或y2＝－8x，答案不唯一) 解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－2)，由抛物线定义得＝|AF|＝.又∵(－2)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±4，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±8x. 10．已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，直线l：y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1·k2＝________. 解析：设切线斜率为k，M，则切线方程为y＋＝k(x－x0)，代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.因为Δ＝0，所以k2p2－2px0 k－p2＝0. k1，k2是以上方程的两个根，所以k1·k2＝－1. 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－. (1)求抛物线的方程； (2)设直线y＝k(x－2)(k≠0)与抛物线相交于M，N两点，若|MN|＝2，求实数k的值． 解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，所以 －＝－，解得p＝1， 所以抛物线的方程为y2＝2x. 当Δ＝4(2k2＋1)2－4k2·4k2>0时， x1＋x2＝＝，x1x2＝4. |MN|＝|x1－x2| ＝ ＝＝2， 12．(2024·石家庄模拟)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点T(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在第二象限，当F在l上时，A与B的横坐标和为－4. (1)求抛物线C的方程； (2)过A作斜率为的直线与x轴交于点M，与直线OB交于点N(O为坐标原点)，求. 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题x＝2py1，x＝2py2， 由x1＋x2＝－4，则直线l斜率为k＝＝＝＝－， 又F，T(1,0)，则k＝－，从而有－＝－，所以p＝2， 由得x2－4kx＋4k＝0，则Δ＝16k2－16k>0，解得k<0或k>1，又点A在第二象限，所以k<0，x1＋x2＝4k，x1x2＝4k. 设N(x3，y3)，由题意知AM：y－y1＝(x－x1)，OB：y＝x.联立解得 y3＝， ＝＝1－ ＝1－， 将x1＋x2＝4k，x1x2＝4k，代入上式得1－＝1－＝1－＝2，即＝2. 解析：如图，l是抛物线的准线，作AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，设|FB|＝m，则|FA|＝3m，由抛物线定义知|AM|＝3m，|NB|＝m，过B作BC⊥AM，垂足为C，则易得|MC|＝|BN|＝m，所以|AC|＝2m，在Rt△ABC中，cos∠CAB＝＝＝，∠CAB＝60°，此时直线AB的倾斜角为60°，由对称性，直线AB的倾斜角也可为120°，故选C. 14．[多选]抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F，直线m与C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，O是坐标原点，则下列说法正确的是(　 ) A．过点(0，p)可作3条与抛物线C只有一个公共点的直线 B．若∠AOB＝，则直线m过定点(2p,0) C．若直线m经过焦点F，且|AF|＋4|BF|的最小值是9，则p＝3 D．若|AB|＝a(a为一常数且a≥2p)，则点M到y轴距离的最小值为 B 设直线AB的方程为x＝ny＋t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2－2pny－2pt＝0，则y1y2＝－2pt.∠AOB＝→x1x2＋y1y2＝0→＋y1y2＝0→y1y2＝－4p2， 所以－2pt＝－4p2→t＝2p，所以直线m：x＝ny＋2p→过定点(2p,0) C 设直线AB的倾斜角为α，不妨令点A在第一象限，则由抛物线定义可得|AF|＝p＋|AF|cos α，|BF|＝p－|BF|cos α，则|AF|＝，|BF|＝，故＋＝， (微提醒：上述过程给出了这一性质的证明，即焦半径用直线倾斜角表示，在解选填题时是可以直接应用的)则|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)·＝≥＝9，因而p＝2，当且仅当|AF|＝2|BF|，即|AF|＝，|BF|＝时取得最小值，此时cos α＝ D 过A，B，M分别作C的准线l的垂线，垂足分别是A1，B1，M1，如图，|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)≥a，当AB过焦点F时取等号，(关注点：三角形两边之和大于第三边，因为a≥2p(通径长即最短焦点弦长)，所以能保证AB过焦点)这样M到y轴的距离|MN|≥(a－p)，故最小值为 解：(1)设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，则F，将x＝代入y2＝2px，可得|y|＝p，所以2p＝4，则p＝2， 联立则y2－4my－4＝0， 直线AM的方程为y＝(x－1)＋2，即y＝(x－1)＋2.令x＝－1，解得y＝. 直线BN的方程为y＝(x－1)－2，即y＝(x－1)－2.令x＝－1，解得y＝， 因为＝－ ＝－＝1，所以直线AM，BN和l相交于一点． $$