第8章 第3节 圆的方程(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

圆的方程 第三节 1．回顾确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程． 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1．圆的定义及方程 2．点与圆的位置关系 (1)点M(x0，y0)，圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)点M(x0，y0)，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ＝ ＞ ＜ 1．常见圆的方程的设法 拓展教材 (常见结论及应用)   标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 续表 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为___________________. 追根溯源 (人A选择性必修①P84例3)已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． 发现启迪 两题命题方式几乎完全一致．求圆的方程关键是设方程，设标准方程还是一般方程，是选择待定系数法建立方程组，还是结合几何性质求垂直平分线方程要仔细考量，运算也有差别，要防止计算错误丢分. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A选择性必修①P85T1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　 ) √ 2．(苏教选择性必修①P61T7)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　 ) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F √ 3．(北师大选择性必修①P44T2)已知圆C：2x2＋2y2＋4x－2y－1＝0，则圆心的坐标为___________，半径为________． 4．(人A选择性必修①P85T3改编)已知A(1,0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是____________________． x2＋y2－x－3y＝0 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(错用点与圆的位置关系判定)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是______________． 2．(忽视隐含条件)已知P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________． 解析：由题意得，x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5，因为y∈[－1,1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值4. 4 课堂·题点精研 02 题点一　圆的方程(自主练通) 1.过A(0,1)，B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是(　 ) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝2 D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5 √ 2．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为_____________________． (x＋1)2＋(y＋2)2＝10 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 3．已知圆C与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，且圆心在直线y＝－4x上，则圆C的方程为______________________． (x－1)2＋(y＋4)2＝8 4.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的一般方程为______________________． 规律方法：选择方程的原则 (1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)； (2)已知圆上的三个点的坐标时，设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E 2－4F>0)． 求圆的方程的方法 (1)几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线，确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形． (2)代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或D，E，F. 思维建模 考法(一)　借助几何性质求最值　 题点二　与圆有关的最值问题 例 1 √ √ √ 思维建模 考法(二)　用对称性求最值 例 2 已知M(－1,2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 快审准解：根据题意，求得M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点H，结合图象即可得到当P，H，C三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值. 解析：如图，曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3，1)为圆心，以1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1， 利用对称性求最值的策略 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路 思维建模 动化定 把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离 曲化直 将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决 考法(三)　建立函数关系求最值　 例 3 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　 ) A．7 B．6 C．5 D．4 √ 法二　设O为坐标原点，连接OP，OC(图略)，在Rt△APB中，原点O为斜边的中点，|AB|＝2m(m>0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r(r为圆C的半径)，又C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B. 例 4 0 建立函数关系式求最值的思路 建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的． 思维建模 针对训练 √ 谨记结论：设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离． 如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d； 如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r； 如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d. √ √ 4．已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为________． 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3,0)． (1)求直角顶点C的轨迹方程； (2)求直角边BC的中点M的轨迹方程． 题点三　与圆有关的轨迹问题 例 5 解：(1)法一：直接法　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． (易错点：求轨迹方程时，不要忽略对参数值的限定) 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)代入法　设M(x，y)，C(x0，y0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 求与圆有关的轨迹问题的3种方法 思维建模 直接法 当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程 定义法 当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程 代入法 当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程 针对训练 0(或1，答案不唯一) 6．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 因为平行四边形的对角线互相平分， 又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆因为O，M，P三点不共线， 特训·微专题强化 03 隐圆问题 在解题中，有些时候圆的信息在条件中没有直接给出，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．如何发现圆(或圆的方程)是关键，常见的策略有以下几种： (1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆； (2)动点P对两定点A，B张角为90°(kPA·kPB＝－1)确定隐圆； (3)A，B是两个定点，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值确定隐圆； 应用体验 √ 解析：直线mx－y＝0过定点A(0,0)，直线x＋my－4m－3＝0过定点B(3,4)，①当m＝0时，过定点A的直线方程为y＝0，过定点B的直线方程为x＝3，两直线垂直，此时P(3,0)，所以|PA|＋|PB|＝3＋4＝7， √ √ 4．已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为(　 ) A．6 B．14 C．12 D．10 √ [－2,1] 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2．(2024·许昌期末)以点A(3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为(　 ) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 C．(x－3)2＋(y－4)2＝9 D．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：以点A(3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝9.故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3．(2024·焦作开学考试)已知圆经过点A(4,4)，B(－2,4)，C(4，－4)，则该圆的半径为(　 ) A．4 B．5 C．8 D．10 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 5．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为(　 ) A．(x＋3)2＋y2＝25 B．(x－3)2＋y2＝25 C．(x±3)2＋y2＝25 D．(x＋9)2＋y2＝25 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6．[多选]设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　 ) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3,0) C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0， 有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确． 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8．点M与两个定点O(0,0)，P(2,0)的距离的比为3∶1，则点M的轨迹方程为________________． 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 9．(2024·广东统考模拟)已知圆C过点A(2,5)，B(4,3)，则圆心C到坐标原点的距离的最小值为___________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (0,4) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 11．在平面直角坐标系xOy内有三个定点A(2,2)，B(1,3)，C(1,1)，记△ABC的外接圆为E. (1)求圆E的方程； (2)若直线l：y＝x＋m与圆E没有公共点，求m的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)由(1)知x2＋y2－2x－4y＋4＝0⇒(x－1)2＋(y－2)2＝1， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12．已知圆C经过点A(3,1)，B(－1,3)且圆心C在直线3x－y－2＝0上． (1)求圆C的方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点F(4,0)，求线段EF的中点M的轨迹方程． 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13．[多选]三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O′的圆心在△OAB的欧拉线l上，O为坐标原点，点B(4,1)与点A(1,4)在圆O′上，且满足O′A⊥O′B，则下列说法正确的是(　 ) A．圆O′的方程为x2＋y2－4x－4y＋3＝0 B．l的方程为x－y＝0 C．圆O′上的点到l的最大距离为3 √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 对于C选项，因为l过圆心O′，所以圆O′上的点到l的最大距离为圆O′的半径3，故C正确； 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14．已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是________． [2,6] 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C. (1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)． 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m， 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0. 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 三种情况 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F____0⇔点在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F____0⇔点在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F____0⇔点在圆内 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆， 则 3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标． A．(x－2)2＋(y＋3)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 (－，) 解析：∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜. 解析：因为A(0,1)，B(0,3)，所以线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2，设圆心为C(t,2)，则圆C的半径为r＝＝，又因为r＝|AC|＝＝，所以＝，整理可得t2＋6t－7＝0，解得t＝1或t＝－7.当t＝1时，r＝|AC|＝，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2；当t＝－7时，r＝|AC|＝5，此时圆的方程为(x＋7)2＋(y－2)2＝50.综上所述，满足条件的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2或(x＋7)2＋(y－2)2＝50. 解析：法一　设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|， 即 ＝，解得a＝－2， 所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法二　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得 解得 法三　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 解析：过切点P(3，－2)且与直线l：x＋y－1＝0垂直的直线方程为y＋2＝x－3， 与y＝－4x联立可求得圆心坐标为(1，－4)． 所以半径r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. x2＋y2－x－1＝0 解析：法一：待定系数法　设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Gy＋F＝0(D2＋G2－4F>0)，则由题意得 解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0. 法二：几何法　因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上, 所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|＝，圆E的标准方程为2＋y2＝，所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0. [多选]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　 ) A.的最大值为 B.的最小值为0 C．x2＋y2的最大值为＋2 D．x＋y的最大值为3＋ 解析：由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如图，因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为 y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以∈，所以max＝，min＝0，A、B正确； x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2的最大值为(|OC|＋1)2.又|OC|＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，C错误； 因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，所以x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin，所以当θ＝时，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取最大值，最大值为3＋，D正确，故选ABD. 与圆有关的最值问题的3种几何转化法 (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 3－1 设M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点为H(m，n)，则可得解得即H(－3，－2)，连接HC，分别交直线x＋2y＋2＝0与圆C于P，N，则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PC|－1＝|PH|＋|PC|－1≥|HC|－1，当且仅当P，H，C三点共线时取等号，此时取得最小值3－1，所以|PM|＋|PN|的最小值为3－1. 解析：法一　设点P的坐标为(x0，y0)，由(x－3)2＋(y－4)2＝1，可设∵∠APB＝90°，∴·＝0，即(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，∴m2＝x＋y＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)，∴4≤m≤6，∴m的最大值为6.故选B. 设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最小值为________． 解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程为x2＋(y－3)2＝1，可知2≤y≤4，所以当y＝2时，·的值最小，最小值为6×2－12＝0. 1．已知M为圆(x－1)2＋y2＝2上一动点，则点M到直线x－y＋3＝0的距离的最大值是(　 ) A. B．2 C．3 D．4 解析：∵圆(x－1)2＋y2＝2，∴圆心(1,0)，半径r＝，∴圆心到直线的距离d＝＝2，∴圆(x－1)2＋y2＝2上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大值为2＋＝3，故选C. 2．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　 ) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 解析：法一　令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y 的最大值是3＋1. 法二　x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0,2π]，则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos＋1，因为θ∈[0,2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1. 法三　由x2＋y2－4x－2y－4＝0，可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3.故x－y的最大值是1＋3. 3．(2024·济南模拟)已知动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1，定点P，B(1,1)，则2|MP|＋|MB|的最小值为(　 ) A. B. C. D. 解析：如图所示，取Q(－2,0)，连接QM，OM，则＝＝，故△OPM∽ △OMQ，故|QM|＝2|MP|,2|MP|＋|MB|＝|QM|＋|MB|≥|QB|＝＝， 当B，Q，M三点共线且M在线段BQ上时等号成立． ＋1 解析：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0⇒(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋4m＋5＝(m＋2)2＋1，所以半径r＝≥1，当且仅当m＝－2时，半径最小，此时圆心为C(－1，－2)，圆心到原点的距离为d＝＝，因为(0＋1)2＋(0＋2)2>1，所以原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1. 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 法二：定义法　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝， y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 5．已知点A(－2,0)，B(0,2)，动点M满足·＝0，则点M到直线 y＝x＋2的距离可以是_______________________．(写出一个符合题意的整数值) 解析：由题设知⊥，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1,1)，半径为，所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1,1)到y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心，所以M到直线y＝x＋2的距离范围为[0，]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1. 解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 所以＝，＝，整理得 所以应除去两点和. (4)A，B是两个定点，动点P满足·＝λ确定隐圆． 1．设m∈R，过定点A的动直线mx－y＝0和过定点B的动直线x＋my－4m－3＝0交于点P，则|PA|＋|PB|的取值范围是(　 ) A．[，2] B．[2，5] C．[5,5] D．[5,10] ②当m≠0时，直线mx－y＝0的斜率为m，直线x＋my－4m－3＝0的斜率为－，因为m×＝－1，所以两直线垂直，即点P可视为以AB为直径的圆上的点，当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|有最小值，最小值为|AB|＝5，当点P不与点A或点B重合时，△PAB为直角三角形，且|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝25，由基本不等式可知|PA|＋|PB|≤2＝5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立，所以|PA|＋|PB|∈[5，5]．故选C. 2．在平面直角坐标系xOy中，点A(－12，0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是(　 ) A．[0，] B．[－5，1] C．[－，] D．[－2,0] 解析：设点P(x，y)，若·≤20，即(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65，则点P的轨迹为圆O在以(－6,3)为圆心，为半径的圆内部及其圆上的点的集合，联立得或 结合图形(图略)可知－5≤x≤1.故选B. 3．已知直线l1：x＋my＋1＝0与直线l2：mx－y－3m＋2＝0分别过定点A，B，且交于点P，则|PA|·|PB|的最大值是(　 ) A. B．5 C．8 D．10 解析：直线l1：x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，直线l2：mx－y－3m＋2＝0过定点B(3，2)，联立消去m得(x－1)2＋(y－1)2＝5，又A(－1,0)，B(3,2)在圆(x－1)2＋(y－1)2＝5上，且AB为圆的直径，故|PA|2＋|PB|2＝20≥2|PA|·|PB|，所以|PA|·|PB|≤10，当且仅当PA＝PB＝时取等号，所以|PA|·|PB|的最大值是10.故选D. 解析：动直线方程化为m(x－1)＋n(y－3)＝0，知动直线恒过定点Q(1,3)．又因为点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，所以∠ABQ＝90°，则点B的轨迹是以AQ为直径的圆，所以圆心为AQ的中点M(－2，－1)，圆的半径r＝|AQ|＝5.又|MC|＝＝7>r＝5，所以点C(5，－1)在圆外，故|BC|的最大值为r＋|MC|＝5＋7＝12.故选C. 5．已知点A(－1,0)，B(1,0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足 ·＝3，则实数a的取值范围是________． 解析：设M(x，y)，因为·＝3，所以(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3，即点M的轨迹方程为x2＋y2＝4，表示圆． 又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点． 所以2－1≤ ≤1＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1. 1．(2024·泰州模拟)若点P(1,1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　 ) A．(－2，＋∞) B. C. D．(－2,2) 解析：由题意得解得－2<k<，故选C. 解析：因为＝(－6,0)，＝(0，－8)，·＝0，所以⊥，所以∠BAC＝90°，所以该圆的直径为|BC|＝＝10，所以半径为5.故选B. 4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(2,0)，点P满足＝2，则点P的轨迹的圆心坐标为(　 ) A．(4,0) B．(0,4) C．(－4,0) D．(2,0) 解析：令P(x，y)，则＝2，两边平方并整理得(x－4)2＋y2＝16，∴圆心为(4,0)．故选A. 解析：如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25. 7．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0被直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)平分，则＋的最小值为(　 ) A. B. C．4 D．9 快审准解：由题意可得圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)上，即得a＋b＝1，将＋化为(a＋b)，展开后利用基本不等式即可求得答案． 解析：由题意知，圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0被直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)平分，即圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)上，故－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(a＋b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，结合a＋b＝1，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为9. 2＋y2＝ 解析：设点M(x，y)，由题知＝3，两边平方化简得2x2＋2y2－9x＋9＝0，即2＋y2＝，所以点M的轨迹方程为2＋y2＝. 解析：依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，直线AB的斜率为－1，线段AB的中点为(3,4)，故线段AB的中垂线方程为y＝x＋1，故C到坐标原点的距离的最小值为＝. 10．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________． 解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝＝.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0<m<4. 解：(1)设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Gy＋F＝0，代入A，B，C三点坐标可得解得 所以圆E的方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0. 即圆心E(1,2)，半径为r＝1，由题意可知E到l：y＝x＋m的距离d＝>r＝1⇒m>1＋或m<1－，即m∈(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)． 解：(1)由题可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得a＝2，b＝4，r2＝10，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. (2)设M(x，y)，E(x1，y1)，由F(4,0)及M为线段EF的中点得解得 又点E在圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，所以有(2x－4－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得(x－3)2＋(y－2)2＝，故所求的轨迹方程为(x－3)2＋(y－2)2＝. D．若点(m，n)在圆O′上，则m－n的取值范围是[－3，3] 解析：对于B选项，由题意可知|OA|＝|OB|＝，故△OAB的欧拉线l即为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点为M，直线AB的斜率为kAB＝＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝x－，即y＝x，故B正确； 对于A选项，因为圆O′的圆心在△OAB的欧拉线l上，O′A⊥O′B，|O′A|＝|O′B|，|AB|＝3，所以|O′A|＝|AB|＝3，设圆心O′为(a，a)，则圆O′的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝9，将(1,4)代入圆O′的方程可得a2－5a＋4＝0，解得a＝1或a＝4，所以圆O′的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9或(x－4)2＋(y－4)2＝9，故A错误； 对于D选项，因为点(m，n)在圆O′上，圆心在直线y＝x上，半径为3，所以≤3，所以－3≤m－n≤3，故D正确．故选BCD. 解析：因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，要使在圆C上存在两点A和B，使得MA⊥MB，只需当AM，BM与圆C相切时，∠AMB≥90°，即∠AMC≥45°，则sin∠AMC＝≥，解得2≤t≤6. (1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0， 所以m＝0(舍去)或m＝－. 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝， 故所求圆的方程为2＋y2＝. 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和. $$