第7章 第8节 空间中的距离(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

空间中的距离 第八节 1．能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量法在研究几何问题中的作用. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 空间向量与距离 (a·u)u 续表 发掘教材 √ 2.(苏教选择性必修②P43T1)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)两条平行直线A1D和B1C间的距离为______； (2)两个平行平面A1DB和D1CB1间的距离为______； (3)点A到平面A1DB的距离为_____． 1 解析：(1)在正方体中CD⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以CD⊥B1C. CD⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以CD⊥A1D. 所以线段CD为两条平行直线A1D和B1C间的距离，又CD＝1， 所以两条平行直线A1D和B1C间的距离为1. 课堂·题点精研 02 题点一　点到直线的距离 例 1 √ 快审准解：取PA的中点M，连接BM，CM，可证得CM的长即为点C到直线PA的距离，在Rt△CBM中，由勾股定理求得CM；也可以用向量法，直接求得． 解析：法一：几何法　如图，取PA的中点M， 连接BM，CM. 因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PB⊥BC.又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B， 所以BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA. 因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA. 又BC⊥PA，BM∩BC＝B， 求点到直线的距离的常用方法 思维建模 针对训练 √ 规律方法：用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 解：(1)证明：过G作GH∥CB，交底面弧AB于H，连接HB，易知HBCG为平行四边形，所以HB∥CG.又G为弧CD的中点，所以H是弧AB的中点，所以∠HBA＝45°.而由题意知∠ABF＝45°，则∠HBF＝∠HBA＋∠ABF＝90°，所以FB⊥HB，即FB⊥CG.由CB⊥底面ABF，FB⊂平面ABF，得CB⊥FB，又CB∩CG＝C，CB，CG⊂平面BCG，所以FB⊥平面BCG.又FB⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCG. (2)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设m＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 设n＝(a，b，c)是平面ABG的法向量， 整理可得(h2－4r2)(h2＋2r2)＝0， 题点二　直线到直线的距离 例 2 √ 直线与直线间的距离有以下2种情况 (1)两平行直线间的距离,此时其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，所以直线与直线的距离转化为点到直线的距离． (2)两异面直线间的距离，有两种求解方法： 思维建模 针对训练 √ 题点三　点到平面的距离 例 3 √ 点到平面的距离的求法 (1)几何法：①作出点到平面的垂线段，在直角三角形中，求这条垂线段的长度． ②把待求的点面距看作三棱锥的高,利用三棱锥的等体积转换法求解. 思维建模 针对训练 √ 5．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中， AB＝2，AD＝AA′＝1. (1)求顶点B′到平面D′AC的距离； (2)求直线BC′到平面D′AC的距离． 解：(1)如图，分别以D′A′，D′C′，D′D所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D′(0,0,0)，A(1,0,1)，C(0，2,1)，B′(1,2,0)． 课时跟踪检测 03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)， C(0,2,0)，E(2,1,2)，M(1,0,0)，N(0，2,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝AC＝AA′＝2，AB⊥AC，D为线段A′C的中点，则点D到平面BCC′B′的距离为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB， CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为 ________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：以D为坐标原点,分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解：(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，∴FC∥平面AEC1， ∴点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离，设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 10．(2024·聊城期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD. (1)证明：CD⊥平面PAD； (2)求点M到平面PAC的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵AD⊥CD，PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD. (2)法一　过D作DN⊥AC于N， ∵PA⊥平面ABCD，DN⊂平面ABCD，∴PA⊥DN. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴DN⊥平面PAC，DN为点D到平面PAC的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 法三　分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0，4,0)，P(0,0,4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2.M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝2，AA1＝AB＝4，E为棱AA1的中点． (1)证明：BC⊥C1E； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解：(1)证明：以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 则AB⊥BC1，而CB∩AB＝B，CB,AB⊂平面ABC,所以C1B⊥平面ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)由(1)知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 设平面AC1E的法向量为n＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 直线外一点P到直线l的距离　 如图，直线l的单位方向向量为u，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝_______，则点P 到直线l的距离为PQ＝＝_____________ 平面外一点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝ ＝___________＝_________ 线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 1．(人B选择性必修①P61T4改编)已知A(0,0,2)，B(1，0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　 ) A. B．1 C. D．2 解析：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，∴点A到直线BC的距离为d＝＝＝. (2)分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(1,0,1)，＝(1,0,0)， 设平面A1DB的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，可得n＝(1，－1，－1)，则点C到平面A1DB的距离为d1＝＝＝，所以两个平行平面A1DB和D1CB1间的距离为. (3)＝(0,1,0)，则点A到平面A1DB的距离为d2＝＝＝. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC， 则点C到直线PA的距离为(　 ) A．2 B．2 C. D．4 所以PA⊥平面BCM.又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．在等腰Rt△PBA中，BM＝PB＝2， 在Rt△CBM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2. 法二：向量法　如图，以B为坐标原点，射线BC，BA，BP分别为x轴、y轴、 z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系． 则B(0,0,0)，C(2,0，0)，A(0,4,0)，P(0,0,4)，故＝(2,0，－4)，＝(0,4，－4)， 所以PC在PA上的射影为d＝＝＝2，故点C到直线PA的距离h＝＝＝2， 即点C到直线PA的距离为2. 几何法 求点A到直线l的距离，就是求从点A向直线l所作的垂线段的长度，往往在直角三角形中利用勾股定理求解 向量法 点A到直线l的距离d＝(其中A为直线l外一点，P为直线l上的任一点，n为与l的方向向量平行的单位向量) 1．已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是(　 ) A. B. C. D. 解析：如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，E，所以＝(0,1，－1)，＝，所以||＝，||＝，＝＝－， 所以点E到直线PD的距离是 ＝＝. 2.如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，G四点共面． (1)求证：平面BDF⊥平面BCG； (2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为，且线段AB长度为4，求点G到直线DF的距离． 令半圆柱半径为r，高为h，则B(0,2r,0)，F(2r，0,0)，D(0,0，h)，G(－r，r，h)，所以＝(－2r，0，h)，＝(0，－2r，h)，＝(0,2r，0)，＝(－r，r，h)． 则令z＝2r，则m＝(h，h,2r)． 所以|cos〈m，n〉|＝＝＝， 则令c＝r，则n＝(h,0，r)， 所以点G到直线DF的距离d＝＝. 则h＝2r.又AB＝4，由题意可知，G(－2,2,4)，D(0,0,4)，F(4，0,0)，则＝(4,0，－4)，＝(－2,2,0)， 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1之间的距离是(　 ) A. B. C. D. 解析：法一　设M为直线AC上任意一点，过M作MN⊥BC1，垂足为N，连接AN，如图，设＝λ＝λ＋λ(0≤λ≤1)，＝μ＝μ＋μ(0≤μ≤1)，则＝－＝＋－＝(1－λ)＋(μ－λ)＋μ，＝＋.∵MN⊥BC1，∴·＝0，即[(1－λ)＋(μ－λ)＋μ]·(＋)＝0. ∵AB⊥AD，AB⊥AA1，AD⊥AA1，∴(μ－λ)2＋μ2＝0，即μ－λ＋μ＝0，∴λ＝2μ.∴＝(1－2μ)－μ＋μ，∴||＝＝＝， ∴当μ＝时，||取得最小值，最小值为 ＝，故异面直线AC与BC1之间的距离是.故选B. 法二　如图，取BC的中点E，连接B1E，DE，B1E交BC1于点G，DE交AC于点F，则＝＝2，＝＝2.连接B1D，FG，在△B1DE中，＝＝2，∴FG∥DB1，FG＝DB1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证B1D⊥AC，B1D⊥BC1，∴FG⊥AC，FG⊥BC1，∴FG为异面直线AC与BC1的公垂线段．∵B1D＝， ∴FG＝，即异面直线AC与BC1之间的距离为. 法三　如图，以D为坐标原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C1(0，1,1)，C(0,1，0)，连接DB1，∴＝(－1,1,0)，＝(－1,0，1)， ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，则·＝0，·＝0，∴DB1⊥AC，DB1⊥BC1，∴异面直线AC与BC1之间的距离为＝＝. 几何法 求公垂线段的长度 向量法 在两直线上各取一点构成一个向量，u为在两直线的公垂线方向上的单位向量，则两异面直线间的距离为|·u| 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是(　 ) A. B. C. D. 解析：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,1，0)，C1(0,1,3)， ∴＝(2，－1,0)，＝(－2,0,3)．设直线AC与BC1的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)， 则∴不妨令z＝2，则x＝3，y＝6，∴n＝(3,6,2)．又＝(0,1,0)，则异面直线AC与BC1之间的距离d＝＝＝. 在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　法一(建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离)　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,4，4)，∴＝(0,4,4)，＝(4,0,0)，＝(0,0，－4)． 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则即⇒ 令y＝，则z＝－1，∴m＝(0，，－1)，∴点C到平面PAB的距离为＝. 法二(根据三棱锥等体积转换求解点C到平面PAB的距离)　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB.又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴AB⊥PA.∵AC＝AB＝4，∴BC＝4，∴PC＝4，PB＝8.在Rt△PAB中，PA＝＝4，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP-ABC＝VC-PAB，∴××4×4×4＝××4×4×d，∴d＝. (2)向量法：点A到平面α的距离d＝(其中B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量)． 4．(2024·菏泽期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则点D到平面A1BC1的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：设AA1＝h，则VABCD-A1C1D1＝VABCD-A1B1C1D1－VB-A1B1C1＝10，所以4h－h××4＝10，可得h＝3，如图，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，所以A1(2,0,3)，B(2,2,0)，C1(0,2,3)，则＝(0,2，－3)，＝(2,0，－3)， 设m＝(x，y，z)是平面A1BC1的法向量，则令z＝2，则m＝(3,3,2)，又＝(2,2,0)，故点D到平面A1BC1的距离为＝＝.故选D. 所以＝(1,0,1)，＝(0,2,1)．设平面D′AC的法向量为n＝(u，v，w)， 则⇒ 取v＝1，则u＝2，w＝－2，从而得到平面D′AC的一个法向量为n＝(2,1，－2)．因为＝(－1,0,1)， 根据点到平面的距离公式知，点B′到平面D′AC的距离为d＝＝＝. (2)由(1)知B(1,2,1)，C′(0,2,0)⇒＝(－1,0，－1)， 又＝(－1,0，－1)，所以＝，所以BC′∥AD′. 又BC′⊄平面D′AC，AD′⊂平面D′AC，从而BC′∥平面D′AC， 所以直线BC′到平面D′AC的距离即为点C′到平面D′AC的距离, 因为＝(0,0,1)，且由(1)知平面D′AC的法向量n＝(2,1，－2)， 所以直线BC′到平面D′AC的距离为d＝＝＝. 1．(2024·济南期中)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2，1,4)到α的距离为(　 ) A．10 B．3 C. D. 解析：由题意，得＝(－1，－2,4)，又知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，则P到平面α的距离d＝＝＝，故选D. 2．(2024·临沂期末)已知空间中三点A(－1,0,0)，B(0,1，－1)，C(－1，－1,2)，则点C到直线AB的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：因为A(－1,0,0)，B(0,1，－1)，C(－1，－1,2)，所以＝(0，－1,2)，＝(1,1，－1)，则点C到直线AB的距离为＝＝.故选C. 3．(2024·潍坊期中)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为(　 ) A．0 B. C. D. 所以＝(1,1,2)，＝(－1,2,1)，＝(－2,2,0)，设平面EMN的法向量为m＝ (x，y，z)，则 令x＝1，可得m＝(1,1，－1)，所以·m＝0，即⊥m.又AC⊄平面EMN，所以AC∥平面EMN，故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，又＝(1,0,0)，所以点A到平面EMN的距离为＝＝，即直线AC与平面EMN之间的距离为.故选B. 4．(2024·滨州模拟)在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD到平面AB1D1的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：因为BD∥B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，因此BD∥平面AB1D1，故直线BD到平面AB1D1的距离即为点B到平面AB1D1的距离．△AB1D1为边长为2的等边三角形，故S△AB1D1＝×2×2×＝， S△AB1B＝××＝1.设点B到平面AB1D1的距离为h，由等体积法可得VB-AB1D1＝VD1-AB1B，即h＝＝＝，故选B. 5.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝，PD⊥底面ABCD，若点D到平面PAC的距离为，则PD＝(　 ) A．2 B． C．1 D．2 解析：设E为BC的中点，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA.以D为坐标原点，以，，分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设PD＝a，则P(0,0，a)，A(4,0,0)，C(－2,2，0)．设n＝(x，y，z)是平面PAC的法向量，因为＝(4,0，－a)，＝(－6,2，0)，则令x＝a，得n＝(a，a，4)． 设点D到平面PAC的距离为d，因为＝(4,0,0)，所以d＝＝＝，解得a＝2(负值舍去)． 6.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为(　 ) A．1 B. C. D. 解析：如图建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0，1,1)，设P(x,0,1－x)，0≤x≤1，则＝(x－1,0，－x)，＝(－1,1,0)，∴动点P到直线A1C1的距离为d＝ ＝＝＝≥，当x＝时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为. 解析：如图，取B′C′的中点E，连接A′E，则A′E⊥B′C′，由于平面A′B′C′⊥平面BCC′B′，平面A′B′C′∩平面BCC′B′＝B′C′，A′E⊂平面A′B′C′，所以A′E⊥平面BCC′B′，由已知得A′E＝，又D为A′C的中点，所以D到平面BCC′B′的距离等于A′到平面BCC′B′的距离的一半，即. 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0，2)，F(1，1,0)，G(0,2,1)，则＝(1，－1，－1)，＝(0，－2,1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 则A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0,1,1)， C1(0,1,0)，E，F， ∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，－1)， ＝，＝， ＝，＝， 取a＝＝(0,1,0)，u＝＝(－1,1，－1)，a2＝1，a·u＝，则点B到直线AC1的距离为＝＝. (2)∵＝＝，∴FC∥EC1， 则∴ ∴取z＝1，则x＝1，y＝2， ∴n＝(1,2,1)，又＝， ∴点F到平面AEC1的距离为＝＝. 在Rt△ADC中，DN＝＝， ∵PB＝BD＝2，且BM⊥PD，∴M为PD的中点，∴点M到平面PAC的距离为. 法二　∵PA⊥平面ABCD，∴VP-ACD＝S△ACD·PA＝××4＝. 在Rt△ADC中，AC＝＝2， ∴S△PAC＝AC·PA＝×2×4＝4. 设点D到平面PAC的距离为h， 则VD-PAC＝S△PAC·h＝h， 由VP-ACD＝VD-PAC，得h＝，∴h＝. ∵PB＝BD＝2，且BM⊥PD，∴M为PD的中点．∴点M到平面PAC的距离为. 则＝(2,0，－4)，＝(2,4，－4)，＝(0,4，－4)，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(0,4λ，－4λ)， ∴＝－＝(－2,4λ，4－4λ)，由BM⊥PD，知·＝0＋16λ－4(4－4λ)＝0， ∴λ＝，M为PD中点， ∴M(0,2,2)，＝(－2，－2,2)，＝(0,0,4)，＝(2,4,0)，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)， 由得∴z＝0，取x＝2，得y＝－1， ∴点M到平面PAC的距离为＝＝. ∴n＝(2，－1,0)是平面PAC的一个法向量． 11．[多选]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足＝＋＋， 则下列说法正确的是(　 ) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，E，所以＝(－1,0,0)，＝.设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，sin θ＝＝.故A到直线BE的距离d1＝||sin θ＝1×＝，故A错误； 易知＝＝，平面ABC1D1的一个法向量＝(0，－1,1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确； ＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1,1,1)为平面A1BD的一个法向量． 所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，即为，故C正确； 因为＝＋＋，所以＝，又＝(1,0,0)，则＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝，故D错误．故选BC. 解析：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.依题意可知BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.由于M是PC的中点，所以M到平面PAB的距离是C到平面PAB的距离的一半，即M到平面PAB的距离是1.AC＝PB＝2，PC＝＝2，所以AM＝BM＝.由于AB＝2， 所以S△MAB＝×2×＝，S△PAB＝×2×2＝2.设P到平面MAB的距离为h，则VM-PAB＝VP-MAB，即×2×1＝××h，解得h＝. (2)设＝λ(0<λ<1),若C1到平面BB1M的距离为,求λ的值. 则B(0,0,4)，D(2,0,0)，C(2，0,2)，E(0,2,0)，C1(2,4,2)，B1(0,4,4)，所以＝(2,0，－2)，＝(2,2,2)， 所以·＝2×2＋0＋2×(－2)＝0，所以⊥，故BC⊥C1E. (2)因为＝(0,4,0)，＝(－2,2，－2)， 所以＝＋＝＋λ＝(2－2λ，2λ，－2－2λ)，设平面BB1M的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1＋λ，则n＝(1＋λ，0,1－λ)， 因为＝(2,0，－2)，所以C1到平面BB1M的距离d＝＝＝，解得λ＝. 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝，AB＝CC1＝2，∠BCC1＝，点E在棱BB1上． (1)证明：C1B⊥平面ABC； (2)若BE＝λBB1，试确定λ的值，使得C到平面AC1E的距离为. 解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝，CC1＝2，∠BCC1＝， 在△BCC1中，由余弦定理得C1B＝＝， 即有C1B2＋BC2＝CC，于是C1B⊥BC.又AB⊥侧面BCC1B1，BC1⊂侧面BCC1B1， 则B(0,0,0)，C(，0,0)，A(0，2,0)，C1(0,0，)，B1(－，0，)，＝(－，0，)，＝(0,2，－)，＝(0,0，－)，＝＋λ＝＋λ＝(－λ，0，λ－)， 则 令y＝λ，得n＝((λ－1)，λ，λ)， 点C到平面AC1E的距离d＝＝＝， 解得λ＝或λ＝，所以当λ＝或λ＝时，C到平面AC1E的距离为. $$