第7章 第5节 空间直线、平面的垂直(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

空间直线、平面的垂直 第五节 1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题． 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1．直线与平面垂直 (1)定义 直线l与平面α内的_____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 任意 (2)判定定理与性质定理 相交 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b 平行 a⊥α b⊥α 续表 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角． 射影 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角 从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱_____的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的取值范围 ______ 两个半平面 垂直 [0，π] (2)判定定理与性质定理 l⊥α l⊂β α∩β＝a 续表 (1)两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 拓展教材 (常见结论及应用) 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) √ √ 续表 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修②P162T2改编)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题正确的是(　 ) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β √ 2．(人A必修②P159T3改编)如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现________对平面互相垂直． 3 解析：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD. 理由：∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD， ∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD. 又BC⊥CD，AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ACD， ∴平面ABC⊥平面ACD. 3．(人A必修②P171T14改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________． 45° 4．(人A必修②P152T4改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心． 外 垂 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视判定平面与平面垂直的条件)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列命题正确的是(　 ) A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m √ 解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确； 当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误； 当l∥β且l⊂α时，α与β可能平行或相交，故C错误； 当α∥β且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行或异面，故D错误． 2．(忽视平面到空间的变化)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为__________________． 解析：若a，b，c在同一个平面内，则由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 平行、相交或异面 课堂·题点精研 02 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 求证：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 题点一　线面垂直的判定与性质 例 1 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 证明线面垂直的4种方法 (1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ(客观题可用)． 思维建模 1.(2024·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， 点B1在底面ABC内的射影恰好是点C. 针对训练 解：(1)证明：∵点B1在底面ABC内的射影是点C， ∴B1C⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB.∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1. ∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1. (2)如图，延长BC至点E，使BC＝CE，连接C1E，则B1C1∥CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E∥B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC. ∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE. 题点二　面面垂直的判定与性质 例 2 在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4， E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE. (1)若平面PDE⊥平面BCDE， 求四棱锥P-BCDE的体积； (2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE. 解：(1)如图所示，取DE的中点M， 连接PM， 由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE. 又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE， ∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P-BCDE的高． 在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2， (2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN， ∵PB＝PC，∴BC⊥PN. ∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN.∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM. 由(1)知，PM⊥DE， 又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的， ∴PM⊥平面BCDE. ∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE. 面面垂直判定的两种方法与一个转化 思维建模 两种方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β) 一个转化 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直， 然后进一步转化为线线垂直 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 针对训练 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°. 又AD∥BC，所以∠DBC＝45°. 又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD. 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD ， 所以CD⊥平面PBD. (2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD. 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD. 题点三　几何法求线面角和二面角 例 3 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　 ) √ 例 4 √ 1．几何法求线面角的3个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解． 2．作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 思维建模 针对训练 √ 4．已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为________． 解析：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB.又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°，显然CE∩DE＝E， CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE.又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC， 如图，在四面体C-ABD中，CB＝CD，AB＝AD,∠BAD＝90°，E，F分别是BC，AC的中点. (1)求证：AC⊥BD； (2)在AC上能否找到一点M，使BF∥平面MED？请说明理由； 题点四　垂直与平行关系的综合应用 例 5 (3)若CA＝CB，求证：平面BCD⊥平面ABD. 解：(1)证明：取BD的中点O，连接AO，CO， 在△BCD中，∵CB＝CD，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD，而AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC. 又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD. (2)在AC上能找到一点M，使BF∥平面MED，此时M为FC的中点，证明如下： 连接EM，DM，DE，∵E是BC的中点，∴BF∥EM. ∵EM⊂平面MED，BF⊄平面MED， ∴BF∥平面MED，∴FC的中点M即为所求． (3)证明：∵∠BAD＝90°，∴AO＝BO. ∵CA＝CB，CO是公共边， ∴△COA≌△COB，从而∠COA＝∠COB， 由(1)可知CO⊥BD，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°，即CO⊥OA. ∵BD∩OA＝O，BD，OA⊂平面ABD，∴CO⊥平面ABD. ∵CO⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面ABD. (1)垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行，垂直性质及判定的综合应用． (2)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (3)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 思维建模 5.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1-AD-C的大小为120°，E为棱C1D1的中点． (1)证明：CD⊥AE； 针对训练 (2)点F在棱CC1上，AE∥平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，且两平面交线为DC，AD⊥DC，AD⊂平面ABCD， 所以AD⊥平面CDD1C1，所以AD⊥D1D，AD⊥DC，∠D1DC是二面角D1-AD-C的平面角，故∠D1DC＝120°. 连接DE，因为E为棱C1D1的中点，则DE⊥C1D1，C1D1∥CD，从而DE⊥CD. 又AD⊥CD，DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面AED，所以CD⊥平面AED，又AE⊂平面AED，因此CD⊥AE. 连接AC交BD于点O，连接CE交DF于点G，连接OG.因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AEC，平面AEC∩平面BDF＝OG， 所以AE∥OG.因为O为AC中点， 连接AG交BD于点I，连接HI，因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AGE，平面AGE∩平面BDF＝IH，所以AE∥IH. HI与DF所成的角等于直线AE与DF所成的角． 特训·微专题强化 03 立体几何中中点的作用 众所周知，在平面几何中，如遇条件中有中点，那么中线、中位线、平行线是重要辅助线．在立体几何的学习中，我们要善于借鉴平面几何中作辅助线的一般规律，善于从中点入手考虑问题． 类型(一)　利用中点，创造平行关系 利用中点，巧妙地得到平行关系，是求异面直线所成的角的有效途径. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值为____________． 例 1 解析：如图，取BC的中点E，连接D1F1，EF1，EA. 因为D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点， 所以D1F1为△A1B1C1的中位线， 所以D1F1∥BE且D1F1＝BE，所以四边形BEF1D1为平行四边形，所以∠EF1A为BD1与AF1所成的角． 类型(二)　利用中点，创造垂直关系 利用中点，巧妙地得到垂直关系，往往是求二面角的关键，是证明线面垂直的关键． 在四棱锥S-ABCD中，SA＝SC＝SD，AC⊥CD，求证：平面SAD⊥平面ABCD. 例 2 证明：如图，取AD的中点O，连接SO，OC. 因为SA＝SD，所以SO⊥AD. 又因为SO＝SO，SC＝SD，所以△SOC≌△SOD， 所以∠SOC＝∠SOD＝90°，所以SO⊥OC. 又因为OC∩OD＝O，OC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD， 所以SO⊥平面ABCD.又因为SO⊂平面SAD，所以平面SAD⊥平面ABCD. 类型(三)　利用中点，巧作截面 反映立体几何问题特征的数量关系往往集中于某个平面，利用中点巧妙地将这个关键平面从空间图形中抽取出来，集中目标，解决要害问题. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2， D是CC1的中点，则A1B1与平面DAB的距离为__________． 例 3 解析：如图，取A1B1的中点G，AB的中点H，连接CH，HG，GC1，DH， 则AB⊥平面GHCC1. 在平面GHCC1中，作GE⊥DH，垂足为点E. 类型(四)　利用中点，分割几何体 借助中点，选择合适的截面，对图形进行有效地分割，把不规则的几何体分解成若干个规则、易于计算的几何体，从而降低问题难度． 例 4 解析：如图，取BD的中点E，连接AE，CE， 则BD⊥AE，BD⊥CE，所以BD⊥平面ACE， 所以AC2＝AE2＋CE2，所以∠AEC＝90°， 课时跟踪检测 04 1．如图，如果MC垂直于菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD垂直但不相交． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2．(2024·泰安一模)已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由线面垂直的性质知，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m必须垂直于平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 3．[多选]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下四个命题正确的是(　 ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若α⊥β，m⊂β，n⊂α，则m⊥n √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：当m∥n，n⊂α时，m∥α或m⊂α，所以A错误； 当m⊂α，m⊥β时，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，所以B正确； 当m⊥α，m⊥β时，有α∥β，所以C正确； 当α⊥β，m⊂β，n⊂α时，如图所示，m∥n，所以D错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　 ) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上． 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 5.(2024·信阳模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线m，n分别在平面ABCD和ABB1A1内， 且m⊥n，则下列命题正确的是(　 ) A．若m垂直于AB，则n垂直于AB B．若m垂直于AB，则n不垂直于AB C．若m不垂直于AB，则n垂直于AB D．若m不垂直于AB，则n不垂直于AB √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：若m垂直于AB，由平面ABCD⊥平面ABB1A1，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，可得m垂直于平面ABB1A1，即平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直，而n可能垂直于AB，也可能不垂直于AB，故A、B错误； 若m不垂直于AB，则BC，m为平面ABCD内的两条相交直线，由题可知BC⊥n，m⊥n，则n垂直于平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以n垂直于AB，故C正确，D错误．故选C. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 8.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_______________；与AP垂直的直线有________． AB，BC，AC AB 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB. 9．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下面四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：____________.(用序号表示) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 ①③④⇒② 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交,即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β，又m⊥α，所以α⊥β，即①③④⇒②；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，因为α⊥β，n⊥β，所以n∥α，又m⊥α，所以m⊥n，即②③④⇒①. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 60° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD. ∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD. ∵AP⊂平面PAD，∴CD⊥AP.又AP⊥DP，CD∩DP＝D，CD，DP⊂平面PCD， ∴AP⊥平面PCD. ∵CP⊂平面PCD，∴AP⊥CP. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)∵四边形ABCD为正方形，连接AC，则AC∩BD＝F，F为AC中点. ∵E为PC的中点，∴在△ACP中，EF∥PA. ∵PA⊂平面ADP，EF⊄平面ADP，∴EF∥平面ADP. ∴E到平面ADP的距离等于F到平面ADP的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 法一　取AD的中点M，连接MF，则MF∥CD，又CD⊥平面ADP，∴MF⊥平面ADP. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 法二　取AD的中点M，连接MF，PM， 则PM⊥AD. ∵侧面PAD⊥底面ABCD， 侧面PAD∩底面ABCD＝AD， PM⊂平面PAD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 12．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别在棱BB1，CC1上，棱AA1⊥底面ABC，且AB＝BC＝CA＝CE＝EC1＝2BD，记过点A，D，E的平面为α. (1)画出平面α与底面ABC的交线； (2)证明：平面α⊥平面ACC1A1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)如图所示，分别延长ED和CB相交于点F，连接AF，则AF即为所求交线． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)证明：因为CE＝2BD，且CC1∥BB1，所以B是CF的中点，所以CB＝BF. 又CB＝AB，所以BC＝BF＝BA. 而平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， 所以AF⊥平面ACC1A1. 又AF⊂平面α，故平面α⊥平面ACC1A1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为SD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以AC⊥SD，A正确 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，BD，SD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，又SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，即AC与SB所成角的大小为90°，B错误. 因为SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以BC⊥SD，因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.又CD∩SD＝D，CD，SD⊂平面SCD，所以BC⊥平面SCD，所以BD与平面SCD所成的角为∠BDC，易知∠BDC＝45°，即BD与平面SCD所成角的大小为45°，C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 14.如图，已知在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，M为边BC的中点，将△ABM，△CDM分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 快审准解：由题意可得MP⊥平面ADP，设点P到平面MAD的距离为h，然后利用等体积法可求得结果． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为四边形ABCD为矩形，所以MP⊥AP，MP⊥DP. 因为AP∩DP＝P，AP，DP⊂平面ADP， 所以MP⊥平面ADP. 因为PA＝PD＝AB＝3，AD＝4，PM＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，Q为AD的中点． (1)求证：DB⊥PQ； (2)在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)证明：正三角形PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD， 所以PQ⊥底面ABCD. 又DB⊂底面ABCD，所以DB⊥PQ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)存在点N，当N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB，证明如下： 由(1)知PQ⊥底面ABCD，又CN⊂底面ABCD，所以PQ⊥CN. 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以BA＝CB，AQ＝BN， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∠QAB＝∠NBC＝90°，所以△QAB≌△NBC，所以∠AQB＝∠BNC. 因为∠AQB＋∠ABQ＝90°，所以∠CNB＋∠ABQ＝90°，所以CN⊥BQ， 而PQ∩BQ＝Q，PQ，BQ⊂平面PQB，所以CN⊥平面PQB. 又CN⊂平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB. 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条_____直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_____ ⇒a∥b (2)线面角θ的取值范围：________. 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α (3)三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 考题品悟 (2022·新课标Ⅱ卷)[多选]如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( ) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 追根溯源 (北师大必修②P257T3)如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH＝2，EF＝.求该多面体的体积． 发现启迪 线面位置关系与表面积体积相结合不仅体现在大题考法中，在小题考法中比重也越来越大. (1)若点D是AC的中点，且DA＝DB， 证明：AB⊥CC1. (2)已知B1C1＝2，B1C＝2，求△BCC1的周长． ∵C1E＝B1C＝2，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4， ∴CC1＝＝4，BC1＝＝2， ∴△BCC1的周长为2＋4＋2＝6＋2. ∴PM＝DE＝，而直角梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥P-BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2. A. B. C. D. 解析：取A1C1，AC的中点E，F，连接B1E，BF，EF，如图所示，由正三棱柱性质易知B1E⊥平面AA1C1C，过D作DH∥B1E，连接AH，则DH⊥平面AA1C1C，则∠DAH即为AD与平面AA1C1C所成的角，易得DH＝B1E＝，DA＝，所以sin∠DAH＝＝. 在四面体ABCD中，已知△ABD为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，斜边AB＝4，CD＝2，则二面角C-AB-D的大小为(　 ) A. B. C. D. 解析：如图，取AB中点M，连接CM，DM.因为△ABD为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，所以CM⊥AB，DM⊥AB，故∠CMD即为二面角C-AB-D的平面角．因为AB＝4，所以CM＝2，DM＝2，所以cos∠CMD＝＝＝－， 所以∠CMD＝，即二面角C-AB-D的大小为. 3.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为二面角S-BC-A的平面角．∵BC＝2，∴SD＝＝＝，AD＝＝＝，而SA＝，∴△SDA是正三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°. 显然平面CDE∩平面ABC＝CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB＝2，则CE＝1，DE＝，在△CDE中，由余弦定理得CD＝＝＝， 由正弦定理得＝，即sin∠DCE＝＝， 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE＝＝＝，所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为. (2)法一　设AB＝2，则DE＝＝，所以CE＝AE＝＝. 所以G为CE中点，故OG＝AE＝.且直线OG与DF所成的角等于直线AE与DF所成的角． 在Rt△EDC中，DG＝CE＝，因为OD＝， 所以cos∠OGD＝＝. 因此直线AE与DF所成角的余弦值为. 法二　设AB＝2，则DE＝＝，所以CE＝AE＝＝. 取DC中点G，连接EG交DF于点H，则EG＝DD1＝2. 正方形ABCD中，GI＝AG，DI＝DB＝，所以GH＝EG，故HI＝AE＝. 在△DHG中，GH＝EG＝，GD＝1，∠EGD＝60°， 由余弦定理得DH＝＝.在△DHI中，cos∠DHI＝＝. 因此直线AE与DF所成角的余弦值为. 故异面直线BD1与AF1所成角的余弦值为. 设BC＝2a，则CA＝CC1＝2a，AE＝a， EF1＝BD1＝＝a，AF1＝＝a. 在△AEF1中，由余弦定理，得cos∠EF1A＝＝， 因为AC⊥CD，O为AD的中点， 所以OC＝AD＝OD. 因为AB⊥平面GHCC1，所以AB⊥GE，所以GE⊥平面DAB. 所以∠GHD＝60°，所以GE＝GHsin 60°＝2sin 60°＝. 故A1B1与平面DAB的距离为. 因为HC＝，DC＝1，所以DH＝2，∠DHC＝30°， 在三棱锥D-ABC中，AD＝AB＝BC＝CD＝，AC＝，BD＝4，则此三棱锥的体积为__________． 所以VD-ABC＝VD-ACE＋VB-ACE＝S△ACE·(DE＋BE)＝ BD·S△ACE. 因为CE＝AE＝＝＝1，AC＝， 所以S△ACE＝×1×1＝. 所以VD-ABC＝BD·S△ACE＝×4×＝. 6．(2024·滨州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝(　 ) A. B. C. D. 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠D1BC.因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C.又BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥D1C，所以∠D1BC＋∠BD1C＝，即α＋β＝.故选C. 7.(2024·茂名模拟)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为6，侧棱长为8，D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为(　 ) A. B．2 C. D. 解析：取BC中点E，连接DE，AE，由正三棱柱知DE⊥平面ABC，且DE＝4，因为AE是斜线AD在底面上的射影，所以∠DAE为直线AD与底面ABC所成的角，在正△ABC中AE＝×6＝3，直线AD与底面ABC所成角的正切值为＝＝.故选D. 10．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________． 解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB.取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.因为VH∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V-AB-C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V-AB-C的大小是60°. 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面ADP⊥底面ABCD，AP＝DP，且AP⊥DP，设E，F分别为CP，BD的中点，FP＝. (1)求证：AP⊥CP； (2)求三棱锥P-ADE的体积． 由(1)知，PA⊥PC，∴PF＝AC＝，得AC＝2，∴AB＝AD＝2，PA＝PD＝. ∴VP-ADE＝VE-PAD＝VF-PAD＝S△PAD·MF＝××××1＝. ∴PM⊥底面ABCD，PM＝AD＝1.∴VP-ADE＝VE-PAD＝VF-PAD＝VP-ADF＝S△ADF·PM＝××1×2×1＝. 可知△FAC是直角三角形，∠FAC＝，即AF⊥AC. 13．(2024·广东一模)[多选]在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，若SD＝AD，则(　 ) A．AC⊥SD B．AC与SB所成角的大小为60° C．BD与平面SCD所成角的大小为45° D．BD与平面SAB所成角的正切值为 如图，取SA的中点K，连接DK，BK，因为SD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥SD.又四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，又AD∩SD＝D，SD，AD⊂平面SAD，所以AB⊥平面SAD.因为DK⊂平面SAD，所以AB⊥DK，又SD＝AD，所以DK⊥SA，又SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB， 所以DK⊥平面SAB，所以BD与平面SAB所成的角为∠DBK.不妨设SD＝AD＝a，则易知DK＝，BK＝，在Rt△DKB中，tan∠DBK＝＝＝，即BD与平面SAB所成角的正切值为，D正确． 故选ACD. 所以S△ADP＝×4×＝2， S△ADM＝×4×3＝6， 设点P到平面MAD的距离为h，VP-AMD＝VM-APD， 所以×6h＝×2×2，解得h＝. 15．(2024·宿迁模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，点B在以AC为直径的圆上运动，PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，DE⊥PC，垂足为E，若PA＝2，AC＝2，则三棱锥P-ADE体积的最大值是________． 解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，得BC⊥AD.又AD⊥PB，PB∩BC＝B，∴AD⊥平面PBC，得AD⊥PC，而DE⊥PC，AD∩DE＝D，∴PC⊥平面ADE，可得AE⊥PC.在Rt△PAC中，由PA＝2，AC＝2，得PC＝4.由Rt△PEA∽Rt△PAC，得＝，则PE＝＝＝3，由PE＝3， PA＝2，得AE2＝3.又AD⊥平面PBC，∴AD⊥DE，∴AD2＋DE2＝AE2＝3，得3＝AD2＋DE2≥2AD·DE，即AD·DE≤(当且仅当AD＝DE时等号成立)，∴三棱锥P-ADE体积的最大值是××AD×DE×PE＝×××3＝. $$