第7章 第4节 空间直线、平面的平行(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

空间直线、平面的平行 第四节 1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题． 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与_________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) 因为_____，a⊂α，l⊄α，所以l∥α 此平面内 l∥a 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面_____，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，l⊂β，__________，所以l∥b 相交 α∩β＝b 续表 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条_________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β，b∥β，_________，a⊂α，b⊂α，所以α∥β 相交直线 a∩b＝P 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______， 那么两条_____平行(简记为“面面平行⇒线线平行”) 因为α∥β，α∩γ＝a，_________，所以a∥b 相交 交线 β∩γ＝b 续表 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等． (4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 拓展教材 (常见结论及应用) 发掘教材 A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修②P143T1(2))如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　 ) A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内 √ 解析：过a与P作一平面β，平面α与平面β的交线为b，因为直线a∥平面α，所以a∥b，在同一个平面内，过一点作已知直线的平行线有且只有一条，所以选项C正确． 2．(人A必修②P142T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(　 ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α √ 解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C. 3．(苏教必修②P178T2)给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件是________．(填序号) ①③ 解析：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交． ①l∥α，能确定直线l在平面α外； ②l与α至少有一个公共点，直线可能在平面内，故不能确定直线l在 平面α外；③l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外． 4.(人A必修②P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________． 平行四边形 解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形． B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是(　 ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 √ 2．(忽视线面平行的条件) (1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是_____________． (2)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是_____________． a∥α或a⊂α a∥β或a⊂β 课堂·题点精研 02 考法(一)　直线与平面平行的判定　 题点一　直线、平面平行的判定与性质 例 1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点． 求证：BE∥平面PAD. 证明：法一　 如图，取PD的中点F，连接EF，FA. ∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 法二　如图，延长DA，CB相交于G，连接PG. ∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4， 又E为PC的中点，∴BE∥PG. 又BE⊄平面PAD，PG⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD. 法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE. ∵E为PC的中点，∴EH∥PD. 又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EH∥平面PAD. 又由题意知AB∥DH，AB＝DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD. 又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD. 又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD. 又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 利用判定定理证明线面平行的步骤 思维建模 考法(二)　直线与平面平行的性质　 例 2 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F，求证：点F为B1C1中点． 证明：在正方体中AB∥CD，AB∥A1B1，所以A1B1∥CD.因为CD⊂平面CDE，A1B1⊄平面CDE，所以A1B1∥平面CDE. 因为直线B1C1交平面CDE于点F， 所以EF⊂平面A1B1C1D1，且平面A1B1C1D1∩平面CDE＝EF. 因为A1B1∥平面CDE，A1B1⊂平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面CDE＝EF， 所以A1B1∥EF. 因为点E为A1D1中点，四边形A1B1C1D1是正方形，所以F为B1C1中点． 思维建模 线面平行性质定理的应用 证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行，在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 判断线段比例或点所在位置或是求线段长度，通过线面平行结合题意构造线线平行，从而找到相似比． 针对训练 证明：(1)因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD. 所以四边形EFCB是平行四边形，即BE∥CF.又BE⊄平面PDC，CF⊂平面PDC， 所以BE∥平面PDC. 谨记结论：判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，成为平行链如下： 2．一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？ 解：点P与直线BC确定平面α，根据题意，应画出平面α与长方体各面的交线． 点P既在平面α内又在平面A1C1内，由基本事实3，平面α与平面A1C1必相交于经过点P的一条直线． 设这条直线与A1B1，C1D1的交点分别为E，F. 由于BC∥B1C1，BC⊄平面A1C1，B1C1⊂平面A1C1，故BC∥平面A1C1. 由直线与平面平行的性质定理得BC∥EF. 因此只要在平面A1C1内过点P作B1C1的平行线即可． 作法：在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于点E，F. 连接EB，CF，则BE，CF和 EF就是所要画的线(如图)． 题点二　面面平行的判定与性质 例 3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中． (1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. 证明：(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綉B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D. 又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD. (2)连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点. 下面证明A1E＝EF＝FC：因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；(由中点构造出三角形的中位线)同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC. 证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理． (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． (3)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 思维建模 3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 针对训练 证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点， ∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， ∴EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F＝BG.又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形， 则BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G. 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，交BC于H，则A1C1∥GH，得GH∥AC. ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点． 题点三　平行关系的综合应用 例 4 如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6， 求四边形EFGH周长的取值范围． 解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB. 又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. (2)设EF＝x(0<x<4)，由(1)知EF∥AB， 又∵0<x<4，∴8<l<12，故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)． 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决． 思维建模 针对训练 解：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图． 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA. 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA. 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 特训·微专题强化 03 多面体的截面与交线问题 类型(一)　截面问题 1．作截面应遵循的三个原则 (1)在同一平面上的两点可引直线； (2)凡是相交的直线都要画出它们的交点； (3)凡是相交的平面都要画出它们的交线． 2．作截面的三种常用方法 (1)直接法：解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上； (2)作平行线法：解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行； (3)延长交线得交点：解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上． 应用体验 √ 解析：先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F,则五边形C1MEFN为所求截面图形. √ 解析：如图所示，M，N分别是AA1，CC1中点，则MN∥A1C1∥AC，作QE∥A1C1，交C1D1于E，连接EN，并延长交DC的延长线于点K，连接QM，并延长交DA的延长线于点T，连接TK交AB于点G，交BC于点F，则六边形QENFGM为过M，N，Q三点的截面．由面面平行的性质定理得TK∥QE，从而有TK∥AC，A1Q＝2， √ 快审准解：根据题意分析可得过点A，E，F的截面即为截面AEFD1，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分ADD1-ECF为三棱台，结合台体的体积公式分析运算． 类型(二)　交线问题 (1)利用相交平面有且只有一条过交点的直线的性质寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线． (2)利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线． (3)对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可． 应用体验 √ 解析：由题意得△ACD，△ABC为等腰直角三角形．设球C与Rt△ACD的边CD，AD分别交于点M，N，如图1，设球C与Rt△ABC的边AB，CB分别交于点H，G，如图2. 解析：易知四边形A1B1C1D1为菱形，∠B1A1D1＝60°，连接B1D1，则△B1C1D1为正三角形，取B1C1的中点O，连接D1O，易得D1O⊥B1C1，∴D1O⊥平面BCC1B. 课时跟踪检测 04 1．(2024·盐城模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　 ) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 规律方法：(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择题还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2.[多选]设l，m是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是(　 ) A．若l∥m，m⊂α，l⊄α，则l∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m C．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β D．若α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：若l∥m，m⊂α，l⊄α，根据线面平行的判定定理，可得l∥α，所以A正确； 若l⊂α，m⊂β，α∥β，则直线l与m平行或异面，所以B不正确； 若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，只有当l与m相交时，才能得到α∥β，所以C不正确； 若α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，根据面面平行的性质，可得l∥m，所以D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 3.在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　 ) A.异面 　　 B.平行 C.相交 　　 D.以上均有可能 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．[多选]下列命题正确的是(　 ) A．如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行 B．两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等 C．如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行 D．如果一条直线平行于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面平行 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：当直线上的两点位于平面的同侧时， 可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故A错误； 2 3 4 如图，AC∥BD，则AC，BD确定一个平面， 又因为α∥β，平面ABDC∩α＝CD， 平面ABDC∩β＝AB，所以根据平面与平面平行的性质得CD∥AB，所以四边形ABDC是平行四边形，所以AC＝BD，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 根据平面与平面平行的判定可知C正确； 当直线与平面内的无数条直线都平行时，不能得到直线与平面平行，故D错误．故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．过四棱锥P-ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　 ) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：选C　如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点，则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，所以NE∥平面PBD.同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知， 2 3 4 其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条．故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 6.[多选]如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是(　 ) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：连接MP(图略)，因为M，P分别为棱AB，CD中点， 所以MP∥AD且MP＝AD.因为ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，所以AD∥A1D1且AD＝A1D1，所以MP＝A1D1且MP∥A1D1，故四边形MA1D1P为平行四边形，A1M∥D1P，故A正确； 因为D1P⊂平面DCC1D1，A1M⊄平面DCC1D1，所以A1M∥平面DCC1D1；同理A1M∥平面D1PQB1，故C、D正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A1M与平面ADD1A1相交，且平面BCC1B1∥平面ADD1A1，所以A1M与平面BCC1B1相交．又因为B1Q⊂平面BCC1B1， 所以A1M与B1Q不平行，故B错误． 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 8.如图,平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 9．(2023·绵阳三模)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝______. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：如图，连接NC，因为AB∥CD，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 10.用一个平面去截直三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为_________． (把你认为可能的结果的序号填在横线上) ②④⑤ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面与平面A1B1C1，平面ABC均相交，则交线EF∥HG，当FG不与B1B平行时，此时EH不平行于FG，四边形EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方形． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11.已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点，从下面①②③中选取两个作为条件,证明另一个成立. ①F是AB的中点；②E是PC的中点；③BE∥平面PFD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 证明：选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③BE∥平面PFD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 选②E是PC的中点,③BE∥平面PFD为已知条件,证明①F是AB的中点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 所以DN∥FB，DN＝FB，四边形BFDN是平行四边形，BN∥DF.因为BN⊄平面PDF， DF⊂平面PDF,所以BN∥平面PFD. DF⊂平面PDF，所以BN∥平面PFD.因为BE∥平面PFD，BN∩BE＝B，所以平面 PDF∥平面BEN.因为EN⊂平面BNE，所以EN∥平面PDF.又EN⊂平面PDC，平面PDC∩平面PDF＝DP，所以EN∥PD.因为N是CD的中点，所以E是PC的中点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB，A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB.又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)连接A1B交AB1于O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13．[多选]如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的是(　 ) A．PC∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMN C．OM⊥PA D．直线PD与直线MN所成角的大小为90° √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：连接AC，如图所示，∵O为底面正方形的中心，∴O为AC中点，又∵M为PA中点，∴OM∥PC，又∵OM⊂平面OMN，PC⊄平面OMN，∴PC∥平面OMN，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 连接BD，同理可证ON∥PD，又∵ON⊂平面OMN，PD⊄平面OMN，∴PD∥平面OMN，又∵PD∩PC＝P，PC∥平面OMN，PC⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD∥平面OMN，故B正确； 由于正四棱锥P-ABCD的棱长均相等，且四边形ABCD为正方形，∴AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，∴PA⊥PC，又∵OM∥PC，∴OM⊥PA，故C正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 ∵M，N分别为侧棱PA，PB的中点，∴MN∥AB，∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，∴直线PD与直线CD所成的角即为直线PD与直线MN所成的角，∴∠PDC即为直线PD与直线MN所成的角，又∵△PDC为正三角形，∴∠PDC＝60°，∴直线PD与直线MN所成的角为60°，故D不正确．故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：根据题意，取AA1，CC1的中点分别为M，N，连接DM，DN，B1M，B1N，MN，如图所示．易知DE＝C1N＝1，且DE∥C1N，所以四边形DEC1N是平行四边形，即DN∥EC1，又DN⊄平面A1EC1，EC1⊂平面A1EC1，所以DN∥平面A1EC1；同理可得DM∥平面A1EC1.又DN∩DM＝D，DN， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：如图，取B1C1的中点D，取BB1的中点E， 连接MD，DE，ME， ∵DM∥A1B1，AB∥A1B1，∴DM∥AB.∵DM⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴DM∥平面ABC1.∵DE∥BC1，DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴DE∥平面ABC1.又DM∩DE＝D，DM，DE⊂平面DEM，∴平面DEM∥平面ABC1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16.如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2. (1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值； (2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图． 因为四边形ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，所以AO∥CN，所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成的角．因为平面ABCD⊥平面 BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC， 在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，所以NO⊥平面BCM. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM.在Rt△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q， 连接PQ. 因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂ 平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ， 所以CM∥PQ. 因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM中点，AP＝PM.又AP＝λPM，所以λ的值为1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn ∴EF∥CD，且EF＝CD＝2. 又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF， ∴＝＝，即B为GC的中点． 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PA的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：BE∥平面PDC. 由(1)知BC∥AD，且BC＝AD，所以EF∥BC，且EF＝BC， (2)取PD的中点F，连接EF，FC，如图所示，由E是PA的中点，F是PD的中点，可得EF∥AD，且EF＝AD. 线线平行线面平行线线平行． ∴＝＝. 与(1)同理可得CD∥FG，∴＝，则＝＝＝1－，∴FG＝6－x. ∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 故△PBC∽△PDM，所以＝＝. 又因为＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1. (2)当的值为时，能使平面PQR∥ 平面A1D1DA.如图． 证明如下：因为＝， 即＝，故＝. 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　 ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．(2024·衡水模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别为棱AA1，CC1的中点，点Q是棱A1D1上靠近点D1的三等分点，则平面MNQ截该正方体所得截面的面积为(　 ) A. B．2 C．10 D．12 D1Q＝1，则D1E＝D1Q＝1，C1E＝A1Q＝2，因为N是CC1中点，C1E∥CK，所以CK＝C1E＝2.又因为TK∥AC，所以CF＝CK＝2.同理AG＝2，BG＝BF＝1，QE＝，MN＝3，EN＝＝，梯形QENM是等腰梯形，且梯形QENM与梯形FGMN全等，高为h＝＝，截面面积S＝2×(QE＋MN)h＝2.故选B. 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为(　 ) A．2 B. C. D. 解析：如图，连接AD1，D1F，BC1，∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，则EF∥BC1.又∵AB∥C1D1，且AB＝C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，可得EF∥AD1，故过点A，E，F的截面即为截面AEFD1，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分ADD1-ECF为三棱台，且三棱台ADD1-ECF的高为DC. 设正方体的棱长为2，则S△ADD1＝×2×2＝2，S△ECF＝×1×1＝，可得正方体的体积VABCD-A1B1C1D1＝2×2×2＝8，三棱台ADD1-ECF的体积VADD1-ECF＝×2×＝，故分成的上、下两部分几何体的体积比为＝.故选C. 4．在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝AD＝，以C为球心，2为半径的球C与该四面体每个面的交线的长度之和为(　 ) A. B．π C. D. 所以∠NCM＝∠ACD－∠ACN＝－＝， 易得cos∠ACN＝， 则∠ACN＝，AN＝AC·tan＝1， 如图4，易知是以顶点C为圆心，2为半径，圆心角为的弧，所以的长为2×＝， 所以的长为2×＝，同理，的长为.在△ABD内，如图3， 因为AH＝AN＝1，∠HAN＝， 所以的长为1×＝. 所以球C与该四面体每个面的交线的长度之和为＋＋＋＝.故选D. 5．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 取BB1的中点E，CC1的中点F，连接D1E，D1F，OE，OF，EF，易知D1E＝D1F＝，以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以O为圆心，OE为半径的， (难点：确定轨迹，同时要注意是四分之一圆周)∵B1E＝B1O＝1，∴OE＝，同理OF＝，易知EF＝2，∴∠EOF＝90°，∴的长＝×(2π×)＝. 7.如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为(　 ) A. B. C. D. 解析：连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC，则平面NAC即为平面α，因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC ＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB， 所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝.故选B. 解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝，∴AB＝＝＝. 所以CD∥平面SAB.又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD⊂平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝. 取PD的中点M，连接ME，MF，所以ME∥CD，ME＝CD.因为FB∥CD，FB＝CD，所以ME∥FB，ME＝FB，所以四边形MEBF是平行四边形，BE∥MF.因为BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，所以BE∥平面PFD. 取PD的中点M，连接ME，MF，所以ME∥CD，ME＝CD.因为FB∥CD，所以ME∥FB，即平面MEBF∩平面PDF＝FM.因为BE∥平面PFD，BE⊂平面MEBF，所以BE∥MF， 所以四边形MEBF是平行四边形，BF＝ME.因为ME＝CD＝AB，所以BF＝AB，即F是AB的中点．选①F是AB的中点，③BE∥平面PFD为已知条件，证明②E是PC的中点． 取CD的中点N，连接BN，EN， 12.在三棱柱ABC-A1B1C1中， (1)若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. (2)若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值． ∴＝＝1，即D1为线段A1C1的中点，∴D为线段AC的中点，即＝1. 14．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点，过点D作正方体截面使其与平面A1EC1平行，则该截面的面积为(　 ) A．2 B．2 C．4 D．4 DM⊂平面DMN，所以平面DMN∥平面A1EC1，即过点D作正方体截面使其与平面A1EC1平行的截面即为平面DMN.显然A1E∥B1N，A1E＝B1N＝，且DM∥A1E，A1E＝DM＝，所以四边形DMB1N是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形DMB1N的面积．易知MN＝2，B1D＝2，所以其面积为MN·B1D＝×2×2＝2. 15.(2023·榆林三模)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1， 则线段MN的最大值为________． 2 又平面DEM∩平面BCC1B1＝DE，MN∥平面ABC1，∴N在线段DE上． ∵MD＝1，ME＝＝2，∴线段MN的最大值为2. 所以MN＝.又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，所以CM＝1. 在△MCN中，CN＝，由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝， 所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为. $$