第3章 第3节 导数与函数的极值、最值(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

导数与函数的极值、最值 第三节 学习目标 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1．函数的极值 (1)极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)<0 f′(x)>0 (2)极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧_________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． f′(x)>0 f′(x)<0 (3)极值点、极值 极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为_____． 极值点 极值 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的______； ②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)． (2)有极值的函数一定不是单调函数． (3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件. (4)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． (5)若函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值． (6)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 微点提醒 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) √ √ √ 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A选择性必修②P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)极值点的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 解析：设导函数f′(x)的图象与x轴的交点分别为x1，x2，x3，x4，x5，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得x1，x4为函数f(x)的极大值点，x2，x5为函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)极值点的个数为4. √ √ 4．(苏教选择性必修①P230T7改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 32 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8， f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视验证参数是否符合题意)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________． 2 解析：f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6.又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2. 课堂·题点精研 02 题点一　函数的极值(点) 考法(一)　根据函数图象判断极值(点) 例 1 [多选]设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　 ) A．f(x)有两个极值点 B．f(0)为函数的极大值 C．f(x)有两个极小值 D．f(－1)为f(x)的极小值 √ √ 快审准解：利用函数g(x)图象判断f′(x)符号，从而判断f(x)的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可． 解析：由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)＞0，所以f′(x)＜0； 当x∈(－2,0)时，g(x)＜0，所以f′(x)＞0； 当x∈(0,1)时，g(x)＜0，所以f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，所以f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增． 所以f(x)有三个极值点，f(0)为函数的极大值，f(－2)和f(1)为f(x)的极小值．故A、D错误，B、C正确．故选BC. 由图象判断函数y＝f(x)的极值(点)，要抓住两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 思维建模 考法(二)　求已知函数的极值(点) 例 2 x (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 ln 2－1 单调递减 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点； 求函数极值的一般步骤 (1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数． (2)求f′(x)＝0的根． (3)判断f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点． (4)求出函数f(x)的极值． 思维建模 考法(三)　已知极值(点)求参数 例 3 若函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则b＋a＝(　 ) A．－7 B．0 C．7 D．0或7 √ 例 4 函数f(x)＝xex－mx在区间(0,1)内有极值点，则实数m的取值范围为(　 ) A．(－∞，2e) B．(－∞，1) C．(1,2e) D．[1,2e] 快审准解：根据极值点定义易知f′(x)在区间(0,1)内有实根，构造函数g(x)＝ex＋xex，x∈(0,1)，利用函数单调性即可求出实数m的取值范围． √ 解析：由f(x)＝xex－mx可得其定义域为R，易知f′(x)＝ex＋xex－m，因为函数f(x)＝xex－mx在区间(0,1)内有极值点，所以方程f′(x)＝ex＋xex－m＝0在区间(0,1)内有实根，即m＝ex＋xex在(0,1)内有实根.令g(x)＝ex＋xex，x∈(0,1)，则g′(x)＝(x＋2)ex，显然g′(x)在(0,1)上满足g′(x)>0恒成立，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，因此g(0)<g(x)<g(1)，可得1<g(x)<2e，因为m＝ex＋xex在(0,1)内有实根，所以1<m<2e，即实数m的取值范围为(1,2e)．故选C. 已知函数极值点或极值求参数的2个关键 思维建模 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 1.[多选]已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　 ) A．在区间(－1,1)上，函数f(x)单调递增 B．在区间(2,3)上，函数f(x)单调递减 C．－2为函数f(x)的极小值点 D．2为函数f(x)的极大值点 针对训练 √ √ 解析：当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故A错误； 当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故B正确； 当x∈(－3，－2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以－2为函数f(x)的极大值点，故C错误； 当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以2为函数f(x)的极大值点，故D正确． 2．(2023·商洛三模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x无极值，则a的取值范围为(　 ) A．[－3,6] B．(－3,6) C．(－∞，－3]∪[6，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) √ 解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因为f(x)无极值，所以(2a)2－4×3×(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6， 所以a的取值范围为[－3,6]． 3．设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的极值点． 考法(一)　求已知函数的最值 题点二　函数的最值 例 5 已知函数f(x)＝xln x－a(x－1),求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值． 解：f(x)＝xln x－a(x－1)(x＞0)， 则f′(x)＝ln x＋1－a， 由f′(x)＝0，得x＝ea－1. 所以f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减， 在区间(ea－1，＋∞)上单调递增． ①当ea－1≤1，即a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x) 的最小值为f(1)＝0. ②当1＜ea－1＜e，即1＜a＜2时， f(x)在[1，ea－1]上单调递减， 在[ea－1，e]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(ea－1)＝a－ea－1. ③当ea－1≥e，即a≥2时， f(x)在[1，e]上单调递减， 所以f(x)的最小值为f(e)＝a＋e－ae. 综上，当a≤1时，f(x)的最小值为0； 当1＜a＜2时， f(x)的最小值为a－ea－1； 当a≥2时，f(x)的最小值为a＋e－ae. 考法(二)　由函数的最值求参数 例 6 [－2,1) 解析：由f′(x)＝－x2＋1， 易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增， 故若函数f(x)在(a,10－a2)上存在最大值， 求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤 思维建模 针对训练 √ 当a≤0时，对任意的x>0，f′(x)<0，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a>0时，由f′(x)>0，可得0<x<a，由f′(x)<0，可得x>a，此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)． 特训·微专题强化 03 三次函数的图象与性质 1．三次函数的图象及相关性质 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其图象特征如下表所示，类似于“对勾函数”，我们将三次函数简称为“闪电函数”．对于“闪电函数”最基础的考查即研究其单调性、极值等相关性质.   有极值 无极值 a>0   有极值 无极值 a<0 2．三次函数图象的对称性 1．函数f(x)＝x3＋ax2－x的大致图象可能是(　 ) 应用体验 √ 解析：由f(0)＝0可得f(x)的图象过原点，排除A； 由f′(x)＝3x2＋2ax－1，Δ＝4a2＋12>0，得f(x)有2个极值点，排除C；存在t，当x>t时恒有f′(x)>0，f(x)在(t，＋∞)上单调递增，排除D. 2．[多选]已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，则(　 ) A．f(x)在(0,2)上单调递减 B．f(x)的极大值为1 C．方程f(x)＝－4有两解 D．曲线y＝f(x)经过四个象限 √ √ √ 解析：因为f(x)＝x3－3x2＋1，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 令f′(x)>0，即x<0或x>2；令f′(x)<0，即0<x<2，所以函数f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A正确； 当x＝0时，f(x)取得极大值f(0)＝1，故B正确； 又f(2)＝8－12＋1＝－3，画出f(x)的大致图象，结合图象可知函数y＝f(x)与y＝－4只有一个交点,所以方程f(x)＝－4只有一解，故C错误； 由图象可知曲线y＝f(x)经过四个象限，故D正确． 3．设ab≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　 ) A．a<b B．a>b C．ab<b2 D．ab>b2 √ 解析：由三次函数的性质可知，要使x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则当a>0时，函数f(x)大致图象如图(1)所示，则0<a<b，此时ab<b2；当a<0时，函数f(x)大致图象如图(2)所示，则b<a<0， 此时ab<b2.综上，ab<b2. √ 5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是________． 3 解析：对函数f(x)求导可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根．由3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0，得f(x)＝x1或f(x)＝x2，即3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图1,2所示，由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3. 31 设函数g(x)＝－x3－12x2－36x－7，则原问题等价于y＝g(x)与y＝a的图象有三个不同的交点．求导得g′(x)＝－3x2－24x－36，令g′(x)＞0，得－6＜x＜－2； 令g′(x)＜0，得x＜－6或x＞－2. 所以g(x)在(－6，－2)上单调递增，在(－∞，－6)，(－2，＋∞)上单调递减，且g(－6)＝－7，g(－2)＝25，则g(x)的图象如图所示．若y＝g(x)与y＝a的图象有三个不同的交点，则－7＜a＜25，所以整数a的个数为31.故打开盒子的密码为31. 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：在区间(1,4)内f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1,4)内单调递增，故A正确； 在区间(1,3)内f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1,3)内单调递增，故B错误； 当x∈(0,4)时，f′(x)>0，可知函数f(x)在(0,4)内单调递增，故x＝1不是函数f(x)的极值点，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 易错防范：混淆极值点的含义致误 定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0附近两侧异号，若“左负右正”，则x0为极小值点，若“左正右负”，则x0为极大值点． 本题易错的地方是求出a的值后，没有通过单调性来验证x＝1是否为函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．设函数f(x)＝ex－2x，直线y＝ax＋b是曲线y＝f(x)的切线，则2a＋b的最大值是(　 ) A．e－1 B．－1 C．2e－4 D．e2－4 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：由题得f′(x)＝ex－2.设切点为(t，f(t))，则f(t)＝et－2t，f′(t)＝et－2，则切线方程为y－(et－2t)＝(et－2)(x－t)，即y＝(et－2)x＋et(1－t)．又因为y＝ax＋b是曲线y＝f(x)的切线，所以a＝et－2，b＝et(1－t)，则2a＋b＝－4＋3et－tet.令g(t)＝－4＋3et－tet，则g′(t)＝(2－t)et，则当t＞2时，g′(t)＜0，g(t)在(2，＋∞)上单调递减；当t＜2时，g′(t)＞0，g(t)在(－∞，2)上单调递增．所以g(t)max＝g(2)＝－4＋3e2－2e2＝－4＋e2，即2a＋b的最大值为e2－4.故选D. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________． 2 3 4 (2,6) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 10.函数f(x)＝xm(1－x)n(m>0，n>0)在区间[0,1]上的图象如图所示，则m_____n(填“＜”“＝”或“＞”)． <  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11．已知函数f(x)＝x2e－x(x>0)． (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间和极值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (2)依题意，f′(x)＝2x2－4x＋2－a＝2(x－1)2－a，而x∈[2,3]， 则2(x－1)2∈[2,8]， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13．(2023·吕梁三模)[多选]已知函数f(x)＝e2x－2ex－12x，则下列说法正确的是(　 ) A．曲线y＝f(x)在x＝0处的切线与直线x＋12y＝0垂直 B．f(x)在(2，＋∞)上单调递增 C．f(x)的极小值为3－12ln 3 D．f(x)在[－2,1]上的最小值为3－12ln 3 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为f(x)＝e2x－2ex－12x，所以f′(x)＝2e2x－2ex－12＝2(ex－3) (ex＋2),所以f′(0)＝－12，故A错误； 令f′(x)>0，解得x>ln 3，所以f(x)的单调递增区间为(ln 3，＋∞)，而(2，＋∞)⊆(ln 3，＋∞)，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，故B正确； 当x<ln 3时f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln 3)，所以f(x)的极小值为f(ln 3)＝3－12ln 3，故C正确； f(x)在[－2,1]上单调递减，所以最小值为f(1)＝e2－2e－12，故D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为函数f(x)＝x3－(3a2－6a)x＋2，函数f(x)的图象可由函数h(x)＝x3－(3a2－6a)x的图象向上平移2个单位长度得到，又因为h(－x)＝(－x)3－(3a2－6a)(－x)＝－x3＋(3a2－6a)x＝－h(x)，可得函数h(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,2)对称，所以A正确； 不妨设函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2(x1<x2)，因为f(x)的图象关于点(0,2)对称，可得x1＋x2＝0，所以f(x1)＋f(x2)＝2×2＝4，所以B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 15．已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，其导函数为f′(x)，存在t∈(1,4)，满足f(2－t)＝f(t)＝f′(t)＝0.记f(x)的极大值为M，则M的取值范围是________． (0,32) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16．已知函数f(x)＝aex－cos x. (1)当a＝1，x∈(0，＋∞)，证明：f(x)>0； (2)若函数f(x)在(－π，π)上恰有一个极值，求a的值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)证明：由题设f(x)＝ex－cos x且x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝ex＋sin x≥0，所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(0)＝e0－cos 0＝0，得证． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 h'(x)>0,所以h(x)在,上单调递增,在上单调递减. 故极大值为h=,极小值为h=-,h(-π)=h(π)=h(0)=0. 要使h(x)在(-π,π)上与y=a有一个交点, 则a=或a=-或a=0. 经验证,a=或a=-时f'(x)对应零点不变号,而a=0时f'(x)对应零点为变号零点,所以a=0. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 考题品悟 (2023·新课标Ⅱ卷)[多选]若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( ) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 追根溯源 (人B选择性必修③P101T3)设函数f(x)＝ax3＋3x＋2有极值，求a的取值范围，并求出函数的极值点． 发现启迪 两题均为由函数的极值求参数的范围，最终均转化为关于x的一元二次方程的实根问题，解答此类问题的关键是厘清导函数与原函数的关系. 2．(人A选择性必修②P91例5改编)函数f(x)＝的极大值为(　 ) A．－e B． C．1 D．0 3．(人B选择性必修③P100T3改编)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　 ) A．2 B． C．－2 D．－ 解析：由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意． 2．(求函数最值时不要忽略对端点值的验证)函数f(x)＝x3－x2－3x＋6在[－4,4]上的最大值为________，最小值为________． － 解析：易知f′(x)＝x2－2x－3，故当x<－1或x>3时，f′(x)>0， 当－1<x<3时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1,3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3.又f(－4)＝－，f(4)＝－，故f(x)max＝，f(x)min＝－. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝， f′(x)＝－a＝(x>0)． 当a>0时，当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0， 故函数f(x)在x＝处有极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 解析：函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，求导得f′(x)＝3x2－2ax－b，依题意，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11.当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；当a＝－4，b＝11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11) (x－1)，当－<x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，于是x＝1是函数f(x)的极值点，符合题意，所以b＋a＝7. 解：(1)函数f(x)＝x－x3eax＋b，x∈R，求导得f′(x)＝1－(3x2＋ax3)eax＋b，因为f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，于是f(1)＝－1＋1＝0， f′(1)＝－1，则解得a＝－1，b＝1. (2)由(1)得g(x)＝f′(x)＝1－(3x2－x3)e－x＋1，求导得g′(x)＝－x(x2－6x＋6)e－x＋1，令x2－6x＋6＝0，解得x＝3±，显然恒有e－x＋1>0成立，由g′(x)<0，得0<x<3－或x>3＋，函数g(x)单调递减；由g′(x)>0，得x<0或3－<x<3＋，函数g(x)单调递增，所以g(x)的极大值点为0和3＋，极小值点为3－. (2024·苏州模拟)函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是____________． 则即－2≤a＜1. 4．已知a>0，函数f(x)＝在[1，＋∞)上的最大值为，则a＝(　 ) A．2或 B.或 C．2 D. 快审准解：换元令t＝x＋1(t≥2)，问题转化为g(t)＝t＋－2(t≥2)的最小值为，利用导数确定单调性，分类讨论确定最小值求得参数值． 解析：令t＝x＋1(t≥2)，则＝＝，函数f(x)＝在[1，＋∞)上的最大值为且f(x)>0，即转化为g(t)＝t＋－2(t≥2)的最小值为. g′(t)＝1－＝，g′(t)＝0⇒t＝(负值舍去)． 当≤2，即0<a≤3时，g(t)在[2，＋∞)上单调递增，g(t)min＝g(2)＝＝，解得a＝2； 当>2，即a>3时，若2≤t<，g′(t)<0，g(t)单调递减， 若t>，g′(t)>0，g(t)单调递增，g(t)min＝g()＝2－2＝，解得a＝<3，舍去．综上，a＝2.故选C. 5．已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在上的最大值g(a)． 解：(1)函数f(x)＝－ln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－＝－. (2)由(1)知，当a≤时，函数f(x)在上单调递减，此时g(a)＝f＝2－ae； 当<a<e时，函数f(x)在上单调递增，在(a，e]上单调递减，此时，g(a)＝f(a)＝－ln a； 当a≥e时，函数f(x)在上单调递增，此时g(a)＝f(e)＝－. 综上所述，g(a)＝ 三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象为中心对称图形，其对称中心为.该性质可通过中心对称的定义f(m＋x)＋f(m－x)＝2n((m，n)为对称中心)代入进行验证证明，也可通过研究f(x)＝ax3的对称性，再将其通过平移变换获得一般情况下的对称性，也可通过导数等工具进行验证． 4．已知曲线C：y＝x3－3x2的图象是中心对称图形，其在点A处的切线l与直线x＋9y＝0相互垂直，则点A到曲线C的对称中心的距离为(　 ) A．4 B．2 C．4 D．2 解析：由题意知曲线C：y＝x3－3x2的图象是中心对称图形，设f(x)＝x3－3x2，故设其对称中心为(m，n)，则f(2m－x)＋f(x)＝2n，即(2m－x)3－3(2m－x)2＋x3－3x2＝2n，即8m3＋6(m－1)x2＋12(m－m2)x－12m2＝2n，故m＝1，n＝－2，即C：y＝x3－3x2的对称中心为(1，－2)．又f′(x)＝3x2－6x，曲线C：y＝x3－3x2在点A处的切线l与直线x＋9y＝0相互垂直，故令f′(x)＝3x2－6x＝9，解得x＝－1或x＝3，即A(－1，－4)或A(3,0)，则点A到曲线C的对称中心的距离为＝2或＝2. 6．N同学与K同学为了纪念他们深厚的友谊，以三次函数及其图象的三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，把它放入一个盒子，并为盒子设置了一个密码．他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”“K”两个字母组合而成，其中“N”蕴含在函数f(x)＝x3＋3x2＋x－1的图象中，过点P(－6，a)与曲线y＝f(x)相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，如图所示．请你求出满足条件的整数a的个数，这就是打开盒子的密码：________. 解析：由f(x)＝x3＋3x2＋x－1，得f′(x)＝x2＋6x＋1，设切点坐标为，则切线斜率k＝f′(x0)＝x＋6x0＋1，切线方程为y－＝(x－x0)．因为切线过点P(－6，a)，则a－＝(－6－x0)， 整理得a＝－x－12x－36x0－7. 1.(2024·广安模拟)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 ) A．函数f(x)在区间(1,4)内单调递增 B．函数f(x)在区间(1,3)内单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极大值 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,4)时，f′(x)>0， f(x)单调递增，故函数f(x)在x＝0处取得极小值，故D错误，故选A. 2．(2024·重庆模拟)已知函数f(x)＝－xex，那么f(x)的极大值是(　 ) A. B．－ C．－e D．e 解析：∵函数f(x)＝－xex，∴f′(x)＝－(x＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f′(x)>0；当x>－1时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，∴f(x)极大值＝f(－1)＝，故选A. 3．函数f(x)＝在[0,2]上的最小值是(　 ) A. B. C．0 D. 解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，当x∈[0,1]时， f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1,2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(0)＝0，当x＝2时，f(2)＝，所以函数f(x)的最小值为0. 4．(2024·洛阳月考)若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则a的值为(　 ) A．－2 B．3 C．－2或3 D．－3或2 解析：f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x，则f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，由题意可知f′(1)＝0，即1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，解得a＝3或a＝－2.当a＝3时，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，当x>1或x<－9时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当－9<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，显然x＝1是函数f(x)的极值点；当a＝－2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，没有极值点，故选B. 5．函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1,2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：因为函数定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝2x＋(a－1)－＝，设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，所以g(x)＝0有两个不同实根．又g(0)＝－3<0，所以g(x)＝0两根一正一负，由题意正根在(1,2)内，所以解得－<a<2，故选A. 6．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D．(0,2) 解析：由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，得f′(x)＝2ax－2＋＝，若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，所以解得0<a<. 9．当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝________. － 解析：由题意知，f(1)＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f′(x)＝－(x>0)， 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f′(2)＝－＝－. 解析：因为f(x)＝xm(1－x)n，m>0，n>0，所以导函数f′(x)＝mxm－1 (1－x)n－nxm(1－x)n－1＝[m－(m＋n)x]xm－1(1－x)n－1，当x∈时， f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，又根据图象得到极值点<，因此m<n. 解：(1)∵f(x)＝x2e－x, ∴f′(x)＝(2x－x2)e－x，∴f′(1)＝.又f(1)＝，∴y－＝(x－1)，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x. (2)由(1)知f′(x)＝－x(x－2)e－x(x>0) ，易得x>2时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，当0<x<2时，f′(x)>0, 函数f(x)在(0,2)上单调递增，∴函数f(x)＝x2e－x(x>0)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)，∴函数f(x)＝x2e－x(x>0)在x＝2处取得极大值f(2)＝，没有极小值． 12．已知函数f(x)＝x3－2x2＋(2－a)x＋1，其中a∈R. (1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－2x2＋1，求导得f′(x)＝2x2－4x，则f′(1)＝－2.又f(1)＝－，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝－2(x－1)，即6x＋3y－5＝0. ①当a≤2时，f′(x)≥0，当且仅当a＝2，x＝2时取等号，函数f(x)在[2,3]上单调递增，则f(x)min＝f(2)＝－2a，f(x)max＝f(3)＝7－3a； ②当a≥8时，f′(x)≤0，当且仅当a＝8，x＝3时取等号，函数f(x)在[2,3]上单调递减，则f(x)min＝f(3)＝7－3a，f(x)max＝f(2)＝－2a； ③当2<a<8时，函数f′(x)在[2,3]上单调递增，由f′(x)＝0，得x＝1＋，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)min＝f＝－a－， 由f(3)－f(2)＝7－3a－＝－a≥0，得2<a≤，f(x)max＝f(3)＝7－3a， 由f(3)－f(2)＝－a<0，得<a<8，f(x)max＝f(2)＝－2a. 综上，当a≤2时，f(x)的最小值是－2a，最大值是7－3a；当2<a≤时， f(x)的最小值是－a－，最大值是7－3a；当<a<8时，f(x)的最小值是－a－，最大值是－2a；当a≥8时，f(x)的最小值是7－3a，最大值是－2a. 14．[多选]已知函数f(x)＝x3－(3a2－6a)x＋2有两个极值点，则(　 ) A．f(x)的图象关于点(0,2)对称 B．f(x)的极值之和为－4 C．∃a∈R，使得f(x)有三个零点 D．若g(x)＝f(x)＋ax2在x＝0处取得极小值，则a＝0或a＝2 例如：当a＝3时，函数f(x)＝x3－9x＋2，可得f′(x)＝3x2－9＝3(x2－3)，令f′(x)＝0，可得x1＝－和x2＝，当x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又由f(－)＝6＋2>0，f()＝－6＋2<0，所以∃a∈R，使得函数f(x)有三个零点，所以C正确； 由函数g(x)＝f(x)＋ax2＝x3＋ax2－(3a2－6a)x＋2，可得g′(x)＝3x2＋ax－(3a2－6a)，因为函数g(x)在x＝0处取得极小值，可得g′(0)＝3a2－6a＝0，解得a＝0或a＝2，当a＝0时，g′(x)＝3x2≥0，函数g(x)单调递增，没有极值点，所以D错误． 解析：因为f(2－t)＝f(t)＝f′(t)＝0，所以t是f(x)的零点也是极值点，2－t也是f(x)的零点．不妨设f(x)＝(x＋t－2)(x－t)2，故f′(x)＝(x－t)2＋2(x＋t－2)(x－t)＝(x－t)(x－t＋2x＋2t－4)＝(x－t)(3x＋t－4)．因为t∈(1,4)，所以<t，故当x>t或x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当<x<t时，f′(x)<0，f(x)单调递减，可得f(x)的极大值M＝f＝(t－1)3.因为t∈(1,4)，所以M＝(t－1)3∈(0,32)． (2)由题设f′(x)＝aex＋sin x在(－π，π)上有且仅有一个变号零点，所以a＝－在(－π，π)上有且仅有一个解．令h(x)＝－，则h′(x)＝＝，设t＝x－∈，故当t∈时，h′(x)>0，当t∈(－π，0)时，h′(x)<0，当t∈时， $$