第2章 第10节 函数的模型及其应用(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

函数的模型及其应用 第十节 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升” “指数爆炸”等术语的现实含义. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.几类函数模型 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调_____ 单调_____ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与_____平行 随x的增大，逐渐表现为与_____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 y轴 x轴 A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 发掘教材 1.(人A必修①P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　 ) √ 解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元). 2.(苏教必修①P150T2改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　 ) √ 3.(人B必修②P40例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是(　 ) A.f(x)>g(x)>h(x) 　 B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) 　 D.f(x)>h(x)>g(x) √ 解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 课堂·题点精研 02 题点一　已知函数模型解决实际问题(自主练通) √ √ 2.(2024·桂林一模)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化: 如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t分钟后的温度T满足T-Ta= (T0-Ta),h称为半衰期,其中Ta是环境温度.若Ta=25 ℃,现有一杯80 ℃ 的热水降至75 ℃大约用时1分钟,那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)(　 ) A.10分钟 B.9分钟 C.8分钟 D.7分钟 解析:将所给数据代入T-Ta=(T0-Ta)得,75-25=(80-25),即= =,所以===≈,当水温从75 ℃降至45 ℃时, 满足45-25=(75-25),可得t===≈,即t≈10分钟. √ 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 思维建模 题点二　构建函数模型解决实际问题 考法(一)　构建二次函数模型 例 1 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.某中学剪纸社团开展一个趣味比赛活动，要求在一个长为a(a>2)和宽为2的矩形的对角剪掉两个全等的等腰三角形，这两个等腰三角形的底边与矩形的边交于四点，以这四点为顶点构成四边形，将其剪下来,哪一位同学剪出的四边形面积最大则为冠军.若设等腰三角形的腰长为x，四边形面积为y. (1)写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域； (2)当x为何值时，四边形面积最大？并求出最大值. (2)由(1)知y=-2x2+(a+2)x=-2+. ①当<2且a>2,即2<a<6时, 函数y=-2x2+(a+2)x在上单调递增,在上单调递减, 所以当x=时,ymax=. ②当≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上单调递增,所以当x=2时, ymax=2a-4. 综上所述,①当2<a<6时,AE=,四边形面积y最大,最大值为; ②当a≥6时,AE=2,四边形面积y最大,最大值为2a-4. 考法(二)　构建分段函数模型 例 2 解：(1)因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 应用函数解决实际问题的3个步骤 思维建模 审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型 建模 将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型 解模 求解函数模型，得出数学结论 针对训练 √ 2.随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系.一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前3年平台会员的人数如下表所示(其中第4年为预估人数，仅供参考)： 建立平台第x年 1 2 3 4 会员人数y(千人) 14 20 29 43 (1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(千人),并求出你选择模型的解析式: ①y=+b(t>0),②y=d·logrx+s(r>0且r≠1),③y=m·ax+n(a>0且a≠1); (2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定无论怎样发展,会员人数不得超过k·(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值. 解:(1)从题表数据可以得知,函数单调递增,故不可能是①, ∵函数增长的速度越来越快,选择③y=m·ax+n(a>0且a≠1), 代入表格中的三个点可得 解得∴y=8·+2,x∈N*. (2)由(1)可知y=8·+2,x∈N*,故不等式8·+2≤k·对x∈[1,+∞) 恒成立,∴k≥+=2·+8·对x∈[1,+∞)恒成立. 令=t,则t∈, ∴g(t)=2t2+8t,t∈. ∵g(t)在单调递增,则g(t)≤g=,∴k≥, 故k的最小值为. 课时跟踪检测 03 1.某同学从家到学校需经过一处红绿灯，某天这位同学骑车上学，一路匀速行驶到红绿灯处正好遇上红灯，停留了90秒，然后加速行驶至学校.在这一过程中，该同学行驶的路程s与时间t的函数图象可能是(　 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析：这位同学骑车上学，开始时匀速行驶，其图象是过原点的一条斜线；遇上红灯，停留了90秒，其图象是平行于横轴的一条线段；然后加速行驶至学校，其图象是倾斜程度越来越大的曲线.由选项可知，B符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 3.(2024·湖南长沙雅礼中学模拟)函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如(　 ) x －2 －1 0 1 2 3 5 f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A．f(x)＝ka|x|＋b B．f(x)＝kxex＋b C．f(x)＝k|x|＋b D．f(x)＝k(x－1)2＋b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：由函数f(x)的数据可知，f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，偶函数满足此性质，可排除B、D； 当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，可排除C.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[多选]某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部正在研究如何定价.进一步调研了解到销售单价与日均销售量的关系如表： 2 3 4 销售单价/元 8 9 10 11 12 13 日均销售量/桶 240 220 200 180 160 140 已知该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为300元，每桶水的进价是5元，销售单价必须是整数.根据以上信息，下列说法正确的是(　 ) A.为使该经营部盈利，每桶水的售价不应低于7元 B.为使该经营部每天获得的利润不少于100元，每桶水的售价不应低于8元 C.为使该经营部获得的利润最大，每桶水的售价应该定为12元或13元 D.通过合理定价，该经营部每日获得的利润可达800元以上 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：根据表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少20桶.设每桶水的价格为(8＋x)元，公司日利润为f(x)元，则f(x)＝(8＋x－5)(240－20x)－300＝20[(3＋x)(12－x)－15]＝20(－x2＋9x＋21)，当每桶水定价低于7元，即x<－1时，有x≤－2，故f(x)≤f(－2)＝－20，故A正确； 当每桶水定价为7元，即x＝－1时，f(－1)＝220，故B错误； x＝4.5是f(x)的对称轴，距离4.5最近的整数是4和5，此时每桶水的售价是12元或13元，故C正确； 由f(4)＝f(5)＝820知D正确. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析:经过x天后,“进步”与“落后”的比≥10 000,所以≥ 10 000,两边取以10为底的对数得x·lg≥4,又lg 2≈0.301,lg 3≈0.477,所以x·(lg 3-lg 2)=x(0.477-0.301)=0.176x≥4,解得x≥≈22.73, 所以大约经过23天后,“进步”是“落后”的10 000倍. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 7.[多选]已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10－4.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表.若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1，p2，p3，则(　 ) 阶梯 平均海拔/m 第一级阶梯 ≥4 000 第二级阶梯 1 000～2 000 第三级阶梯 200～1 000 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在一般情况下，过江大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.设当车流密度x＝x0时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，则(　 ) A.x0＝100 B.x0＝120 C.f(x0)＝3 000 D.f(x0)＝6 000 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 9.某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________. [45,65] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：假设每件衬衫的售价是m元，则每天的销售量为80－m件(0<m≤80)，每天出售衬衫的净收入f(m)＝(80－m)(m－30)(0<m≤80)，令f(m)＝(80－m)(m－30)≥525,则m2－110m＋2 925≤0,(m－45)(m－65) ≤0，解得45≤m≤65. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.09 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) A.ln 2 B.ln 3 C. D. 解析：由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝. 1.(2024·北京西城一模)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)以及火箭(除燃料外)的质量N(kg)间的关系为v＝2ln.若火箭的最大速度为12 km/s，则下列各数与最接近的是(参考数据：e＝2.718 28…)(　 ) A.200 B.400 C.600 D.800 解析：由题意，火箭的最大速度为12 km/s时，可得12＝2ln，即＝e6－1，因为e＝2.718 28…，所以近似计算可得＝e6－1≈402，故选B. 3.里氏震级(M)是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅(A)和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅(A0)的常用对数演算而来的，其计算公式为M＝lg.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则≈(参考数据： ≈3.16)(　 ) A.25 B.31.6 C.250 D.316 解析：由题意得，5.5＝lg，3.0＝lg，从而＝105.5，＝103.0，因此＝＝102.5＝102×≈100×3.16＝316. 解：(1)如图所示，由等腰三角形的腰长为x，四边形面积为y，可得S△AEH＝S△CPQ＝x2， S△BPE＝S△DHQ＝(a－x)(2－x)， 所以y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BPE＝－2x2＋(a＋2)x， 因为所以0<x≤2，故y＝－2x2＋(a＋2)x，定义域为(0,2]. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4<x≤10时，y＝5－x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4) 所以其浓度为f(x)＝4y＝ 当0≤x≤4时，－4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4，当4<x≤10时，20－2x≥4，解得x≤8，此时4<x≤8，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时. (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，其浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝14－x＋－a－4， 因为14－x∈[4,8]，a∈[1,4]， 所以14－x＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4，当且仅当14－x＝，即x＝14－4∈[6,10]时，等号成立； 所以g(x)的最小值为8－a－4，由8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4， 所以a的最小值为24－16≈1.6. 1.某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为120吨(0≤t≤24).若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为(　 ) A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.9小时 解析：设蓄水池中的水量为y，则y＝400＋60t－120，0≤t≤24，设＝m∈[0,12]，t＝，则y＝400＋60·－120m＝10m2－120m＋400，令y<80，解得4<m<8，所以<t<，所以出现供水紧张的时长约为－＝8小时，故选C. 2.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足n≤log2.一张长边长为26 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸最多能对折的次数为(　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析：由题意得n≤log2＝log22 600.因为11<log22 600<12，所以<log22 600<8，故n≤7.故选B. 4.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y＝描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　 ) A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时 解析：由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200.因为y＝所以当0≤t≤12时，只需－10t＋290≤200，解得9≤t≤12，当12<t≤24时，只需56－24≤200，解得12<t≤16.综上，适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16，共计7个小时. 6.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10 000倍，大约需要经过(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 ) A.17天 B.19天 C.23天 D.25天 A.p1≤ B.p0<p3 C.p2≤p3 D.p3≤e0.18p2 解析：设在第一级阶梯某处的海拔为h1，则ln p0－ln p1＝10－4h1，即h1＝104ln.因为h1≥4 000，所以104ln≥4 000，解得p1≤，故A正确； 由ln p0－ln p＝kh，得ekh＝.当h>0时，ekh＝>1，即p0>p，所以p0>p3，故B错误； 设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则两式相减可得ln＝10－4(h2－h3).因为h2∈[1 000,2 000]，h3∈[200,1 000]，所以h2－h3∈[0,1 800]，则0≤ln≤10－4×1 800＝0.18，即1≤≤e0.18，故p2≤p3≤e0.18p2，故C、D均正确.故选ACD. 解析：设v(x)＝则当x＝200时，v(200)＝0，当x＝20时，v(20)＝90，即解得k＝－，m＝100，故f(x)＝x·v(x)＝当0<x≤20时， f(x)的最大值为x＝20时，f(20)＝1 800；当20≤x≤200时，f(x)＝x＝－x2＋100x，根据二次函数的对称轴方程为x＝100，得f(x)的最大值为x0＝100时，f(100)＝5 000. 10.为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为________s(小数点后保留两位有效数字).(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝v0t－gt2，其中g＝9.8 m/s2, ≈25.59) 解析：由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝v0t－gt2，因为v0＝12 m/s，所以h＝12t－×9.8t2.令h＝2，可得12t－×9.8t2＝2，即49t2－120t＋20＝0，所以t1＋t2＝，t1t2＝，所以|t1－t2|＝＝≈2.09 s.所以排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为2.09 s. 11.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为________万元. (参考数据：ln 3≈1.1，ln 2≈0.7) 解析：由题意得，当x＝9时，P＝50%，则＝50%，得e－0.9＋9k＝1，所以9k－0.9＝0，得k＝0.1，所以P(x)＝，当P＝40%时，＝40%，得3e－0.9＋0.1x＝2，所以e－0.9＋0.1x＝，所以－0.9＋0.1x＝ln＝ln 2－ln 3≈0.7－1.1，解得x＝5，所以当银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为5万元. 12.LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长.经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x，在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－39.每件产品售价为6元.假设该产品每年的销量等于当年的产量. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 解：(1)∵每件产品售价为6元，∴x万件产品的销售收入为6x万元.依题意得，当0<x<6时，L(x)＝6x－－4＝－x2＋5x－4， 当x≥6时，L(x)＝6x－－4＝35－. ∴L(x)＝ (2)当0<x<6时，L(x)＝－(x－5)2＋，当x＝5时，L(x)取得最大值.当x≥6时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15. ∵<15，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元. 1 $$