第2章 第9节 第2课时 函数零点的综合问题(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

函数与方程 第九节 第2课时 函数零点的综合问题 CONTENTS 目录 题点一　根据函数零点所在区间求参数 一 题点二　根据零点个数求参数范围 二 题点三　嵌套函数的零点问题 三 课时跟踪检测 四 (2023·阳泉三模)若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)存在零点，则实数m的取值范围是(　 ) A.(－∞，－5) B.(－5，－1) C.(1,5) D.(5，＋∞) 题点一　根据函数零点所在区间求参数 例 1 √ 例 2 √ 由函数零点所在区间求参数一般有2种方法 (1)利用函数零点存在定理：首先判断函数的单调性，然后利用函数零点存在定理求解. (2)数形结合法：构造两个函数，作出两函数的大致图象，数形结合法求解. 思维建模 针对训练 √ √ 解析：根据题意可得ax＝2x－6，故转化为函数y＝ax和y＝2x－6的图象在(1,2)内有交点,如图所示，易知y＝2x－6的图象的两个端点为(1，－4)和 (2，－2)，当y＝ax过点(1，－4)时，得a＝－4， 当y＝ax过点(2，－2)时，得a＝－1，所以a的 取值范围是(－4，－1). 题点二　根据零点个数求参数范围 例 3 √ 解析:选画出函数g(x)=的图象如图所示, 函数f(x)=可由g(x)= 分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,函数有两个零点;当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪. 例 4 √ 根据函数零点的个数求参数的范围的方法 思维建模 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解 针对训练 √ 方程x－5＝0的解为x＝5，方程x2－2x－3＝0的解为x＝－1或x＝3.①当m>5时，函数f(x)恰有2个零点－1,3；②当－1<m≤3时，函数f(x)恰有2个零点－1,5.则实数m的取值范围是(－1,3]∪(5，＋∞).故选A. [0,1) 解析：画出f(x)的图象如图所示，g(x)＝f(x)－k＝0，f(x)＝k，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图可知，k的取值范围是[0,1). 题点三　嵌套函数的零点问题 例 5 √ 解析：令f(x)＝t，则f(t)＝1. ①当t≤2时，2|t|－1＝1，∴2|t|＝2，∴|t|＝1，即t＝±1. 画出函数f(x)的图象，如图所示，若t＝－1，即f(x)＝－1，无解； 若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f(x)的图象有3个交点，即f(f(x))＝1有3个不同实根； 若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f(x)的图象有2个交点，即f(f(x))＝1有2个不同实根. 综上所述，方程f(f(x))＝1的实数根的个数为5，故选B. 例 6 √ 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(2a-1) f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　 ) A.(-1,1] B.(-1,0] C.[0,1] D.[-1,1] 一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析. 思维建模 针对训练 √ 解析：由题目给出的f(x)的解析式和奇偶性可得f(x)的图象如图，令t＝f(x)，则原方程可化为t2＋at－1＝0，其判别式Δ＝a2＋4>0，故该方程有两个不相等的非零实根t1，t2，且t1t2＝－1，不妨设t1>t2. ①若t1>1时，t1＝f(x)有1解，此时－1<t2<0，t2＝f(x)有3解，所以原方程有4解； ②若t1＝1时，t1＝f(x)有2解，此时t2＝－1，t2＝f(x)有2解，所以原方程有4解； ③若0<t1<1时，t1＝f(x)有3解，此时t2<－1，t2＝f(x)有1解，所以原方程有4解. 综上所述，方程解的个数为4，故选C. √ 解析：当a≥0时，f(x)的大致图象如图1，此时令f(f(x))＝0，可得f(x)＝1，观察图象可解得x＝0或x＝2，即方程有2个根，则此时y＝f(f(x))只有2个零点，不合题意；当a<0时， f(x)的大致图象如图2，此时令f(f(x))＝0，可得f(x)＝1或f(x)＝a，由图易知f(x)＝a恰有一根，则需满足f(x)＝1有两根，而x＝0和x＝2 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：当x≥1时，f(x)的零点为1，则x<1必有一个零点，y＝2x－a为一次函数，单调递增，故需2－a>0，即a<2.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由f(4－x)＝(4－x)2－4(4－x)＋a[e2(4－x)－4＋e4－2(4－x)]＝x2－4x＋a(e4－2x＋e2x－4)＝f(x)，得函数f(x)的图象关于x＝2对称，要使函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一的零点，则f(2)＝0，即4－8＋2a＝0，得a＝2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 4.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的零点为α，β，那么a，b，α，β的大小关系可能是(　 ) A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由f(x)＝(x－a)·(x－b)－2的零点为α，β，则f(α)＝0，f(β)＝0，令g(x)＝(x－a)·(x－b)，则g(a)＝0，g(b)＝0，而f(x)＝g(x)－2，则其图象可由g(x)＝(x－a)(x－b)的图象向下平移2个单位长度得到，故可作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象如图，由此可知a，b应介于α，β两数之间，结合选项可知可能的结果为α<a<b<β，故B、C、D错误，A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 6.设b是常数，若函数f(x)＝(x－1)(bx2－2x＋b)不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为(　 ) A.b>1或b<－1 B.0<b<1 C.1 D.－1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：令f(x)＝(x－1)(bx2－2x＋b)＝0，即x－1＝0或bx2－2x＋b＝0.显然x＝1是y＝f(x)的一个零点.下面讨论bx2－2x＋b＝0的根的情况：(1)b＝0时，x＝0.不符合题意.(2)b≠0时，Δ＝22－4b2：①若Δ<0时，有b>1或b<－1，此时bx2－2x＋b＝0没有实数根，符合题意；②若Δ＝0时，有b＝1或b＝－1，若b＝1，x2－2x＋1＝0的根为x＝1，所以f(x)＝(x－1)(bx2－2x＋b)有一个零点，符合题意； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若b＝－1，x2＋2x＋1＝0的根为x＝－1，所以f(x)＝(x－1)(bx2－2x＋b)有两个零点，不符合题意；③若Δ>0时，有0<b<1或－1<b<0，此时bx2－2x＋b＝0有两个实数根，要使函数f(x)＝(x－1)(bx2－2x＋b)不可能有两个零点，只需x＝1不是bx2－2x＋b＝0的根，所以b－2＋b≠0，即b≠1，符合题意.故选D. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　 ) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1， 设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”， 根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2，作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由题意，得f(－4)＝－16＋16＋2＝2，f(f(－4))＝f(2)＝4－8＋6＝2，即选项A正确； 当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，即选项B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 在同一直角坐标系中作出y＝f(x)和y＝a的图象(如图所示)，由图象，得当2<a<6时，y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点，即方程f(x)＝a有四个解，则a∈(2,6)，即选项D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 11.[多选]已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则下列结论正确的是(　 ) A.m的取值范围为(0,1) B.x3的取值范围为[2,+∞) C.+=2 D.的最大值为1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:函数f(x)=图象如图所示, 由图可得0<m<1,A正确; 当=1时,x=2, 故x3>2,B错误; 又|-1|=|-1|,且x1<0<x2<1,故-(-1)=-1,可得+=2,C正确; 又2=+≥2,可得≤1,又x1≠x2,故等号不成立, 即<1,D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13.若函数f(x)＝3|x|－m|x|＋m2－2(x∈R)有唯一零点，则实数m的值为________. ±1 解析：∵x∈R，f(－x)＝3|－x|－m|－x|＋m2－2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，根据偶函数的性质，可得f(0)＝0,30＋m2－2＝0，解得m＝±1.当m＝1时，此时f(x)＝3|x|－|x|－1，有唯一零点；当m＝－1时，此时f(x)＝3|x|＋|x|－1，也有唯一零点.故m＝±1时有唯一零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (14,15) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 解析：由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增.因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)存在零点，所以即解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1). 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是(　 ) A．(7，＋∞) 　　 B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) D．(－1,7) 解析：∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，∴只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1<a<7. 1.函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：当a＝0时，f(x)＝3，不合乎题意.当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上单调递增，此时函数f(x)在上单调递增.当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上单调递减，此时函数f(x)在上单调递减.因为函数f(x)在区间上有零点，则ff(1)<0，即3(4a＋3)<0，解得a<－. 2.已知关于x的方程ax＋6＝2x在区间(1,2)内有解，则实数a的取值范围是(　 ) A.(－4，－1) B.[－4，－1] C. D. (2024·北京西城一模)设c∈R，函数f(x)＝ 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　 ) A.(0,1) B.{0}∪[1，＋∞) C. D.{0}∪ (2024·自贡模拟)设函数f(x)＝＋x2－4x有唯一的零点，则实数m为(　 ) A.2 B. C.3 D. 解析：令t＝x－2，则g(t)＝(3t＋3－t)＋t2－4，因为g(－t)＝(3－t＋3t)＋(－t)2－4＝(3t＋3－t)＋t2－4＝g(t)，所以函数g(t)是偶函数.因为函数 f(x)有唯一的零点，所以函数g(t)有唯一的零点.则g(0)＝0，即(1＋1)＋0－4＝0，解得m＝. 3.已知函数f(x)＝恰有2个零点，则实数m的取值范围是(　 ) A.(－1,3]∪(5，＋∞) B.[－1,3)∪[5，＋∞) C.[－1，＋∞) D.(5，＋∞) 解析：由题意，函数f(x)＝的图象，如图所示. 4.(2024·海淀模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________. 已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1的实数根的个数为 (　 ) A.7 B.5 C.3 D.2 ②当t>2时，＝1，∴t＝3. 解析：由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，则f(x)＝1－a或f(x)＝－a.作出函数f(x)的图象如图所示,因为关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根,所以 或解得－1<a≤1，所以实数a的取值范围为(－1,1]. 5.(2024·成都模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上的解析式为 f(x)＝则关于x的方程[f(x)]2＋af(x)－1＝0的解的个数可能为(　 ) A.2或4或5或6 B.2或4或6 C.4 D.6 6.(2023·杭州二模)设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝ f(f(x))恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　 ) A.(－2,0) B.(0,1) C.[－1,0) D.(0,2) 均为f(x)＝1的根，则需满足x<0时，f(x)max<1，又x<0时f(x)＝－x2＋ax的对称轴为x＝，则f(x)max＝f＝<1，解得－2<a<2，则－2<a<0.综上，a的取值范围为(－2,0). 1.若f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－2,1)，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：因为f(x)＝x＋2x＋a在R上单调递增，且零点所在的区间为(－2,1)，所以只需f(－2)f(1)<0，即(a＋1＋2)<0，解得－3<a<. 2.已知函数f(x)＝恰有2个零点，则a的取值范围是(　 ) A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] 3.若函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一零点，则实数a＝(　 ) A.2 B. C.4 D.1 5.若函数f(x)＝恰有2个零点，则a的取值范围是 (　 ) A.(－∞，1) B.(0,2) C.(0，＋∞) D.[1,2) 解析：因为f(x)＝x(x－a)，x≥1至多有一个零点，单调函数f(x)＝2x－a，x<1至多有一个零点，而函数f(x)＝恰有2个零点， 所以需满足f(x)＝x(x－a),x≥1有1个零点,f(x)＝2x－a，x<1有1个零点,所以解得1≤a<2，故选D. 7.(2024·保定期末)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a(a∈R)有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则(x1＋x2)x4的取值范围是(　 ) A.[－4，－2) B.[－4，－2] C.(－4，－2) D.(－4，－2] 解析：由题意作函数f(x)＝与y＝a的图象如图，∵方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，∴x1，x2关于x＝－1对称，即x1＋x2＝－2.由|log2x|＝1得x＝2或x＝，则1<x4≤2，故－4≤(x1＋x2)x4<－2，故选A. 解析：令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a.由t2＋(a－2)t－2a＝0，得t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a<2，即－2<a<－1. 9.对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　 ) A.[2,4] B. C. D.[2,3] 因为g(－1)＝4，要使函数g(x)的零点在区间[0,2]内，则即解得2≤a≤3. 10.[多选]已知f(x)＝则下列说法不正确的是(　 ) A.f(f(－4))＝2 B.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C.若f(a)＝3，则a＝1或a＝3 D.若关于x的方程f(x)＝a有4个解，则a∈[2,6] 由f(a)＝3，得或解得a＝1或a＝3或a＝－2±，即选项C错误； 12.函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)－a＋3＝0有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是(　 ) A.(1,2) B.(2,3) C. D. 解析：由题设，f(x)图象如图所示， 令t＝f(x)，要使原方程有6个不同的实数解，则t2－at－a＋3＝0有两个不同实根t1，t2且t1<t2.若t1＝0，则－a＋3＝0，则a＝3，此时t2－3t＝0，t2＝3，显然此时不合题意，故由图知0<t1<1<t2<2，即g(t)＝t2－at－a＋3的两个零点分别在区间 (0,1)和(1,2)内，而g(t)图象开口向上，故⇒2<a<. 14.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有两个零点，则实数a的取值范围是____________. 解析：由题设y＝a与y＝f(x)有两个交点，根据f(x)的解析式，可得其图象如图所示，当x≤1时，f(x)∈；当x>1时，f(x)∈(0，＋∞).要使y＝a与f(x)有两个交点，则a≥. 15.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______________. (0,4－2) 解析：设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)，方程f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根， 如图作出函数y＝f(x)的图象,结合函数图象，则a>0，所以直线y＝a(x＋3)与曲线y＝－x2－2x，x∈(－2,0)有两个不同的公共点，所以x2＋(2＋a)x＋3a＝0在 (－2,0)有两个不等实根，令g(x)＝x2＋(2＋a)x＋3a，实数a满足解得0<a<4－2. 16.已知函数f(x)＝若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是__________. 解析：作出函数f(x)＝的图象，由图知当x＝5时，f(5)＝－52＋10×5－20＝5，f(x)＝x＋在(0,2)上单调递减， 在(2,4)上单调递增，f(2)＝4，令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，由图可得4<m<5，因为x＋＝m即x2－mx＋4＝0，所以x1＋x2＝m，因为函数f(x)＝－x2＋10x－20的对称轴为x＝5，所以x3＋x4＝10，所以x1＋x2＋x3＋x4＝m＋10∈(14,15). $$