第2章 第7节 对数与对数函数(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

对数与对数函数 第七节 学习目标 1.理解对数的概念与运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.对数的概念 定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中___叫做对数的底数，___叫做真数 性质 loga1＝___，logaa＝___，logaax＝___，其中a>0，且a≠1；负数和0没有对数 x＝logaN a N 0 1 x 2.对数的运算 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 3.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质   0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 ___________ (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点_____，即x＝1时，y＝0 当x>1时，_____； 当0<x<1时，_____ 当x>1时，_____； 当0<x<1时，_____ 在(0，＋∞)上是_______ 在(0，＋∞)上是_______ (1,0) y<0 y>0 y>0 y<0 减函数 增函数 续表 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线______对称. y＝x 微点提醒 1.换底公式的变形 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R); (3)logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M >0). 拓展教材 (常见结论及应用) 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 3.对数恒等式 =N(a>0且a≠1,N>0). 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) √ 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1.(湘教必修①P126T17)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　 ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 解析:函数y=10lg x的定义域和值域都为(0,+∞),只有选项D符合题意. √ 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a＝log0.90.8，b＝log0.80.9，c＝1.41.9，则(　 ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a √ 解析：因为a＝log0.90.8>log0.90.81＝2，b＝log0.80.9<log0.80.8＝1，所以a>2>1>b.因为c＝1.41.9<1.42＝1.96<2，故1<c<2.故选D. 3.(人A必修①P132“探究结论”的应用:同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分远离y轴的对数函数的底数越大) 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　 　.  ,,, 4.(人A必修①P127T7 lobn=logab结论的应用)计算:log89×log2732= 　.  解析:原式=lo32×lo25=log23×log32=. B组——迷点盲点的澄清训练 解析:当0<a<1时,loga<logaa=1,所以0<a<;当a>1时,loga<logaa=1,所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是∪(1,+∞). 2.(忽略对数函数的定义域)已知log0.72m<log0.7(m－1)，则实数m的取值范围是___________. (1，＋∞) 课堂·题点精研 02 题点一　对数的运算(自主练通) √ 1.已知a>1,化简+,其结果为(　 ) A. B.4 C.5 D.7 解析:+=+=+3=5. √ 2.(2024·天津模拟)已知2a=15,log83=b,则2a-3b= (　 ) A.25 B.5 C. D. 解析:由题意可得2a=15⇒a=log215,b=log83=lo3=log23,所以a-3b= log215-3×log23=log215-log23=log2=log25,所以2a-3b==5. 3.(2024·武汉调研)已知ab≠1,logam=2,logbm=3,则logabm= (　 ) A. B. C. D. 解析:a2=m,则a=,b3=m,则b=,ab==,logabm=,选D. √ √ 对数式化简与求值的策略 思维建模 策略一 将真数化为底数的指数幂的形式进行化简 策略二 将同底对数的和、差、倍合并 策略三 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 策略四 利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1 题点二　对数函数的图象及其应用 例 1 在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　 ) √ 解析:对于A、B,若y=a-x=图象正确,则0<a<1,∴y=logax+a单调递减,又x=1时,y=loga1+a=a>0,A正确,B错误; 对于C、D,若y=a-x=图象正确,则a>1,∴y=logax+a单调递增,C、D错误. 已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　 ) A.(4，＋∞) B.[4，＋∞) C.(5，＋∞) D.[5，＋∞) 例 2 √ (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于较复杂的对数等式或不等式问题可借助函数图象解决，具体步骤如下： ①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)； ②在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及函数y＝g(x)的图象； ③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况. 思维建模 1.(2024·长沙期中)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　 ) 针对训练 √ 解析：∵|x|≥0，且y＝a|x|的值域为[1，＋∞)，∴a>1.当x>0时，y＝loga|x|＝logax在(0，＋∞)上单调递增.又函数y＝loga|x|＝loga|－x|，∴y＝loga|x|为偶函数，图象关于y轴对称，∴y＝loga|x|的大致图象应为选项A. 2.(2024·顺义模拟)已知函数f(x)＝log2x－(x－1)2，则不等式f(x)<0的解集为(　 ) A.(－∞，1)∪(2，＋∞) 　 B.(0,1)∪(2，＋∞) C.(1,2) 　 D.(1，＋∞) √ 题点三　对数函数的性质及其应用 √ 考法(一)　比较大小 例 3 例 4 √ 已知a=,b=log2,c=,则(　 ) A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 解析:利用函数的单调性,对比出a,b,c三者与特殊值0,1的大小关系,运用中间值法解决问题.因为函数y=3x为增函数,所以a=>30=1,即a>1;因为y=log2x为增函数,所以b=log2<log21=0,即b<0;因为y=lox为减函数,所以lo1<lo<lo,即0<c<1,故a>c>b. 比较对数函数值大小的方法 思维建模 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 考法(二)　解简单对数不等式 例 5 已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________. 解析:原不等式⇔①或② 解不等式组①得<x<,不等式组②无解,所以实数x的取值范围是. 例 6 不等式lo(+1)-lo(-1)<-的解集是　 　　　.  常见的对数不等式的类型及解题方法 (1)解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，常借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)解形如logaf(x)>b的不等式，应先将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解. (3)解形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零. 思维建模 考法(三)　对数函数性质的综合应用 例 7 (2024·邯郸一模)[多选]已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　 ) A.f(x)的定义域是(－6,4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D.f(x)在[0,4]上单调递增 √ √ f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确； 因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误； 因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误. 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行. (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性. 思维建模 3.(2023·九江三模)已知a＝20.2，b＝log0.20.5，c＝log20.2，则(　 ) A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 针对训练 √ 解析：∵a＝20.2>20＝1,0＝log0.21<b＝log0.20.5<log0.20.2＝1，c＝log20.2<log21＝0，∴a>b>c. (2，＋∞) 5.已知函数f(x)＝loga(2－a2x)在区间[3,7]上单调递增，则a的取值范围为__________. 特训·微专题强化 03 例 1 方法(一)　以0,1为中间值法 已知a＝30.2，b＝20.3，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系为(　 ) A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.a＜b＜c √ 指、对、幂比较大小的方法 解析：∵a＝90.1，b＝80.1，∴90.1＞80.1＞0，又∵c＝log0.23＜log0.21＝0，故a＞b＞c.故选A. 例 2 √ 已知a=0.,b=20.2,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 解析:因为y=0.3x在R上为减函数,且>0.2>0,所以0.<0.30.2<0.30,即0.<0.30.2<1.因为y=2x在R上为增函数,且0.2>0,所以20.2>20=1,所以0.<0.30.2<1<20.2,所以b>c>a.故选C. [微点拨] 因为幂、指、对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1(或者－1)比较大小.　　 例 3 方法(二)　作差比较法 已知20a＝22,22b＝23，ac＝b，则a，b，c的大小关系为(　 ) A.c＞a＞b B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.a＞b＞c √ 解析:分别对20a=22,22b=23,ac=b两边取对数,得a=log2022,b=log2223, c=logab.a-b=log2022-log2223=-=. 由基本不等式,得lg 20·lg 23<=<= =(lg 22)2, 所以(lg 22)2-lg 20·lg 23>0,即a-b>0, 所以a>b>1. 又c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选D. 微点拨 (1)一般情况下，作差，可处理底数不一样的对数比大小． (2)作差的难点在于后续变形处理，注意恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或计算化简，或放缩为具体值，准确计算找对变形方向． 方法(三)　做商比较法 例 4 已知a＝log0.20.3，b＝log0.30.2，c＝log23，则a，b，c的大小关系为(　 ) A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.a＜c＜b √ 解析:由题意,知0<a=log0.20.3<1,b=log0.30.2>1,c=log23>1,且=log0.30.2·log32=·=. 因为函数f(x)=x2-x=-在上单调递减,且f(0)=0,且>lg 3>lg 2>0, 所以f(lg 3)<f(lg 2)<0,所以<1,即<1,所以<1,即b<c,故a<b<c.故选C. 例 5 √ 已知a=20.4,b=,0.7c=0.5,则实数a,b,c的大小关系为(　 ) A.c>a>b B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a 解析:易知a=20.4<20.5=,====>1, 所以>a>b.因为0.72<0.5<0.,所以由0.7c=0.5,得0.72<0.7c<0.,所以<c<2,所以a<c.所以实数a,b,c的大小关系为c>a>b.故选A. 例 6 方法(四)　图象交点比较大小 已知正实数a，b，c满足ec＋e－2a＝ea＋e－c，b＝log23＋log86，c＋log2c＝2，则a，b，c的大小关系为(　 ) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a √ 解析：ec＋e－2a＝ea＋e－c⇒ec－e－c＝ea－e－2a，故令f(x)＝ex－e－x，则f(c)＝ec－e－c，f(a)＝ea－e－a. 作出函数y＝log2x与函数y＝2－x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1＜c＜2，∴c＜b，∴a＜c＜b. 利用幂指对与一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、对勾函数等函数图象，寻找函数图象的交点以比较大小.　　 微点拨 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1.-(-10)0+·(2)的值等于(　 ) A.-2 B.0 C.8 D.10 解析:-(-10)0+·(2)=3-1+(-2)×2=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2.若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　 ) A.－1 B.1 C.2 D.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 3.已知函数f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)，则(　 ) A.f(x)有最小值，且最小值为－2 B.f(x)有最小值，且最小值为－1 C.f(x)有最大值，且最大值为－2 D.f(x)有最大值，且最大值为－1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)＝log0.5[(x2－2)2＋2]≤log0.52＝－1，所以f(x)有最大值，且最大值为－1，但无最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 4.设a=5-0.7,b=lo,c=lg ,则这三个数之间的大小关系是(　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 解析:结合函数y=5x,y=lox,y=lg x的图象易知0<a=5-0.7<50=1,b= lo>lo=1,c=lg <lg 1=0,所以b>a>c.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c是常数， 其中a>0且a≠1)的大致图象如图所示， 下列关于a，c的表述正确的是(　 ) A.a>1，c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1，c>1 D.0<a<1,0<c<1 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：由题图可以看出0<a<1，logac>0，loga(1＋c)<0，故得0<c<1,0<a<1，故选D. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 6.已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　 ) A.(－1,1) B.(0,1) C.(－1,0) D.∅ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 7.已知函数f(x)=(x2-ax+4a)在区间[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　 ) A.(-2,4] B.[-2,4) C.(-∞,4] D.[4,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:函数y=x在区间[2,+∞)上单调递减,要使得函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递减,则g(x)=x2-ax+4a在区间[2,+∞)上单调递增,对称轴为x=,则⇒⇒-2<a≤4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 8.已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是___________. (4，－1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 10.已知实数a>0，且满足53a＋2>54a＋1，则不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x) 的解集为________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，其中a>0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若a>1，解关于x的不等式f(x)>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)的定义域(－1,1)关于原点对称， 又f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数. (2)当a>1时，由f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)>0可得loga(x＋1)>loga(1－x)， 所以x＋1>1－x>0，故0<x<1，故不等式的解集为(0,1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知f(x)＝loga(ax－2)(其中a>0且a≠1). (1)若a＝2，f(x)<2，求实数x的取值范围； (2)若x∈[4,6]，f(x)的最大值大于1，求a的取值范围. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解：(1)当a＝2时，f(x)＝log2(2x－2)<2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13.已知a＝log32，b＝log43，c＝log54，则(　 ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:由题意显然a,b,c均大于0,所以=log32×log34<= ,又因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以有0=log31<log38< log39=2,所以<<=1,所以a<b.同理可得=log43×log45< =,又因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以有0=log41<log415<log416=2,所以<<=1,所以b<c,综上所述,a<b<c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:若m>,则Δ=1-4m<0,则二次函数y=x2+x+m的图象恒在x轴的上方,即x2+x+m>0恒成立,所以f(x)的定义域为R,故A正确; 若m=0,则f(x)=ln(x2+x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞),值域为R,没有最小值,故B错误; 由于函数y=ln为偶函数,其图象关于y轴对称,将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)=ln= ln(x2+x+m)的图象,此时对称轴为直线x=-,故C正确; 若m≥1,则y=x2+x+m=+m-≥,故f(x)的值域不是R,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝log2(2x＋1)－kx，g(x)＝f(x)＋2x. (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式g(4x－a·2x＋1)>g(－15)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设h(x)＝x2－2mx＋5，若存在x1∈[0,2]，对任意的x2∈[1,4]，都有g(x1)≤h(x2)，求实数m的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (3)因为存在x1∈[0,2]，对任意的x2∈[1,4]，都有g(x1)≤h(x2)， 所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 当1<m<4时，h(x)在[1，m)上单调递减，在[m,4]上单调递增， h(x)min＝h(m)＝5－m2≥1，解得1<m≤2； 综上，实数m的取值范围是(－∞，2]. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)＝_____________；loga＝_____________； logaMn＝________(n∈R) 换底公式 logab＝______ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象. (3)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性.因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. 考题品悟 (2021·新课标Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是( ) A.c<b<a　　　 B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 追根溯源 (人A必修①P141T13)比较下列各题中三个值的大小： (1)log0.26，log0.36，log0.46； (2)log23，log34，log45. 发现启迪 高考题是教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. 解析：当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0<a<1时，对数函数y＝logax的图象是下降的.对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向，故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，. 1.(忽视对底数的讨论)若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是_______________________. ∪(1，＋∞) 解析：∵log0.72m<log0.7(m－1)，∴解得m>1. 4．(2024·咸阳模拟)著名的本福特定律：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数，也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”．意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d＝1,2,3，…，9)的概率为lg.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 ) A．2.9 B．3.8 C．4.5 D．6.5 解析：根据题意，首位数字是1的概率P1＝lg(1＋1)＝lg 2，首位数字是9的概率P2＝lg＝lg＝1－2lg 3，故＝≈＝≈6.5.故选D. 解析：由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|.如图，根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b,0<a<1<b，所以＝b.令g(b)＝a＋4b＝4b＋，根据对勾函数的图象与性质易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5.故a＋4b>5，故选C. 解析：由题意不等式f(x)<0，即log2x－(x－1)2<0，等价于log2x<(x－1)2 在(0，＋∞)上的解集，令g(x)＝log2x，h(x)＝(x－1)2，则不等式为g(x)<h(x)，在同一直角坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2，＋∞)，故选B. (2024·长沙模拟)已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝，则(　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 解析：因为a＝log21.8＝log41.82，所以a－b＝log41.82－log43.6＝log4<log41＝0，所以a<b.因为a＝log21.8>log2＝＝c，所以a>c.所以b>a>c. (1,17＋12) 解析:因为lo(+1)-lo(-1)<-可化为lo<-⇒>⇒ 1<<3+2,所以x∈(1,17+12),即原不等式的解集为(1,17+12). 解析：由题意可得解得－6<x<4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确； 4.已知对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，且loga<loga，则关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为_____________. 解析：因为loga<loga，当0<a<1时，则有>，无解；当a>1时，则有<，解得a>1，所以a>1，则对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，又关于x的不等式loga(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为(2，＋∞). 解析：令u(x)＝2－a2x(a>0)，则u(x)＝2－a2x(a>0)在[3,7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y＝logau在[3,7]上单调递减， 则解得0<a<，即a的取值范围为. ∵e－2a＜e－a，故由题可知，ec－e－c＝ea－e－2a＞ea－e－a，即f(c)＞f(a)，则c＞a＞0. 易知y＝－e－x＝－和y＝ex均在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 易知b＝log23＋log2＝log23＞2，log2c＝2－c， 解析：不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 9.函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为______. － 解析：函数定义域是(0，＋∞)，log2x∈R，f(x)＝log2·log4(4x2)＝(log2x－2) (1＋log4x2)＝(log2x－2)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝2－， 所以x＝时，f(x)min＝－. 解析：由实数a>0，且满足53a＋2>54a＋1，根据指数函数的单调性， 可得3a＋2>4a＋1，解得0<a<1，所以函数y＝logax为单调递减函数，则由不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)，可得解得<x<. 综上，不等式的解集为. 即有log2(2x－2)<log24，所以解得1<x<3, 故实数x的取值范围是(1,3). (2)因为a>0，则x∈[4,6]时，4a－2≤ax－2≤6a－2.当a>1时，则f(x)max＝loga(6a－2)>1，解得a>1；当0<a<1时，则f(x)max＝loga(4a－2)>1，解得<a<.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞). 14.(2024·广东模拟)[多选]已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则(　 ) A.当m>时，f(x)的定义域为R B.f(x)一定存在最小值 C.f(x)的图象关于直线x＝－对称 D.当m≥1时，f(x)的值域为R 15.(2024·绵阳期末)已知函数f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)的定义域为[m，n](0<m<n)，值域为[0,1].若n－m的最小值为，则实数a的值为(　 ) A. B. C.或 D.或 解析：当a>1时，作出f(x)的大致图象如图1所示，∵f(1)＝0，f＝f(a)＝1，∴由图1可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为， ∴n－m的最小值为1－＝，∴a＝.当0<a<1时，作出f(x)的图象如图2所示. ∵f(1)＝0，f＝f(a)＝1，∴由图2可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为[a,1]，∴n－m的最小值为1－a＝，∴a＝.综上，选C. 易错防范 不要忘了对底数a进行分类讨论. 易错再练 已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________. 解：(1)由题意知log2(2－x＋1)＋kx－log2(2x＋1)＋kx＝0，即－2kx＝log2＝－x，所以k＝，故f(x)＝log2(2x＋1)－x. (2)由(1)知，g(x)＝f(x)＋2x＝log2(2x＋1)＋x，易知g(x)在R上单调递增， 所以不等式g(4x－a·2x＋1)>g(－15)恒成立，等价于4x－a·2x＋1>－15，即a<恒成立. 又＝2x＋≥8，当且仅当x＝2时，等号成立，所以a<8，即实数a的取值范围是(－∞，8). 因为g(x)＝log2(2x＋1)＋x在[0,2]上单调递增，所以当x∈[0,2]时，g(x)min＝g(0)＝1. h(x)＝x2－2mx＋5图象的对称轴方程为x＝m，x∈[1,4]，当m≤1时，h(x)在[1,4]上单调递增，h(x)min＝h(1)＝6－2m≥1，解得m≤，所以m≤1； 当m≥4时，h(x)在[1,4]上单调递减，h(x)min＝h(4)＝21－8m≥1，解得m≤，所以m∈∅. $$