第2章 第4节 函数性质的综合应用(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

函数性质的综合应用 第四节 CONTENTS 目录 题点一　函数的单调性与奇偶性相结合 一 题点二　函数的奇偶性与对称性相结合 二 题点三　函数的周期性与奇偶性相结合 三 题点四　函数性质的综合应用 四 课时跟踪检测 五 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex＋x2＋x，则不等式f(2－a)＋f(2a－3)>0的解集为(　 ) A.(－1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，1) 例 1 √ 题点一　函数的单调性与奇偶性相结合 解析：当x>0时，f(x)＝ex＋x2＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，而f(0)＝0，当x>0时，f(x)>f(0)＝1，当x<0时，f(x)<－1，故f(x)在R上单调递增.原不等式可化为f(2－a)>－f(2a－3)，即f(2－a)>f(3－2a)，所以2－a>3－2a，故a>1.故选B. 规律结论：(1)若奇函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)在[－b，－a]上也具有单调性，且单调性相同； (2)若偶函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)在[－b，－a]上也具有单调性，且单调性相反. 例 2 √ 已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,则 (　 ) A.f<f<f B.f<f<f C.f<f<f D.f<f<f 解析:因为偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f=f,f=f. 又=log46,=log45, 所以>>1,又<1, 所以f>f>f, 即f<f<f.故选B. 奇偶性与单调性综合的2种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小. (2)抽象不等式问题，解题步骤是： ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题. 思维建模 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，则(　 ) A.f(f(2))>f(f(3)) 　 B.f(g(2))<f(g(3)) C.g(g(2))>g(g(3)) 　 D.g(f(2))<g(f(3)) 针对训练 √ 解析：因为f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，f(x)在(－∞，0]上单调递增，对于A，f(2)>f(3)，但无法判断f(2)，f(3)的正负，故A不正确； 对于B，g(2)>g(3)，但无法判断g(2)，g(3)的正负，故B不正确； 对于C，g(2)>g(3)，g(x)在R上单调递减，所以g(g(2))<g(g(3))， 故C不正确； 对于D，f(2)>f(3)，g(x)在R上单调递减，g(f(2))<g(f(3))，故D正确. 2.已知函数f(x)=若∀x∈[2-t,2+t]都有f(x)+f(t2-2x)≥ 0成立,则实数t的取值范围是(　 ) A.(-∞,-2]∪[1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.[2,+∞) √ 解析:当x>0时,则-x<0,f(-x)=-+1=-2x+1=-f(x);当x<0时,则-x>0, f(-x)=2-x-1=-1=-f(x).又f(0)=20-1=0,所以f(x)为奇函数.当x>0时, f(x)=2x-1单调递增,又f(x)为奇函数,所以f(x)在R上单调递增.由f(x)+ f(t2-2x)≥0,得f(x)≥-f(t2-2x)=f(-t2+2x),所以x≥-t2+2x,即x≤t2在∀x∈ [2-t,2+t]上恒成立,即解得t≥2. 题点二　函数的奇偶性与对称性相结合 例 3 √ (2023·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　 ) A.5 B.1 C.－1 D.－5 解析：因为g(x)的图象关于x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，且g(x＋2)＝|x|f(x＋2)，所以|x|f(2－x)＝|x|f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此g(3)＝|3－2|f(3)＝f(1)＝1. 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之，要充分利用已知条件进行适当转化. 思维建模 3.设函数 f(x)＝ax3－x－3＋a，若函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，则a＝(　 ) A.－1 B.0 C.1 D.2 针对训练 √ 解析：因为函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，故f(－x)＋f(x)＝a(－x)3－(－x)－3＋a＋ax3－x－3＋a＝2a＝0，所以a＝0. 4.(2024·抚顺模拟)函数y＝f(2x－1)是R上的奇函数，函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)图象关于y＝－x对称，则g(x)＋g(－x)＝(　 ) A.0 B.－1 C.2 D.1 √ 解析：函数y＝f(2x－1)是R上的奇函数，则－f(－2x－1)＝f(2x－1)，设2x－1＝t，则f(t)＝－f(－2－t)，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1,0)对称，函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)图象关于y＝－x对称，所以函数y＝g(x)的图象关于(0,1)对称，所以g(x)＋g(－x)＝2. 题点三　函数的周期性与奇偶性相结合 例 4 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 025)等于(　 ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 √ 解析：依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 025)＝f(－3＋507×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2. (2024·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，有以下4个结论：①f(x)＝f(x－16)；②f(11)＝0；③f(2 024)＝f(0)；④f(2 023)＝f(3).其中，正确结论的个数为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 例 5 √ 解析：因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(1＋2x)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x).因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(－x－2)＝－f(x)＝－f(2－x)，即f(x－2)＝－f(2＋x)，则f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是8.则f(x)＝f(x－16)成立，故①正确；令x＝0， 由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－1)＝－f(－1)，得f(－1)＝0，f(3)＝0，则f(11)＝f(3)＝0，故②正确；f(2 024)＝f(8×253＋0)＝f(0)成立，故③正确；f(2 023)＝f(8×253－1)＝f(－1)＝f(3)成立，故④正确. 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 思维建模 针对训练 5.(2024·湖州模拟)[多选]函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　 ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4) √ √ 解析：∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).∴f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数.∵f(－x－1)＝f(x－1)，∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数. √ 题点四　函数性质的综合应用 例 6 √ 例 7 √ 解析：由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x).在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)　①，y＝f(x)为偶函数.在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2　②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2) 解决此类问题的难点在于推出函数的周期性并能应用.事实上，对于函数的对称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个. 思维建模 针对训练 7.(2024·东北师大附中摸底)函数f(x)(x∈R)满足f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，则f(2 022)＝(　 ) A.－16 B.－8 C.－4 D.0 √ 解析：根据题意，由f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，知f(x＋12)＋f(x＋6)＝2f(3)，两式相减，得f(x＋12)＝f(x)，即f(x)是周期为12的周期函数.由y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且y＝f(x)的图象是由y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位长度得到的，则y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，y＝f(x)是奇函数.所以f(2 022)＝f(12×168＋6)＝f(6).又由f(x＋12)＝f(x)，令x＝－6可得f(－6)＝f(6)，而f(x)为奇函数，则f(－6)＝－f(6)＝f(6)，所以f(6)＝0，故f(2 022)＝f(6)＝0，故选D. 解析:因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,则f(1+x)=f(1-x),故f(2-x)= f(1-(x-1))=f(x-1+1)=f(x),f(2+x)=f(1+(x+1))=f(1-(x+1))=f(-x).又因为∀x∈R,都有f(x+2)=f(2-x),所以f(x)=f(-x),即函数f(x)为偶函数,所以f=f= f=f,f=f=f=f=f,f=f.因为当-1≤x≤0时,f(x)=2x-ex+,f'(x)=2-≤2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,故f'(x)≤0,又f'(x)不恒为零,故函数f(x)在[-1,0]上单调递减.因为-1<-<-<-<0,所以f<f<f,即f<f<f. 课时跟踪检测 1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　 ) A.(－∞，－3) B.(3，＋∞) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2).又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 3.(2024·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是(　 ) A.f(4)<f(1)<f(2) B.f(2)<f(1)<f(4) C.f(1)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f(1－(－2)) ＝f(3)，又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，所以f(4)<f(3)<f(2)，即f(4)<f(1)<f(2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：∵函数f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x)的定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减， ∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增， 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：当x>0时，f(x)＝2x－1单调递增且f(x)>0，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0满足f(x)＝2x－1.又函数f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，且f(2)＝3，进而原不等式化为f(log3x)<f(2)，结合f(x)的单调性可得log3x<2，所以0<x<9，即原不等式的解集为(0,9). 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 特别提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1). 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 6.(2024·蚌埠一模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，若f(0)＝3，则f(2 022)＋f(2 023)＝(　 ) A.0 B.－3 C.3 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：根据题意，函数f(x) 满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，则f(－x)＋f(2＋x)＝0.又由f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，在f(1－x)＋f(1＋x)＝0中，令x＝0，可得f(1)＝0，f(2 022)＝f(2)＝－f(0)＝－3，f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝0，所以f(2 022)＋f(2 023)＝－3，故选B. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 8.已知定义域为R的奇函数f(x),满足f(x)-f(2-x)=0,记g(x)=f(2x-2),则下列对函数g(x)的描述错误的是 (　 ) A.图象关于直线x=对称 　　　B.g(1)=0 C.g(x+3)=g(x) 　　 　 D.g(2 023)=0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:定义域为R的奇函数f(x),则f(-x)=-f(x)且f(0)=0,又f(x)-f(2-x)=0, 即f(x)=f(2-x),所以-f(-x)=f(2-x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x+4)=f(x).又g(x)= f(2x-2),所以g(1)=f(0)=0,故B正确;又g(x+3)=f(2x+6-2)=f(2x+4)=f(2x)= f(2(x+1)-2)=g(x+1),所以g(x+2)=g(x),则g(x)是以2为周期的周期函数, 则g(2 023)=g(1)=0,故C错误,D正确;又g(3-x)=f(6-2x-2)=f(4-2x)= f(2-(4-2x))=f(2x-2)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=对称,故A正确.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 9.(2024·厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(x＋1) f(y＋1)＝f(x＋y)－f(x－y)，若f(0)≠0，则f(2 024)＝(　 ) A．－2 B．－4 C．2 D．4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：令x＝y＝0，得f(1)f(1)＝f(0)－f(0)＝0，即f(1)＝0.令x＝0，得f(1)f(y＋1)＝f(y)－f(－y)＝0，得f(－y)＝f(y),∴函数f(x)为偶函数,令x＝y＝1，得f2(2)＝f(2)－f(0)，令x＝y＝－1，得f2(0)＝f(－2)－f(0)＝f(2)－f(0)，∴f2(2)＝f2(0)，∴f(2)＝f(0)或f(2)＝－f(0)，若f(2)＝f(0)，解得f(0)＝0与已知f(0)≠0矛盾，∴f(2)＝－f(0)，即f2(2)＝2f(2)，解得f(2)＝2，f(0)＝－2.令y＝1，得f(x＋1)f(2)＝f(x＋1)－f(x－1)，∴2f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4.∴f(2 024)＝f(0)＝－2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2024·咸阳模拟)[多选]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　 ) A.f(0)是函数的最小值 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.f(x)在[2,4]上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x＝2对称 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.又∵f(x)在[－2,0]上单调递减，且在R上是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增，故f(0)是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，结合周期性可得f(0)是函数的最小值，A正确； ∵f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，B正确； 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)在[－2,0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2,4]上单调递减，C错误； ∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确. 2 3 4 11.[多选]已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)不恒为零，且f(x＋6)＝f(x)，f(3＋x)＋f(3－x)＝0，f(2)＝0，则下列结论正确的是(　 ) A.f(0)＝0 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x＝12对称 D.f(x)在[0,10]上有6个零点 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：对于f(x＋6)＝f(x)，令x＝0，得f(6)＝f(0)，对于f(3＋x)＋f(3－x)＝0，令x＝3，得f(6)＝－f(0)，所以f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0，A正确； 由f(x＋6)＝f(x)得f(6－x)＝f(－x)，由f(3＋x)＋f(3－x)＝0得f(6－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数，B正确； 由f(x＋6)＝f(x)，得f(x＋12)＝f(x＋6)＝f(x)，所以12是f(x)的一个周期，又f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(12,0)对称，因为f(x)不恒为零，所以f(x)的图象不关于直线x＝12对称，C错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 由A知f(6)＝f(0)＝0，对于f(3＋x)＋f(3－x)＝0，令x＝0，得f(3)＝0，所以f(9)＝f(3)＝0，由f(2)＝0，得f(8)＝f(2)＝0，f(－2)＝－f(2)＝0， 所以f(4)＝f(10)＝0，所以f(x)在[0,10]上的零点为0,2,3,4,6,8,9,10，共8个，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 特别提醒：含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，需要根据已知条件进行恰当的转化，得到所需的一些数值或关系式，从而解题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.[多选]设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，则下列说法正确的是(　 ) A.f(1)＝0 B.函数f(x)是以2为周期的周期函数 C.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.函数f(x－1)为奇函数 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析： 选项 分析过程 正误 A f(x＋1)是奇函数→f(－x＋1)＝－f(x＋1)→f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0→f(x)关于点(1,0)对称→f(1)＝0 B f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0→f(2＋x)＋f(－x)＝0→f(x)是偶函数→f(－x)＝f(x)→f(2＋x)＋f(x)＝0→f(x＋2)＝－f(x)→ f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)→f(x)是以4为周期的周期函数 √ × 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 C f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)→f(x＋2)＝f(2－x)→y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 D 令F(x)＝f(x－1)→F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)→f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，f(x＋1)＝－f(1－x)＝ －f(x－1)→F(－x)＝－F(x) 其他解法：可结合函数图象的平移变换求解：f(x＋1)的图象关于(0,0)对称→f(x－1)的图象关于(2,0)对称→f(x)的图象关于直线x＝0对称→f(x－1)的图象关于直线x＝1对称→f(x－1)的图象关于(0,0)对称 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13.已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调递增区间是____________. (－∞，2] 解析：因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增.又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到，所以函数f(x－1)的单调递增区间是(－∞，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 15.(2024·大连模拟)已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)成立，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0的解集为________. [0,6] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由题意，因为函数f(x)对任意的x∈R均有f(x＋2)＝f(2－x)，所以可得函数f(x)的图象关于x＝2对称，又由f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，因为f(－1)＝0，可得f(5)＝f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0，可得－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集为[0,6]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16.(2023·青岛三模)设f(x)为定义在整数集上的函数，f(1)＝1，f(2)＝0，f(－1)<0，对任意的整数x，y均有f(x＋y)＝f(x)f(1－y)＋f(1－x)f(y).则f(55)＝________. －1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)f(0)＋f(0)f(1)＝2f(0)＝0，∴f(0)＝0；令x＝2，y＝－1，则f(1)＝f2(2)＋f2(－1)＝f2(－1)＝1，又f(－1)<0，∴f(－1)＝－1；令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(0)＋f(1－x)f(1)＝f(1－x)，f(x)关于直线x＝1对称；令y＝－x，则f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(1－x)f(－x)＝[f(x)＋f(－x)]f(1＋x)＝0，∵f(1＋x)＝0不恒成立，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立，∴f(x)为奇函数，∵f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(55)＝f(4×14－1)＝f(－1)＝－1. 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 6.设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　 ) A.－ B.－ C. D. 解析：∵f(x＋1)是奇函数，∴f(x)关于(1,0)中心对称，∴f(1)＝0，∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x)关于直线x＝2对称，周期为4，∴f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6，代入可得解得 因此f＝f＝－f＝－＝.故选D. (2024·成都诊断)设f(x)为定义在R上的函数，对∀x∈R都有f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,1]上单调递增.设a＝f，b＝f(log43)，c＝f，则下列结论正确的是(　 ) A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 解析：因为f(2－x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则函数f(x)关于直线x＝1对称，且f(x)为偶函数，又f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，故f(x)的周期为2.因为a＝f＝f，c＝f＝f，1＝log44＞log43＞log42＝，又因为f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(log43)＞f＞f，即b＞a＞c. (2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　 ) A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 ＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D. 8.(2024·凉山州一诊)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①当－1≤x≤0时，f(x)＝2x－ex＋；②y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x).则f，f，f的大小关系是__________________. f＜f＜f 2.已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称.当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　 ) A.1 B.3 C.－1 D.－3 解析：因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1. 4.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为(　 ) A.∪(6，＋∞) B.(－∞，－1)∪ C. D. ∴由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈. 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则使不等式f(log3x)－3<0成立的x的取值范围是(　 ) A.(－∞，9) B.(0,9) C.(9，＋∞) D. 7.(2023·黄冈三模)[多选]已知函数f(x)＝＋ex＋2，且满足f(m2)＋f(m－2)>4，则实数m的取值可能为(　 ) A.－3 B.－2 C.1 D.2 解析：令g(x)＝＋ex，则g(x)＝f(x)－2，因为g(x)＋g(－x)＝＋ex＋－ex＝＋＝0，所以g(x)为奇函数.又因为g(x)＝1－＋ex，所以根据单调性的性质可得g(x)为增函数.因为f(m2)＋ f(m－2)>4，所以f(m2)－2＋f(m－2)－2>0，等价于g(m2)＋g(m－2)>0，即g(m2)>－g(m－2)＝g(2－m)，所以m2>2－m，即m2＋m－2>0，解得m<－2或m>1.所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 14.设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则g(k)＝________. 解析：由g(x＋1)为偶函数，则函数g(x)关于直线x＝1对称，则有g(－x)＝g(2＋x).由函数g(x＋2)为奇函数，则函数g(x)关于(2,0)对称，则－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2).设t＝x＋2，则g(t＋2)＝－g(t)，从而函数g(x)是周期为4的函数.又由函数g(x)关于(2,0)对称，可得g(1)＋g(3)＝0且g(2)＝0，由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0.因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以g(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2 023)＝505×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝505×0＋0＝0. $$