第2章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

函数的奇偶性、对称性与周期性 第三节 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数了解周期性与对称性及其几何意义. 2.能求简单函数的周期，灵活应用函数奇偶性的性质解题. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期 f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 3.函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点______对称. (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于______对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于______对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称. (a,0) y轴 x轴 原点 1.函数奇偶性的3个性质 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0； (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 拓展教材 (常见结论及应用) 2.函数周期性的3个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； 3.对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) √ 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 √ √ 2.(人B必修①P115练习BT4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则(　 ) A.f(x)＋g(x)是奇函数 　 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 　 D.f(g(x))是偶函数 √ √ 解析：因为f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠f(x)＋g(x)且f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确； 因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误； 因为f(g(－x))＝f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，故D正确. 3.(人A必修①P87T13结论应用：函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称图形⇔y＝f(x＋a)－b为奇函数) 已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　 ) A.关于点(1,1)对称 B.关于点(1，－1)对称 C.关于点(－1,1)对称 D.关于点(－1，－1)对称 √ 解析：函数y＝f(x＋1)为奇函数，图象关于(0,0)对称，则函数y＝f(x)关于(1,0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(1,1)对称. 4.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________. －1 解析：由题意知f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 023)＝f(1)＝－1. B组——迷点盲点的澄清训练 非奇非偶 2.(忽视自变量0的函数值)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时， f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为________________________. 课堂·题点精研 02 题点一　函数的奇偶性 考法(一)　判断函数的奇偶性 例 1 (3)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称. 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 判定函数奇偶性的2种常用方法 (1)定义法 思维建模 (2)图象法 [提醒]　(1)对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法.(2)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0和x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性. 考法(二)　函数奇偶性的应用 例 2 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　 ) A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1 √ 解析：设x<0，则－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 例 3 √ 例 4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 023)＋f(2 025)的值为________. 0 解析：由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024－1)＋f(2 024＋1)＝0. 函数奇偶性可解决的问题及解题方法 思维建模 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 求参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而求出参数的值 1.设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是(　 ) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|－1＜x＜0或x＞1} 针对训练 √ 解析：∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，又∵f(x)为偶函数，故可以作出f(x)的大致图象如图所示.由图象可知，若f(x)＞0，则x＜－1或x＞1. √ √ 解析：因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.对于A，定义域为(－1,1)，所以不满足题意； 对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意； 0 4.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________. 解析:法一　当x<0时,-x>0,所以f(-x)=x2+x.又因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-+,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为. 法二　当x>0时,f(x)=x2-x=-,最小值为-,因为函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为. 题点二　函数的对称性 √ (2023·福州三模)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x). 若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项一定成立的是(　 ) A.f(－3)＝1 B.f(0)＝0 C.f(3)＝2 D.f(5)＝－1 例 5 解析：函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4).又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，所以f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确. 例 6 求解与函数对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心，大多是结合图象利用对称性解决求值或参数问题. 思维建模 针对训练 √ 6.(2024·东北育才学校模拟)设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　 ) A.直线x＝－1对称 B.直线x＝－2对称 C.直线x＝2对称 D.直线x＝1对称 √ 解析：y＝f(1－x)的图象是函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的，由于y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称.y＝f(x－3)的图象是函数y＝f(x－1)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝2对称，故选C. 题点三　函数的周期性及其应用 例 7 √ 例 8 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 思维建模 7.(2023·吕梁三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 针对训练 √ 解析：因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又g(x)＝f(x)－2为奇函数，所以f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以f(x)＋f(－x)＝4.令x＝0，得2f(0)＝4，所以f(0)＝2，所以f(198)＝f(0＋6×33)＝f(0)＝2，故选C. 340 解析：因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 课时跟踪检测 03 1.(2023·开封三模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)＝log3x，则f(－3)＝(　 ) A.－1 B.0 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 √ 15 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x.所以f(－3)＝－f(3)＝－log33＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 解析:∵f(x)在R上的周期为2,∴f=f=-4×+2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 4.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝2－f(2－x)＋f(2)，f(1)＝－1，则f(3)＝(　 ) A.0 B.2 C.4 D.5 2 3 4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解析：令x＝0，得f(2)＝2－f(2)＋f(2)，即f(2)＝2，所以f(x＋2)＋f(2－x)＝4，所以函数f(x)的图象关于(2,2)对称，因为f(1)＝－1，所以f(3)＝5. 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 6.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，若当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋9，则f(2 023)＝(　 ) A.－6 B.6 C.－8 D.8 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(－x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的函数，因此f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝ －f(1)＝－8.故选C. 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 A.(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5] B.(－π，－2)∪(π，5] C.[－5，－π)∪(－2,0)∪(2，π) D.[－5，－2)∪(π，5] √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 快审准解：根据偶函数性质可确定f(x)在[－5,5]内的正负；结合y＝sin x在[－5,5]内的正负可确定不等式的解集. 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 8.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 2 15 法二　因为f(x)为偶函数,所以f=f,即-a=+a,得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 10.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝________. 2 3 4 2 15 解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数.又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数，∴f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023). 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 (2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 (3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确； 又f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故B正确； 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 14.[多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x).当0<x<1时，f(x)＝3x－1，则(　 ) A.f(x)是周期为2的周期函数 B.f(x)的值域为[－2,2] C.x＝3是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)的图象关于点(－2,0)对称 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，故f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，故选项A错误； 由题意可知，f(x)的图象如图所示， 由f(x)的图象可得f(x)的值域为[－2,2]，其中x＝3是函数f(x)图象的一条对称轴，f(x)的图象关于点(－2,0)对称.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 0 －50 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 (2)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝3f(x)f(1)＝f(x)　①， 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②， 由①②知，f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 所以f(x＋3)＋f(x)＝0，即f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期是6. 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 2 3 4 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 考题品悟 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝( ) A.－1　　　B.0　　　C.　　　D.1 追根溯源 (人B必修②P53T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数，求a的值. 发现启迪 函数的奇偶性是高考的重点内容，几乎每年都考一道利用函数奇偶性求参数的小题.解决此类题的关键是利用f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)列式. 1.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数，其中是奇函数的为(　 ) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 解析：对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数. 1.(忽视定义域)函数f(x)＝|x＋1| 是____________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析：因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数. f(x)＝ 解析：设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且f(0)＝0.综上所述，f(x)＝ 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 解：(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)， 从而函数f(x)为奇函数. (2)由得－2<x<2， 即函数f(x)的定义域是{x|－2<x<2}，关于原点对称. 因此f(x)＝＝lg(4－x2)，所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　 ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)－f(－x) ＝－＝＝0.因为x不为0，所以ex－e(a－1)x＝0. 所以a－1＝1，a＝2. 法二　因为f(x)＝＝，f(x)是偶函数，且y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D. 2.(2024·临沂统考一模)[多选]已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为(　 ) A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x)＝＋ D.g(x)＝ln(＋x) 对于C，定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意； 对于D，定义域为R，g(－x)＝ln(－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln(－x)＋ln(＋x)＝0，符合题意. 3.函数f(x)＝ln为奇函数，且g(x)＝＋f(x)＋a，若g(m)＝2，则g(－m)＝________. 解析：因为函数f(x)＝ln为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝ln＝0，所以·＝1，即a2－x2＝1－x2，解得a＝1或a＝－1(舍去)，故f(x)＝ln，因为g(x)＝＋f(x)＋a，g(－x)＝＋f(－x)＋a，则g(x)＋g(－x)＝＋＋f(x)＋f(－x)＋2a＝2a，所以g(m)＋g(－m)＝2a，又g(m)＝2，所以g(－m)＝2a－2＝0. (2023·全国乙卷，节选)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 解：存在.令g(x)＝f，由函数f(x)的解析式可得g(x)＝f＝(x＋a)·ln，函数g(x)的定义域满足＋1＝>0，即函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，定义域关于直线x＝－对称，由题意可得b＝－，由对称性可知g＝g，取m＝可得g(1)＝g(－2)， 即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln，则a＋1＝2－a，解得a＝，经检验a＝，b＝－满足题意，故a＝，b＝－. 5.(2024·黔东南模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于(　 ) A.4m B.3m C.2m D.m 解析：由f(－x)＋f(x)＝6，得f(x)关于(0,3)对称，而y＝＝3＋也关于(0,3)对称，所以y＝与y＝f(x)在点(0,3)两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在，所以 (x1＋…＋xi)＝0， (y1＋…＋yi)＝×6＝3m，故 (xi＋yi)＝3m.故选B. (2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　 ) A.－3 B.－2 C.0 D.1 解析：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)　①，用x＋1代替x，得f(x＋2)＋ f(x)＝f(x＋1)　②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. 函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________. 解析：由f(x＋4)＝f(x)得函数是周期为4的周期函数，则f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝＝，f＝cos＝cos＝，即f(f(15))＝. 8.(2024·金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________. 2.设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f等于(　 ) A.－7 B.1 C. D.7 3.[多选]下列函数是偶函数的是(　 ) A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x 解析：由题意，四个函数定义域都是R，在f(x)＝x＋sin 2x中，f(－x)＝－x＋sin(－2x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，是奇函数；在g(x)＝x2－cos x中，g(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝g(x)，是偶函数；在h(x)＝2x＋中，h(－x)＝2－x＋＝2x＋＝h(x)，是偶函数；在w(x)＝x2＋sin x中，w(－x)＝(－x)2＋sin(－x)＝x2－sin x≠±w(x)，∴y＝x2＋sin x既不是奇函数，也不是偶函数. 5.(2024·长沙模拟)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：因为函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex， 则f(－1)－g(－1)＝，即－f(1)－g(1)＝，而f(1)－g(1)＝e，联立解得 f(1)＝＝，g(1)＝－·＝－，所以＝. 7.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式>0的解集为(　 ) 解析：∵f(x)为定义在[－5,5]上的偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，∴当x∈[－5，－2)∪(2,5]时，f(x)>0；当x∈(－2,2)时，f(x)<0.若>0，则或当x∈[－5，－π)∪(2，π)时，当x∈(－2,0)时，∴>0的解集为[－5，－π)∪(－2，0)∪(2，π).故选C. 解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝. 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝. 9.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 解析：法一　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋sin，得a＝2. 11.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]. 13.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　 ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.f＝－1 D.x∈[－1,0)时，f(x)＝x 设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，所以f(－x)＝－x，又f(x)是偶函数， 则f(x)＝－x，即当x∈[－1,0)时f(x)＝－x，f＝f＝f＝－＝，故C、D错误；故选AB. 15.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2 022)，f(－2x＋1)＝f(2x＋5)，若f＝，则f(2 022)＝_______，kf＝_______. 解析：因为f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2 022)，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(2 022)，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝f(2 022)，则f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 022)＝f(2).又f(－2x＋1)＝f(2x＋5)，所以f(2)＝f(4)＝f(0)，又f(2)＋f(0)＝f(2 022)，所以f(2 022)＝0， 即f(x＋1)＋f(x－1)＝0且f(x＋1)＝f(1－x)，因为f＝，所以f＝，f＝－，f＝－，所以kf＝(1＋2－3－4)＋ (5＋6－7－8)＋…＋(97＋98－99－100)＝×(－4)×25＝－50. 16.已知f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝3f(x)f(y)，且f(1)＝. (1)证明f(x)是偶函数； (2)求f(k). 解：(1)证明：令x＝1，y＝0，得f(1＋0)＋f(1－0)＝3f(1)f(0)，所以f(0)＝. 令x＝0，得f(0＋y)＋f(0－y)＝3f(0)f(y)，所以f(－y)＝f(y)， 所以f(x)是偶函数. 由②式得，f(2)＋f(0)＝f(1)，所以f(2)＝－， 同理f(3)＋f(1)＝f(2)，所以f(3)＝－， 又由周期性和偶函数可得f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝，f(6)＝f(0)＝， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0， 所以f(k)＝337f(k)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－. 借题发挥：解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑： (1)令x＝…，－2，－1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令x＝x2，y＝x1或y＝，且x1<x2，判定抽象函数的单调性； (3)令y＝－x，判定抽象函数的奇偶性； (4)换x为x＋T，确定抽象函数的周期； (5)用x＝＋或换x为等来解答有关抽象函数的一些其他问题. $$