第2章 第1节 函数的概念及其表示(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二章 函　数 函数的概念及其表示 第一节 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.函数的概念 一般地，设A，B是______________，如果对于集合A中的_____一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 非空的实数集 任意 唯一确定 2.构成函数的三要素 函数由_______、______和对应关系三个要素构成，在函数y＝f(x)，x∈A中, __________________(即数集A)称为这个函数的定义域. ____________组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 定义域 值域 自变量的取值范围 所有函数值 3.同一个函数与分段函数 同一个函数 如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的_______也相同，那么这两个函数是同一个函数 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间有不同的对应方式，则称其为分段函数 定义域 对应关系 函数值 (1)直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. (2)在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 微点提醒 几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合. (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. (5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合. 拓展教材 (常见结论及应用) 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) (－∞，0)∪(0,1] 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 √ 2.(人A必修①P74T18改编)[多选]记无理数π＝3.1415926…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是(　 ) A.值域B是定义域A的子集 B.函数图象f(a)是一群孤立的点 C.f(6)＝2 D.a也是b的函数，记作a＝f(b) √ √ 解析：对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为0∈B,0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误； 对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确； 对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误.故选BC. √ 4.(人B必修①P96“探索与研究”情境变式)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为___________________. 解析：因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，故f(x)＝x2－4(x≥2). f(x)＝x2－4(x≥2) B组——迷点盲点的澄清训练 (－∞，－2]∪[0,10] x2－1(x≥0) 课堂·题点精研 02 题点一　函数的定义域(自主练通) √ √ [1,4) 4.已知函数f(x＋1)的定义域为[1,2]，则f(2x)的定义域为________. 求函数定义域的类型及解题策略 思维建模 求具体函数的定义域 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可 求抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域 题点二　函数的解析式 例 1 求下列函数的解析式: (1)(换元法)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (2)(配凑法)已知f=x2+,求f(x)的解析式; (3)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (4)(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解:(1)设1-sin x=t,t∈[0,2], 则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)∵f=x2+=-2,∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2 [a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋5a＋b＝2x＋17， (4)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. 求函数解析式的常用方法 思维建模 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法 解方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 1.已知一次函数f(x)满足2f(x)＋f(x＋1)＝9x＋6，则f(4)＝(　 ) A.12 B.13 C.14 D.15 快审准解：根据待定系数法可得函数解析式，进而求解. 针对训练 √ √ √ 3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-4f=-,则f(x)的最小值为(　 ) A.4 B.4 C.2 D.2 解析:因为x>0,所以>0,f(x)-4f=-　①. 所以f-4f(x)=-15x　②. 由①②可解得f(x)=4x+,x∈(0,+∞), 因为x>0,所以f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立. 4.已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝3x＋2，则f(x)的解析式为 ________________________________________. 题点三　分段函数 考法(一)　求函数值 例 2 √ 已知函数f(x)=则f的值是(　 ) A.9 B.-9 C. D.- 解析:∵>0,则f=log2=-2, 又∵-2<0,则f=f(-2)=3-2=. 例 3 √ 设函数f(x)=则f(20)=(　 ) A.3 B.4 C.5 D.lo17 解析:由题意得f(20)=f(17)+1=f(14)+2=…=f(-1)+7=lo[3-(-1)]+7= -2+7=5. 求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 思维建模 考法(二)　与方程结合 例 4 √ 求分段函数中参数值与自变量值的策略 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. 思维建模 考法(三)　与不等式结合 例 5 √ 快审准解：法一：分别在x≤0和x>0时，解不等式f(x)≥－1，再求并集得答案. 法二：在同一坐标系中画出f(x)的图象，虚线y＝－1，则函数f(x)图象在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围，即不等式f(x)≥－1的解集，从而得答案. 解析：法一　当x≤0时f(x)＝2x＋3，不等式f(x)≥－1可化为2x＋3≥－1，解得x≥－2，又x≤0，所以－2≤x≤0；当x>0时，f(x)＝－(x－1)2，不等式f(x)≥－1可化为－(x－1)2≥－1，解得0≤x≤2，又x>0，所以0<x≤2.综上，使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2,2].故选A. 与分段函数有关的不等式问题的解题策略 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式.当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 思维建模 针对训练 √ 5.设f(x)=若f(m)=f(m+1),则f=(　 ) A.14 B.16 C.2 D.6 解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),则解得m>0,若m≥1,则m+1≥2>1,可得2(m-1)=2m-2≠2m,不合题意;若0<m<1,则m+1>1,可得=2m,解得m=.综上所述,m=.所以f=f(8)=14. √ 7.已知函数f(x)=则f(log212)等于　　　　.  解析:由log212=2+log23,且log23∈(1,2),得f(2+log23)=f(1+log23)= f(log23)===. 特训·微专题强化 03 掌握几个特殊的函数 1.[多选]对任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论正确的是(　 ) A.对于任意的x∈R，x＜[x]＋1 B.y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称 C.函数y＝x－[x](x∈R)，y的取值范围为[0,1) D.对于任意的x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立 √ √ √ 解析：由定义知[x]≤x＜[x]＋1，所以∀x∈R，x＜[x]＋1，故A正确； 当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当－1≤x＜0时，y＝[x]＝－1，所以y＝[x]，x∈R不是奇函数，故B错误； 因为x－1＜[x]≤x，所以0≤x－[x]＜1，所以y＝x－[x](x∈R)的值域为[0,1)，故C正确； ∀x，y∈R,0≤x－[x]<1,0≤y－[y]<1，所以0≤x－[x]＋y－[y]<2，当1≤x－[x]＋y－[y]<2时，[x]＋[y]＋1＝[x＋y]，此时[x]＋[y]<[x＋y]；当0≤x－[x]＋y－[y]<1时，[x]＋[y]＝[x＋y]，故∀x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]，故D正确. 2.[多选]德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)的叙述,正确的是(　 ) A.函数y=f(x)的图象是两条直线 B. f(f(x))=1 C.f()>f(1) D.∀x∈R,都有f(1-x)=f(2+x) √ √ 解析：函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误； 由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，故D正确. √ 4.[多选]欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过n，且与n互素(两个数的最大公约数为1)的正整数的个数，例如φ(1)＝1，φ(4)＝2.欧拉函数具有以下性质：如果m，n是互素的正整数，那么φ(mn)＝φ(m)·φ(n).下列说法正确的是(　 ) A.φ(40)＝16 B.若n为素数，则φ(n)＝n－1 C.若n为奇数，则φ(2n)＝2φ(n) D.若n∈N*，则φ(2n)＝2n－1 √ √ √ 解析：在不超过5的正整数中与5互素的正整数有1,2,3,4，所以φ(5)＝4，在不超过8的正整数中与8互素的正整数有1,3,5,7，所以φ(8)＝4,5与8互素，所以φ(40)＝φ(5×8)＝φ(5)·φ(8)＝16，故A正确； 若n为素数，则n与其前面n－1个正整数互素，所以φ(n)＝n－1，故B正确； 因为φ(1)＝1，φ(2)＝φ(2×1)＝1≠2φ(1)，故C错误； 因为在不超过2n且与2n互素的正整数有1,3,5，…，2n－1，共有2n－1个，所以φ(2n)＝2n－1，故D正确. 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 3.已知函数f(x)=若f(m)=3,则m的值为(　 ) A. B.2 C.9 D.2或9 解析:∵函数f(x)=f(m)=3,∴或解得m=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝x0，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)与g(x)＝1，x∈R定义域不同，故不是相同函数，故C错误； 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：①当a<0时，2a<0，此时f(a)＝f(2a)＝1，不合题意；②当a≥0时，2a≥0，f(a)<f(2a)可化为2a<22a，所以a<2a，解得a>0.综上，实数a的取值范围是(0，＋∞). 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 9.已知函数f(x)满足f(2x)=f(x+1),则f(x)可能是 (　 ) A.f(x)=x B.f(x)=log2x C.f(x)=2x D.f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：对于A，f(x)＝x，则f(2x)＝2x，f(x＋1)＝x＋1，不满足f(2x)＝f(x＋1)； 对于B，f(x)＝log2x，则f(2x)＝log22x＝1＋log2x，f(x＋1)＝log2(x＋1)，不满足f(2x)＝f(x＋1)； 对于C，f(x)＝2x，则f(2x)＝22x＝4x，f(x＋1)＝2x＋1＝2×2x，不满足f(2x)＝f(x＋1)； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 对于D,f(x)=当x∈Q时,2x∈Q,x+1∈Q,故f(2x)=f(x+1)=1;当x∉Q时,2x∉Q,x+1∉Q,故f(2x)=f(x+1)=0,即此时f(x)=满足f(2x)=f(x+1).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 10.[多选]已知具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,则下列函数满足“倒负”变换的函数是(　 ) A.f(x)=x- B.f(x)=x+ C.f(x)=ex+ D.f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:由函数f(x)=x-,可得-f(x)=-x+,又由f=-x=-f(x),所以A正确; 由函数f(x)=x+,可得-f(x)=-x-,又由f=+x=f(x)≠-f(x),所以B不正确; 由函数f(x)=ex+,可得-f(x)=-ex-,又由f=+ex=f(x)≠-f(x),所以C不正确; 函数f(x)=当x>1时,∈(0,1),可得-f(x)=,所以f==-f(x); 当0<x<1时,∈(1,+∞),可得-f(x)=-x,所以f=-x=-f(x);当x=1时,=1, 可得-f(x)=0,所以f=0=-f(x),所以D正确.故选AD. 11.(2024·潍坊一模)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　 ) A.f(|x|)＝x3 B.f(sin x)＝x2 C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误； 令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误； 令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2(－2))＝2，不符合函数定义，C错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 12.∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中最大者,M(x)={|x|-1,1-x2},若M(n)<1,则实数n的取值范围是 (　 ) A.(-2,2) B.(-2,0)∪(0,2) C.[-2,2] D.(-,) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析:当x≥0时,若x-1≥1-x2,则x≥1,当x<0时,若-x-1≥1-x2,则x≤-1,所以M(x)=若M(n)<1,则当-1<n<1时,1-n2< 1⇒-n2<0⇒n≠0,即-1<n<0或0<n<1,当n≥1或n≤-1时,|n|-1<1,解得-2<n≤-1或1≤n<2,综上,-2<n<0或0<n<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (－1,1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 15.已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 2 023 解析：由题意，定义域为R，在函数f(x)中，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝1，令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋1，f(2 023)＝f(2 022)＋1＝f(2 021)＋2＝f(2 020)＋3＝…＝f(1)＋2 022＝2 023. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：若f(a)＝4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 考题品悟 (2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是__________________. 追根溯源 (人A必修①P65例2)已知函数f(x)＝＋， (1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值. 发现启迪 本节内容在高考中一般不直接考查，但几乎处处渗透，函数的定义域与解析式是学习函数的基础，尤其重要.2022年北京卷T11所考题目就是教材例题的微加工，体现出高考得满分，要全面复习，重视课本. 1.(人A必修①P66例3改编)下列函数与函数y＝x是同一个函数的是(　 ) A.y＝()2 B.u＝ C.y＝ D.m＝ 解析：函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数.函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 3.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)＝则f(f(2))＝(　 ) A. B. C.2 D.－2 解析：由题意得f(2)＝－2，f(－2)＝，故选B. 1.(忽视自变量的范围)设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为______________________. 解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解.当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x∈(－∞，－2]∪[0,10]. 2.(忽视新变量的取值范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝_____________. 解析：令t＝，则t≥0，故x＝t2，则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0). 1.函数f(x)＝的定义域为(　 ) A.(1,2] B.(1,3] C.(0,1)∪(1,3] D.(0,1)∪(1,2] 解析：f(x)＝的定义域需满足 解得0<x≤3且x≠1，故其定义域为(0,1)∪(1,3].故选C. 2.已知函数f(x)＝lg，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　 ) A.{x|x>2或x<0} B. C.{x|x>2} D. 解析：要使f(x)＝lg有意义，则>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1).要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得≤x<2，所以函数g(x)的定义域为. 3.函数f(x)＝＋的定义域为________. 解析：由题意知函数f(x)＝＋要有意义，需满足解得1≤x<4，故f(x)＝＋的定义域为[1,4). 解析：因为函数f(x＋1)的定义域为[1,2]，所以2≤x＋1≤3，即函数f(x)的定义域为[2,3].由2≤2x≤3，解得1≤x≤，因此f(2x)的定义域为. ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x)＋f(x＋1)＝2ax＋2b＋a(x＋1)＋b＝3ax＋a＋3b.因为2f(x)＋f(x＋1)＝9x＋6，所以解得a＝3，b＝1，所以f(x)＝3x＋1，f(4)＝13.故选B. 2.已知f(－1)＝x＋2，则(　 ) A.f(x)＝x2＋2x＋3(x≥0) B.f(x)＝x2＋2x＋3(x≥－1) C.f(x)＝x2－2x＋3(x≥0) D.f(x)＝x2－2x＋3(x≥－1) 解析：法一　令t＝－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2，据此可得f(t)＝(t＋1)2＋2＝t2＋2t＋3，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2＋2x＋3(x≥－1).故选B. 法二　依题意，－1≥－1，f(－1)＝()2－2＋1＋2－2＋3＝(－1)2＋2(－1)＋3，所以f(x)＝x2＋2x＋3(x≥－1).故选B. f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝3x＋2，于是有解得或 所以f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1. 已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)等于(　 ) A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：若a≤1，则2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，无解；若a>1，则－log2 (a＋1)＝－3，即a＋1＝23，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－. 已知f(x)＝则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　 ) A.[－2,2] B.[－2,0] C.[－2,2) D.(0,2] 法二　函数f(x)的图象如图所示，虚线表示y＝－1，函数f(x)图象在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围即不等式f(x)≥－1的解集.由图可知，x的取值范围就是点A的横坐标与点B的横坐标之间的范围.在y＝2x＋3中，令y＝－1，得x＝－2，所以点A的横坐标为－2.在y＝－(x－1)2中，令y＝－1，得x＝0(舍去)或x＝2，所以点B的横坐标为2，所以使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2,2]. 6.(2023·大庆二模)已知函数f(x)＝若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是(　 ) A. B.∪ C. D. 解析：因为f(2a－1)－1≤0⇒f(2a－1)≤1.①当2a－1≥1时，f(2a－1)＝ln(2a－1)≤1⇒1≤a≤.②当0≤2a－1<1时，f(2a－1)＝0≤1⇒≤a<1.③当2a－1<0时，f(2a－1)＝2a－1≤1⇒a<.综上所述，a≤. 当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，故B正确； f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，故C错误； 3.黎曼函数R(x)是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，R(x)在[0,1]上的定义为：当x＝(p>q，且p，q为互质的正整数)时，R(x)＝；当x＝0或x＝1或x为(0,1)内的无理数时，R(x)＝0.已知a，b，a＋b∈[0,1]，则(　 ) A.R(x)的值域为 　 B.R(a·b)≥R(a)·R(b) C.R(a＋b)≥R(a)＋R(b) 　 D.以上选项都不对 解析：设A＝(p>q，且p，q为互质的正整数)，B＝{x|x＝0或x＝1或x是(0,1)内的无理数}.由题意，R(x)的值域为，其中p是大于等于2的正整数，故A错误； ①当a∈A，b∈A，则R(a＋b)≤R(a)＋R(b)，R(a·b)≥R(a)·R(b)；②当a∈B，b∈B，则R(a＋b)＝R(a)＋R(b)，R(a·b)≥R(a)·R(b)＝0；③当或则R(a＋b)≤R(a)＋R(b)，R(a·b)≥R(a)·R(b)，故B正确，C、D错误. 1.函数f(x)＝的定义域是(　 ) A.(－∞，1) B.(0，＋∞) C.(0,1) D.(－∞，0] 解析：由得解得x≤0，故函数的定义域为(－∞，0]. 2.(2023·襄城三模)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　 ) A.－4 B.－2 C.2 D.4 解析：∵f(1)＝41－2＝，∴f(f(1))＝f＝log2＝－2. 4.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝(　 ) A.＋1 B.x＋ C. D.x＋1 解析：由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1， 由解得f(x)＝＋1，故选A. 5.(2024·西安一模)已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2x，x∈的值域为B，则A∩B＝(　 ) A．(0,2) B．(0,2] C．(－∞，4] D．(－1,4] 解析：f(x)＝，则≥0，∴x(x－4)≤0且x≠0，可得A＝{x|0<x≤4}，g(x)的值域B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤2}． 6.[多选]下列两个函数是相同函数的有(　 ) A.f(x)＝x－1与g(x)＝ B.f(x)＝与g(x)＝ C.f(x)＝x0与g(x)＝1 D.f(x)＝|x|与g(x)＝ 解析：f(x)＝x－1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； f(x)＝＝＝1(x>0)，g(x)＝＝＝1(x>0)，两函数定义域和对应法则相同，故为相同函数，故B正确； f(x)＝|x|，g(x)＝＝|x|，函数的定义域、对应法则均相同，所以两函数是相同函数，故D正确.故选BD. 7.(2024·丽江一模)设函数f(x)＝若f(f(a))－f(a)＋2＝0，则实数a的值为(　 ) A.－1 B.－－1 C.＋1 D.－＋1 解析：令f(a)＝t，则f(t)＝t－2.当t≤0时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解；当t>0时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f(a)＝1，若a≤0时，则a2＋2a＝1，解得a＝－－1，若a>0，则－a2＝1无解.综上，a＝－－1，故选B. 8.(2024·成都模拟)设函数f(x)＝则满足f(a)<f(2a)的实数a的取值范围是(　 ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(0,1) D.(1，＋∞) 13.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝的定义域是_________. 解析：由题意解得－1<x<1，即定义域为(－1,1). 14.已知f＝2x＋3，f(m)＝8，则m＝______. 解析：∵f＝2x＋3，f(m)＝8，∴设x－1＝t，解得x＝2t＋2.∴f(t)＝4t＋7.∴f(m)＝4m＋7＝8，解得m＝. 16.已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是_______________________. 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则 或解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). $$