第1章 第5节 一元二次方程、不等式(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

一元二次方程、不等式 第五节 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 续表 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ R 2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} ________ _____________ (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} _____ _________ {x|x≠a} {x|x<b或x>a} ∅ {x|b<x<a} 3.分式不等式 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. 拓展教材 (常见结论及应用) 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( ) A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2} C.{－2} D.{2} 追根溯源 (人A必修①P55T3)已知M＝{x|4x2－4x－15>0}，N＝{x|x2－5x－6>0}，求M∩N，M∪N. 发现启迪 在高考中，一元二次不等式很少单独考查，多以辅助工具出现在题目中.两题都将不等式与集合进行融会命题，小考题体现出新高考的二大命题导向：一是教考衔接，二是注重综合融会贯通. √ 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1.(人A必修①P55T1改编)不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　 ) A.{x|－2<x<5} B.{x|x<－2或x>5} C.{x|－5<x<2} D.{x|x<－5或x>2} √ 2.(人B必修①P75T5改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x) >0的解集是(　 ) A.{x|x<－n或x>m} B.{x|－n<x<m} C.{x|x<－m或x>n} D.{x|－m<x<n} √ 解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值关系) －14 3 B组——迷点盲点的澄清训练 2.(忽视二次项系数的符号)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为[－2,3]，则不等式cx2－bx＋a≤0的解集为___________. 课堂·题点精研 02 题点一　一元二次不等式的解法 例 1 考法(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 √ 例 2 不等式组0<x2－x－2≤4的解集为____________________. [－2，－1)∪(2,3] 解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 思维建模 例 3 考法(二)　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 当a＝1时，解集为∅； ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1. 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数为零的情形，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式. (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 思维建模 针对训练 √ √ √ √ 3.解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解：由题意知，Δ＝a2－4， ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 题点二　一元二次不等式恒(能)成立问题 √ 考法(一)　在R上的恒成立问题 例 4 若命题p：“∃x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，则k的取值范围是(　 ) A.(1,7) B.[1,7) C.(－7,1) D.(－7,1] 解析：因为命题“∃x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3>0”是真命题，若k2－1＝0，即k＝1或k＝－1，当k＝1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意； 当k＝－1时，不等式为8x＋3>0，不恒成立，不满足题意； 当k2－1≠0时， 综上所述，k的取值范围是[1,7)，故选B. 一元二次不等式在R上恒成立的条件 思维建模 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 例 5 考法(二)　在给定区间上的恒成立问题 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围. 快审准解：解决此题可从两方面入手，一是函数法，对m＞0，m＜0分别讨论，从而确定g(x)在[1,3]上的单调性，求出最大值.二是分离参数，再求出对应函数在x∈[1,3]上的最大值. 当m＜0时，g(x)在区间[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0. 法二　要使f(x)＜－m＋5在区间[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m(x2－x＋1)－6＜0. 在给定区间上恒成立问题的求解策略 思维建模 策略一 若f(x)＞0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a, 即n≤a 例 6 考法(三)　给定参数范围的恒成立问题 已知a∈[－1,1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　 ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1,3) √ 解析：把不等式的左端看成关于a的函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 思维建模 考法(四)　不等式有解或能成立问题 例 7 √ 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 思维建模 针对训练 4.设f(x)＝x2＋(a－1)x＋5，若函数f(x)在区间[1,4]上的图象位于直线y＝x＋1上方，则实数a的取值范围是(　 ) A.(－2，＋∞) B.[－2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2] √ 5.若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为___________________. 特训·微专题强化 03 一元二次方程的根的分布情况 一元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图象从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑.设二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，其根的分布情况如下： 根的分布情况 m＜x1＜x2＜n m＜x1＜n＜x2＜p 只有一根在 (m，n)之间 图象的大致形状 续表 续表 1.若方程mx2＋(m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围为________________. 应用体验 解析：∵方程有两个不相等的实根， 2.(变条件)将第1题中“有两个不相等的实根”改为“有两个不相等的负根”，则m的取值范围为________. (0,1) 解析：∵方程有两个不相等的负根， 3.(变条件)将第1题中“有两个不相等的实根”改为“一个根大于0且小于1，另一个根大于1”，则m的取值范围为___________. 解析：由于方程有两个不相等的实根，所以m≠0，令f(x)＝mx2＋(m＋1)x＋m，根据题意画出满足“一个根大于0且小于1，另一个根大于1”的二次函数的大致图象，如图所示. 4.若f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4满足有两个零点且均比－1大,求m的取值范围. ∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1). 课时跟踪检测 04 1.已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　 ) A.(－2,3) B.(1,3) C.(3,4) D.(－2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：A＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2＜x＜3}，所以A∩B＝(1,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由原式得x(1－x)≥0且x≠0，解得0<x≤1，即不等式的解集为{x|0<x≤1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 3.[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则下列说法正确的有(　 ) A.a<0 B.bc<0 C.b＋c＝a D.a－b＋c>0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 因为b＋c＝－5a＋6a＝a<0，所以C正确； 因为a－b＋c＝a＋5a＋6a＝12a<0，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 8.若不等式－2<x2＋mx－m2<1的解集为(n,2)，则m－n＝(　 ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 9.若关于x的不等式x2－6x＋11－a≤0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是(　 ) A.[6，＋∞) B.(6，＋∞) C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由关于x的不等式x2－6x＋11－a≤0在区间(2,5)内有解，得a≥x2－6x＋11在区间(2,5)内有解，从而a大于等于x2－6x＋11在区间(2,5)上的最小值.令f(x)＝x2－6x＋11，x∈(2,5)，函数图象开口向上，对称轴方程为x＝3，则f(x)在(2,3)上单调递减，在(3,5)上单调递增，则f(x)min＝f(3)＝9－18＋11＝2，得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　 ) A.[－4,3] B.[－4,2] C.[－1,3] D.[－2,2] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，综上可得－4≤a≤3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 13.已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－3，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为________. (－3,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 14.若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________. －4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 15.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为________. [10,40] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：第一次操作后，剩下的纯药液为V－10， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 16.若不等式(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，则x的取值范围是__________________________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ________________ _____________ ____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 _____________ _____ _____ (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 二次函数y＝ax2＋bx＋2使函数值大于0的x范围是，则a＋b＝________. 解析：依题意知解得故a＋b＝－14. 4.(湘教必修①P55例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是________. 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0.又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 1.(忽视分母不等于0)不等式≤0的解集为__________. 解析：由≤0，则解得－2<x≤. 解析：由题意且a<0，所以b＝－a，c＝－6a， 不等式cx2－bx＋a≤0为－6ax2＋ax＋a≤0,6x2－x－1≤0， 解得－≤x≤. 不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　 ) A. B. C.(－∞，－1)∪ D.∪(1，＋∞) 解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0， 解得x<－1或x>，即不等式的解集为(－∞，－1)∪.故选C. 解析：原不等式组等价于 即即 解得故原不等式的解集为[－2，－1)∪(2,3]. ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0， 所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＞1时，不等式的解集为； 当a＜0时，不等式的解集为. 1.[多选]若关于x的二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列说法正确的是(　 ) A.a<0 B.a＋b＝－5 C.ax2＋x－b>0的解集是 D.ax2＋x－b>0的解集是∪(1，＋∞) 解析：因为ax2＋bx＋1>0的解集是，所以a<0，且ax2＋bx＋1＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝，即－＝－，＝－，解得a＝－3，b＝－2，故A、B正确； ax2＋x－b>0⇔－3x2＋x－(－2)>0，其解集为，故C正确，D不正确. 2.正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围为(　 ) A.(－4,1) B.(－∞，－1)∪(4，＋∞) C.[－1,4] D.(－∞，－1]∪[4，＋∞) 解析：正实数x，y满足＋＝1，则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立，即x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4.要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4，解得－1≤m≤4，所以实数m的取值范围是[－1,4]. ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以解集为. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为 ； 则需要满足 即解得1<k<7， 解：法一　要使f(x)＜－m＋5在区间[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立. 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]， 当m＞0时，g(x)在区间[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜； 综上所述，m的取值范围是. 又x2－x＋1＝2＋＞0，所以m＜. 因为函数y＝＝在区间[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可. 因为m≠0，所以m的取值范围是. 得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零.同理，若f(x)<0恒成立⇔ 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则(　 ) A.a≤2 B.a≥2 C.a≥ D.a≤ 解析：∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解⇔a≤max，x∈[1,2]，∵函数f(x)＝x＋在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝，∴a≤. 解析：由题意得，f(x)＝x2＋(a－1)x＋5>x＋1在区间[1,4]上恒成立，即a－2>－x－在区间[1,4]上恒成立，令y＝x＋，其图象如图所示，由图象知y≥4，所以a－2>－4，解得a>－2，故选A. 解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线， 当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即解得<x<，故x的取值范围为. 6.已知函数f(x)＝x2－x＋1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围. 解：(1)由题意得Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4，∴实数a的取值范围为[－4,4]. (2)由题意∃x∈[1,2]，使得≤x－成立.令g(x)＝x－，x∈[1,2]，则g(x)在区间[1,2]上单调递增，∴g(x)max＝g(2)＝，∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]. 根的分布情况 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 图象的大致形状 满足条件 f(m)＜0 满足条件 或f(m)·f(n)＜0 或 或 ∪(0,1) ∴即∴ ∴解得－＜m＜0或0＜m＜1. 故实数m的取值范围为∪(0,1). ∴解得0＜m＜1. 故m的取值范围为(0,1). 由图象可知，要使方程f(x)＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1， 则当m＞0时，当m＜0时，即解得－＜m＜0.故m的取值范围为. 解：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝3m＋4.由题意知 即解得 2.不等式≥0的解集为(　 ) A.{x|0≤x≤1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x≤0或x≥1} D.{x|x<0或x＝1} 解析：因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，所以a<0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为2,3，由根与系数的关系可知 结合a<0，解得b＝－5a>0，c＝6a<0，所以bc<0，所以A、B正确； 4.若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1>0的解集为∅，则实数k的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：当k＝0时，不等式化为－1>0，此时不等式无解，满足题意，当k≠0时，要满足题意，只需解得－≤k<0，综上，实数k的取值范围为. 5.对任意的x∈(1,4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是(　 ) A.[1，＋∞) B. C. D. 解析：∵对任意的x∈(1,4)，都有ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>对任意的x∈(1,4)恒成立.设f(x)＝＝－＋＝－22＋，∵x∈(1,4)， ∴<<1，∴当＝，即x＝2时，f(x)max＝.∴实数a的取值范围是. 6.若存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立，则实数m的取值范围为(　 ) A.(－∞，2) B.(－∞，0]∪ C. D.(－∞，1) 解析：①当m＝0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；②当m>0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为图象开口向上的二次函数，只需Δ＝(m－2)2－4m2＝ －3m2－4m＋4>0，即0<m<；③当m<0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为图象开口向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立.综上所述，实数m的取值范围为. 7.已知实数a为常数，且a≠0，函数f(x)＝(ax－1)(x－a).甲同学：f(x)>0的解集为(－∞，a)∪；乙同学：f(x)<0的解集为(－∞，a)∪；丙同学：f(x)的极值为负数.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的取值范围为(　 ) A.(－∞，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1，＋∞) 解析：若甲正确，则a>0，且>a，所以a2<1，则0<a<1；若乙正确， 则a<0，且a<，所以a2>1，故a<－1；若丙正确，因为f(x)是二次函数，且有两个零点，同时极值为负数，所以f(x)的图象开口向上即可，故a>0.因为只有一个同学是错误的，只能乙错，故0<a<1.故选C. 解析：因为不等式－2<x2＋mx－m2<1的解集为(n,2)，又y＝x2＋mx－m2开口向上，所以有n≤－≤2，且最小值大于－2，即－m2>－2，解得m2<.又x2＋mx－m2＝1的两个根为n,2，所以解得或当时，不符合m2<，故舍去，所以所以m－n＝0. 10.若关于x的不等式>0的解集为，则a的取值范围为(　 ) A.(－1，＋∞) B.(0,1) C.(－∞，－1) D.(－1,0) 解析：不等式>0等价于(x－1)(ax＋1)>0，设f(x)＝(x－1)(ax＋1)，显然a＝0不符合题意，若a>0，f(x)＝a(x－1)，f(x)是开口向上，零点分别为1和－的抛物线，对于f(x)>0，解集为x<－或x>1，不符合题意；若a<0，则f(x)是开口向下，零点分别为1和－的抛物线，对于f(x)>0，依题意解集为，则－<1，即a∈(－∞，－1). 12.已知不等式(4x2＋4ax＋1)(2x2＋x＋a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：因为4x2＋4ax＋1＝42＋1－a2,2x2＋x＋a＝22＋a－，令1－a2>0，即－1<a<1，此时4x2＋4ax＋1>0对于一切实数x恒成立，因此2x2＋x＋a>0对于一切实数x恒成立，所以a－>0，即a>，故<a<1；当1－a2≤0时，关于x的方程4x2＋4ax＋1＝0有实数解，即存在实数x使得(4x2＋4ax＋1)(2x2＋x＋a)＝0，不满足题意. 解析：由ax＋b>0的解集为(－3，＋∞)，可得a>0，且方程ax＋b＝0的解为－3，所以－＝－3，即b＝3a.所以ax2＋bx＝a(x2＋3x)<0⇒ x2＋3x<0⇒－3<x<0，即关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为(－3,0). 解析：∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－恒成立. 又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号.∴－≤－4， ∴a≥－4，故a的最小值为－4. 第二次操作后，剩下的纯药液为V－10－×8，由题意可知，V－10－×8≤V·60%⇒V2－45V＋200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40. (－∞，－1]∪ 1 解析：由题意知(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，等价于(x2－4x) a－3x2＋2x<0对a∈(0,1)恒成立.令g(a)＝(x2－4x)a－3x2＋2x,当x＝0时, g(a)＝0，不满足题意；当x≠0时，则 解得x≤－1或x≥. $$