第1章 第3节 不等式的性质及其应用(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

不等式的性质及其应用 第三节 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质，并掌握不等式性质的简单应用. 学习目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前·“四基”落实 课堂·题点精研 特训·微专题强化 4 课时跟踪检测 课前·“四基”落实 01 回首教材 1.比较两个实数大小的方法 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔_____；a<b⇔_____ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒_____；a<b，b<c⇒_____ 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒______；a>b，c<0⇒______ c的符号 b<a b>a a>c a<c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 续表 1.倒数性质 拓展教材 (常见结论及应用) 2.分数性质 发掘教材 A组——教材信息的发掘训练 √ √ × × √ 3.(苏教必修①P76T8改编)已知a－1>0，则下列结论正确的是(　 ) A.－1<－a<a<1 B.－a<－1<1<a C.－a<－1<a<1 D.－1<－a<1<a √ 解析：因为a－1>0，所以a>1，由不等式基本性质可得－a<－1，故－a<－1<1<a，B正确，A、C、D错误. B组——迷点盲点的澄清训练 √ 课堂·题点精研 02 题点一　比较数(式)的大小(自主练通) √ 2.设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　 ) A.b>a>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a √ 3.若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　 ) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa √ 4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为___________(用“<”表示). eπ·πe＜ee·ππ 判断两数(式)大小的方法 思维建模 作差法 ①作差；②变形；③定号；④结论 作商法 ①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论 题点二　不等式的基本性质 例 1 √ [多选]已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式一定成立的是(　 ) A.ac(a－c)>0 B.c(b－a)<0 C.cb2<ab2 D.2a>2b √ 解析：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，故B、C正确，A错误； 因为y＝2x在R上单调递增，所以2b>2a，故D错误. 例 2 √ √ 解析：∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， ∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0， ∴b＋c＝－a<0，a－b>0， ∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确； ∵a－b>0，a＋b＝－c>0，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C正确； ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误. 判断不等式成立常用的3种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (2)利用特殊值法排除错误答案； (3)构造函数，利用函数的单调性进行判断. 思维建模 针对训练 √ 解析：∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确； 取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，故B错误； √ √ √ 解析：因为a>0>b，c<d<0，则ad<0，bc>0，所以ad<bc，A错误； 因为c<d，则－c>－d，因为a>b，则a－c>b－d，C正确； 因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，D正确. 题点三　利用不等式的性质求取值范围 例 3 √ √ 例 4 32 求某些代数式取值范围的关键 (1)必须严格运用不等式的性质； (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 思维建模 针对训练 3.(2024·南通模拟)已知a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，则4a－2b的取值范围是(　 ) A.[1,5] B.[2,7] C.[1,6] D.[0,9] √ √ 特训·微专题强化 03 “糖水不等式”的应用 [典例引领] (湘教必修①P33例2)a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a＞b＞0，m＞0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 1.(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　 ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 升维训练 √ －1 3.依据糖水不等式可得出log32______log1510(用“＜”或“＞”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________________. ＜ 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：因为a，b，c，d为实数，a>b且c>d.取a＝2，b＝－2，c＝1，d＝－1，则ac＝bd，A、C都错误； 由不等式的基本性质可得a＋c>b＋d，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由a<b<0，得a2>ab>0，A正确； 由a<b<0，得－a>－b>0，则a2>b2，B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 4.若1<α<3，－2<β<4，则α－|β|的取值范围是(　 ) A.(－3,1) B.(－3,3) C.(0,3) D.(－3,5) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：因为－2<β<4，则0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.又因为1<α<3，所以－3<α－|β|<3. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 只有当c>0时，有ac>bc，若c≤0，则ac≤bc，故C错误； 由条件可知a－b>0，c2≥0，则(a－b)c2≥0，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.“lg a>lg b”是“a2>b2”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：lg a>lg b⇔a>b>0⇒a2>b2，由a2>b2⇔|a|>|b|，不能得到a>b>0，也得不到lg a>lg b，所以“lg a>lg b”是“a2>b2”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：|－5|>|2|＋1，而－5<2＋1，故A错误； ∵|a|>|b|＋1，∴|a|2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，∴a2>b2＋1>0，又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，ln a2>ln(b2＋1)，故B正确； 由B中分析得，a2>b2＋2|b|＋1，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b，∵|b|≥b，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b≥b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴a2>4b，故C正确； 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由于两个不相等的正实数a和b，满足ab>1，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即(1－a)(1－b)＝1＋ab－a－b<0，故ab＋1<a＋b，A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 P≥Q 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 14.(2024·房山模拟)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a<b<c，则ac<bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________________________. －2，－1,0(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：若a<b，当c>0时，ac<bc；当c＝0时，ac＝bc；当c<0时，ac>bc.“设a，b，c是任意实数，若a<b<c，则ac<bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－2，－1,0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 15.若实数α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________. [1,7] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，解得λ＝－1，μ＝2，所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β).又－1≤α＋β ≤1,1≤α＋2β≤3，则－1≤－(α＋β) ≤1,2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β ≤7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 (－3，－1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 同向可加性 a>b，c>d⇒___________ 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒______ 同向，同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). 1.(湘教必修①P42T4改编)判断正误. (1)如果c－a>c－b，那么a<b.(　 ) (2)若ab>c，b>0，则a>.(　 ) (3)若ac>bc，则a>b.(　 ) (4)若a>b，c>d，则a－c>b－d.(　 ) 2.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a＝＋，b＝2＋2，则a，b的大小关系是(　 ) A.a>b B.a＝b C.a<b D.无法确定 解析：因为(＋)2－(2＋2)2＝16＋2－(16＋2)＝2(－)>0，所以(＋)2>(2＋2)2，所以＋>2＋2，即a>b. 1.(忽视同向不等式相乘的条件)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　 ) A.－＞0 B.－＜0 C.＞ D.＜ 解析：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴－＞－＞0.∴－＞－＞0，故＜＜0. 2.(忽视不等式的隐含条件)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是__________. 解析：因为－<α<β<，则－<α<，－<－β <，且α－β<0，所以－π<α－β<0.所以－<(α－β)＋α<.故2α－β的取值范围是. 1.已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　 ) A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n 解析：由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n. 解析：由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，于是b－a＝1－a＋a2＝2＋>0，即b>a.而c－b＝(2－a)2≥0，且三个实数a，b，c互不相等，因此c>b，所以a，b，c的大小关系是c>b>a. 解析：∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1.由c<cb<ca<1，得0<a<b<1.∵＝aa－b>1，∴ab<aa.∵＝a,0<<1，a>0，∴a<1，即aa<ba，综上可知，ab<aa<ba，故选C. 解析：＝＝π－e，又0＜＜1,0＜π－e＜1，所以π－e＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. [多选]已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　 ) A.> B.a－c>2b C.a2>b2 D.ab＋bc>0 ∴<，A错误； 1.(2024·北京朝阳统考)若a>0>b，则(　 ) A.a3>b3 B.|a|>|b| C.< D.ln(a－b)>0 取a＝1，b＝－2，则<不成立，故C错误； 取a＝，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误. 2.[多选]若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　 ) A.ad>bc B.＋<0 C.a－c>b－d D.a(d－c)>b(d－c) 因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以－ac>－b· (－d)＝bd，则ac＋bd<0，cd>0，所以＋＝<0，B正确； [多选]已知3<a<6,1<b<5，则(　 ) A.∈ B.∈ C.a－2b∈(－4,1) D.a－2b∈(－7,4) 解析：∵1<b<5，∴－10<－2b<－2，<<1.又3<a<6，∴－7<a－2b<4，<<6，即∈，a－2b∈(－7,4)，∴B、D正确. 设x，y为实数，满足2≤xy2≤3,3≤≤4，则的最大值是_____. 解析：＝3，∵3≤≤4，∴27≤3≤64，∵2≤xy2≤3，∴≤≤，根据不等式的性质得9≤3≤32，即的最大值为32，当且仅当即时取到. 解析：设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b).又a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，所以3(a－b)∈[0,3]，4a－2b∈[2,7].故B正确. 4.已知b<a<－3b，则的取值范围为(　 ) A.(0,3) B.[0,3) C.(3，＋∞) D.(1,3) 解析：因为b<a<－3b，所以b<0，则<0，将不等式b<a<－3b的两边同时乘以可得，－3<<1，所以0≤<3，故选B. 解题观摩：因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为＞，其中a＞b＞0，m＞0.下面用作差比较法给出证明.－＝＝.因为a，b，m都是正数，且a＞b，所以a＋m＞0，a－b＞0.所以＞0，即＞. 解析：∵a＝log53＝<＝<＝b，a＝log53＝<＝<＝c，由以上知a最小.结合选项可知选A. 2.糖水不等式：<(a>b>0)成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：<(c≠－2)不成立的c的值可以是________(只需填满足题意的一个值即可). 解析：由<得<0，即c(2＋c)>0，解得c<－2或c>0，则当c<－2或c>0时，不等式<(c≠－2)成立，所以<(c≠－2)不成立的c的值可以是－1. ＞ 解析：①因为0＜log32＜1，所以可得log32＝＜＝＝log1510；②由①可得log32＜log1510⇒＜＝，即＞. 1.(2024·汉中期末)已知a，b，c，d为实数，a>b且c>d，则下列不等式一定成立的是(　 ) A.ac>bd B.a＋c>b＋d C.ac<bd D.< 取a＝2，b＝－2，则>，D错误. 2.已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a＋b>0 D.a＋b<0 解析：因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0. 3.如果a<b<0，那么下列式子一定成立的是(　 ) A.a2>ab B.a2<b2 C.<1 D.< 由a<b<0，得>1，C错误； 由a<b<0，得<，即<，D错误. 5.已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为 (　 ) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M，N大小关系不确定 解析：M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，∴M<N. 6.若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　 ) A.< B.<0 C.ac>bc D.(a－b)c2≥0 解析：当a＝1，b＝－1时，此时a>b，但不满足<，故A错误； 若c＝0，则＝0，故B错误； 8.已知0<a<b<1，设m＝bln a，n＝aln b，p＝ln，则m，n，p的大小关系为(　 ) A.m<n<p B.n<m<p C.p<m<n D.p<n<m 解析：因为0<a<b<1，则>1，且ln a<ln b<0，即有>1，因此，ln>0，即p>0.又m<0，n<0，则＝＝·>1，于是得m<n<0，所以m<n<p. 9.[多选]设实数a，b满足1≤ab≤4,4≤≤9，则(　 ) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 解析：1≤ab≤4,4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确； 由题得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误； 因为1≤a2b2≤16,4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确； 因为1≤a2b2≤16，≤≤，所以两式相乘得≤ab3≤4，D错误.故选AC. 10.[多选]已知非零实数a，b满足|a|>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　 ) A.a>b＋1 B.ln a2>ln(b2＋1) C.a2>4b D.>1 由a2>b2＋2|b|＋1，∴|a|2>|b|2，即>1，∴>1，故D正确. 11.[多选]已知<<0，则下列不等式一定成立的有(　 ) A.>1 B.<0 C.< D.bc<ba 解析：由<<0，得c≠0，当c>0时，得0>>，即a<b<0；当c<0时，得0<<，即a>b>0，综上a<b<0<c或a>b>0>c，上述两种情况均可得0<<1，故A错误； 当a<b<0<c时，得<0，当a>b>0>c时，得<0，故B正确； 令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得>，故C错误； 由上述论证可知bc<0<ba恒成立，故D正确. 12.[多选]已知不相等的两个正实数a和b，满足ab>1，则下列不等式正确的是(　 ) A.ab＋1>a＋b B.log2(a＋b)>1 C.a＋<b＋ D.a＋b>＋ 由题意得a＋b>2>2，所以log2(a＋b)>1，B正确； a＋－＝a－b＋－＝(a－b)，其中1－>0，但不知道a和b的大小关系，故当a>b时，a＋>b＋，当a<b时，a＋<b＋，C错误； a＋b－＝(a＋b)，其中1－>0，a＋b>0，所以a＋b－＝(a＋b)>0，即a＋b>＋，D正确. 13.已知P＝a2＋a＋1，Q＝(a∈R)，则P，Q的大小关系为________. 解析：因为P＝a2＋a＋1＝2＋>0，a2－a＋1＝2＋>0，则Q>0，由＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q. 16.已知a＞b＞c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是_____________. 解析：因为a＞b＞c,2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3.将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即c＜－a，得＜－1，所以－3＜＜－1. $$