精品解析：湖北省孝感市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

湖北省孝感市2023-2024学年九年级上册数学期末模拟试题 满分120分 一．选择题（共8小题，满分24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3. 已知是实数，则多项式的最小值为（    ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切． A. B. C. D. 6. 一个不遇明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摆出一个小球．下列判断正确的是（ ） 甲：摸到红球比摸到黄球的可能性大；乙：摸到红球的概率为 A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都不对 C. 只有甲对 D. 只有乙对 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共8小题，满分24分） 9. 已知点与点关于原点对称，则_____． 10. 在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则估计袋子中的红球的个数为_______________． 11. 将一个篮球放在高为的长方体纸盒内，发现篮球的一部分露出纸盒，其截面如图所示，若测得，则该篮球的半径为______cm． 12. 在平面直角坐标系中，若，，是二次函数图像上的三点，则，，的大小关系是______．（用“”号连接）． 13. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为______ ． 14. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 15. 在中， ，将绕A点逆时针旋转30°后得到，则图中阴影部分面积是______． 16. 如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为____________． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（-2、-2）、请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______； （2）的面积为______； （3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为，，则旋转中心的坐标为______，并在网格中画出旋转后的． 19. 某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题： （1）图中m的值为______，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于______； （2）统计的这组数据的平均数是______万元，中位数是______万元，众数是______万元； （3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解） 20. 如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长； （3）当点F为的中点时，直接写出的值． 21. 戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．设每盒售价降低元． （1）日销量可表示为____________盒，每盒口罩利润为____________元 （2）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． （3）如果每销售一盒口罩需支出元的相关费用，当时，商家日获利的最大值为420元，求的值． 22. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动． （1）探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则度数是 ． （2）类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 23. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省孝感市2023-2024学年九年级上册数学期末模拟试题 满分120分 一．选择题（共8小题，满分24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 2. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误； 故选∶ A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知是实数，则多项式的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式配方后讨论最值即可． 【详解】解： ． ， ， 的最小值是， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式配方的应用，判断实数是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数顶点式的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】解：先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度， 可得：， 即， 故选：D． 5. 如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切． 【详解】解：当时，直线与相切． 理由如下： 作AF交圆O于F点，连接BF． ∵∠F，∠C是同弧AB所对的角， ∴∠C＝∠F， ∵∠BAE＝∠C， ∴∠BAE＝∠F， ∵AF为直径， ∴∠ABF＝90°， ∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°， ∵∠F＝∠BAE， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴FA⊥DE， ∴直线DE与⊙O相切． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°． 6. 一个不遇明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摆出一个小球．下列判断正确的是（ ） 甲：摸到红球比摸到黄球的可能性大；乙：摸到红球的概率为 A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都不对 C. 只有甲对 D. 只有乙对 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到红球的个数，然后即可得到摸到红球比摸到黄球的可能性大，以及摸到红球的概率，从而可以判断甲和乙的说法是否正确． 本题考查概率公式、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答． 【详解】解：∵不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球， ∴盒子中有个红球， 则摸到红球比摸到黄球的可能性大，故甲的说法正确， 摸到红球的概率为，故乙的说法正确， 故选：A． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干和图像可得，该抛物线的对称轴是，即；点的对称点坐标是；． 将代入该抛物线解析式可判断结论①； 根据和将代入抛物线解析式得到的，联立可求得 、的数量关系，根据可求的范围，以此判断结论②； 将顶点代入抛物线解析式得到，等量替换后得到与的关系再判断范围，以此判断结论③； 综合和、和的数量关系式，解一元二次方程即可判断结论④； 结合二次函数图象中可得，二次函数最小值为，则当时，有，结合、与数量关系式即可判断结论⑤． 【详解】解：依题得：该抛物线的对称轴是，即； 点的对称点坐标是；． 时，有，即， ①错误； ， ， 又将代入抛物线解析式中得， ，即， 又， ， ， ②正确； 将顶点坐标代入抛物线解析式中得， 即， ， 又， ，则， ③正确； 一元二次方程即， 即， 可解得，， ④一元二次方程的两个根分别为，正确； 时，在该抛物线中有， ， ， ， ⑤（其中）正确； 综上，②③④⑤正确，故正确的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、解一元二次方程、不等式，解题关键是熟练掌握二次函数的图形与性质，运用数形结合思想分析问题． 二．填空题（共8小题，满分24分） 9. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 10. 在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则估计袋子中的红球的个数为_______________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据频率估算出概率，然后计算即可． 【详解】解：（个， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握概率知识是解题的关键． 11. 将一个篮球放在高为的长方体纸盒内，发现篮球的一部分露出纸盒，其截面如图所示，若测得，则该篮球的半径为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点为，作于点，取上的球心为，连接，设，，在中，利用勾股定理可求得篮球的半径 【详解】解：如下图所示：取的中点为，作于点，取上的球心为，连接，设，， ∴， ∴ 中利用勾股定理可得：， 将代入中可得：， 化简整理求得： 故答案为：， 【点睛】本题主要考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， 12. 在平面直角坐标系中，若，，是二次函数图像上的三点，则，，的大小关系是______．（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得出其对称轴与开口方向，然后根据点与对称轴的距离进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， 则离对称轴越远的点函数值越大， ∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质得出对称轴与开口方向是解本题的关键． 13. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，过作于，由圆的内接正十二边形的性质，进而求出，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∵圆的内接正十二边形的中心角为， ∴， ∵， ∴， ∴, 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 【答案】3.5 【解析】 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米， 故答案为：3.5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 15. 在中， ，将绕A点逆时针旋转30°后得到，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＋的面积－的面积进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＋的面积－的面积， ∵绕A点逆时针旋转30°后得到， ∴的面积＝的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，以及扇形的面积．熟练掌握旋转的性质和扇形的面积是解题的关键． 16. 如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为____________． 【答案】cm 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：（cm）， 故答案为：cm． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）将方程化为一般式，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 即， 解得，； 【小问2详解】 解： 即 解得：，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 18. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（-2、-2）、请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______； （2）的面积为______； （3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为，，则旋转中心的坐标为______，并在网格中画出旋转后的． 【答案】（1）（2，2） （2）2.5 （3）（0，-1），图形见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征求解，即可； （2）利用割补法求三角形的面积，即可； （3）连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求的旋转中心，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与△ABC关于坐标原点O成中心对称， ∴点B和点关于坐标原点对称， ∵B（-2、-2）， ∴的坐标为（2，2）； 故答案为：（2，2）； 【小问2详解】 解：根据题意得：的面积等于△ABC的面积， ∴的面积等于； 故答案为：2.5 【小问3详解】 解：如图，连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为（0，-1）； 故答案为：（0，-1） 如图，即为所求． 【点睛】本题考查了图形的变换——旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型． 19. 某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题： （1）图中m的值为______，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于______； （2）统计的这组数据的平均数是______万元，中位数是______万元，众数是______万元； （3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级概率是多少？（用列表法或树形图求解） 【答案】（1）28； （2）；18；21 （3） 【解析】 【分析】（1）用1减去其他情况所占的百分数，用乘上12万元所占的百分数； （2）所有数据加起来除以数据的个数等于平均数，将一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，奇数个数据最中间的数据即为中位数，偶数个数据最中间两个数据的和的平均数即为中位数，一组数据中出现次数最多的数据即为众数； （3）用列表法将所有情况列出来即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ， ； 故答案为：28；； 【小问2详解】 解：， 平均数为万元， 抽查了25名营业员， 中位数为从大到小排列后的第13个数据， 中位数为18万元， 21出现次数最多，出现了8次， 众数21万元； 故答案为：；18；21； 【小问3详解】 解：A等级3人，B等级2人，列表如下： 一共有20种等可能结果，至少有一个是A等级的有18种， ∴P（至少有一个是A等级）． 【点睛】本题考查了数据的分析和概率的计算，正确理解并掌握平均数、中位数、众数的概念，能熟练用列表法求概率是解决问题的关键． 20. 如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长； （3）当点F为的中点时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，证明为直角，由可得，结合，证明，即可得证； （2）先求出证明，可得，结合，表示出，即可求解； （3）如图，延长交于H，连接，证明，设的半径为r,可得，再利用正切的定义进行计算即可； 【小问1详解】 连接， ∵为的切线， ∴， ∵为直径，点C在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 如图，延长交于H，连接， ∵为直径，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， 设，的半径为r， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆的综合应用，勾股定理的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21. 戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．设每盒售价降低元． （1）日销量可表示为____________盒，每盒口罩的利润为____________元 （2）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． （3）如果每销售一盒口罩需支出元的相关费用，当时，商家日获利的最大值为420元，求的值． 【答案】（1）， （2）当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练建立二次函数解析式是解答本题的关键． （1）利用日销售量降低价格，每盒口罩的利润=售价进价，即可求出结论； （2）根据日利润=日销售量×每盒口罩利润建立二次函数，再根据二次函数的性质解答即可． （3）设当每盒降价为x元时，商家获得的利润为W元，，再利用二次函数的性质，结合当时，商家日获利的最大值为420元，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒， ∴降低x元，销售量增加盒， 那么日销售量为盒，每盒口罩利润为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 设当每盒降价为x元时，商家获得的利润为W元， 由题意可知：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，W有最大值，即元， ∴售价应定为元， 答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元． 【小问3详解】 设当每盒降价为x元时，商家获得的利润为W元， 由题意可知：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，W随着x的增大而增大， ∴时函数取最大值， 又∵当时，商家日获利的最大值为420元， ∴， 解得：． 22. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动． （1）探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． （2）类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论． 【小问1详解】 解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），面积最大为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$