1.2矩形的性质与判定（第2课时）课堂练习-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定（第2课时）课堂练习 一．选择题 1．如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　） A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形 2．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形 4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论正确的是（　　） A．当AC⊥BD时，它是矩形 B．当AB＝BC时，它是矩形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是矩形 5．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　） A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框的对角线相等 C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 6．在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 7．如图所示，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是其边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是矩形，则下列说法正确的是（　　） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD一定是平行四边形 C．AC⊥BD D．AC＝BD 8．用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（　　） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2． ④量出两条对角线长，看是否相等． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 9．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 10．已知□ABCD的对角线相交于点O，若要使□ABCD成为矩形，可添加下列哪个条件（　　） A．AB＝AD B．∠ADB＝∠CDB C．AO＝BO D．AC⊥BD 11．小强和小壮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小强补充的条件是∠A＝∠B；小壮补充的条件是∠A+∠C＝180°．你认为下列说法正确的是（　　） A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误 二．填空题 12．如图，用对边长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是 　 　． 13．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 　 　，使▱ABCD为矩形． 14．如图，直角∠AOB内的任意一点P，到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 　 　． 15．四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点E在AB的延长线上，作EF∥BD，交BC边于点F． 如图，设对角线AC，BD交于点O，F为BC的中点． ①若OF＝1，则AE＝　 　； ②当∠CDB＝　 　°时，四边形OBEF是矩形． 16．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是　 　． 17．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 　 　.（只要写出一个条件即可） 18．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 　 　． 三．解答题 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝10cm，AC＝16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s． （1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形： （2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由． 20． 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形ABCD是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面ABCD是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边AD，BC，CD，AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形ABCD是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米，则四边形ABCD是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形ABCD是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2矩形的性质与判定（第2课时）课堂练习（解析版） 一．选择题 1．如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　） A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形 【解答】解：由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记AC、BD的交点为O， 由图可知，OA＝OD，OB＝OC，OA、OB的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 2．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形 【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确； 如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误； 如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确． 故选：C． 4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论正确的是（　　） A．当AC⊥BD时，它是矩形 B．当AB＝BC时，它是矩形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是矩形 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C、如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCA， ∵∠BAO＝∠DAO， ∴∠BAO＝∠BCA， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故符合题意； 故选：D． 5．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　） A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框的对角线相等 C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 【解答】解：A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误； B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误； C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误； D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确． 故选：D． 6．在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【解答】四边形AECF是矩形； 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 故选：B． 7．如图所示，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是其边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是矩形，则下列说法正确的是（　　） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD一定是平行四边形 C．AC⊥BD D．AC＝BD 【解答】解：∵点E、F、G、H分别是其边AB、BC、CD、DA的中点， ∴四边形EFGH一定是平行四边形， ∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； 故选：C． 8．用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（　　） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2． ④量出两条对角线长，看是否相等． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【解答】解：①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确，符合题意； ②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确，符合题意； ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误，不符合题意； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误，不符合题意； 综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②． 故选：D． 9．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 10．已知□ABCD的对角线相交于点O，若要使□ABCD成为矩形，可添加下列哪个条件（　　） A．AB＝AD B．∠ADB＝∠CDB C．AO＝BO D．AC⊥BD 【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：C． 11．小强和小壮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小强补充的条件是∠A＝∠B；小壮补充的条件是∠A+∠C＝180°．你认为下列说法正确的是（　　） A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C， 当∠A＝∠B时， ∴∠A＝∠B＝90° ∴平行四边形ABCD是矩形； 当∠A+∠C＝180°时， ∴∠A＝∠C＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故选：A． 二．填空题 12．如图，用对边长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是 　对角线相等的平行四边形是矩形　． 【解答】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴该图形是平行四边形， 再令对角线相等，就满足对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 13．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 　AC＝BD　，使▱ABCD为矩形． 【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形． 故答案为：AC＝BD． 14．如图，直角∠AOB内的任意一点P，到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 　12　． 【解答】解：图中有3个直角，可得到此四边形是矩形，那么周长＝2×邻边之和＝12．故答案为12． 15．四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点E在AB的延长线上，作EF∥BD，交BC边于点F． 如图，设对角线AC，BD交于点O，F为BC的中点． ①若OF＝1，则AE＝　3　； ②当∠CDB＝　90　°时，四边形OBEF是矩形． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴点O为AC的中点， ∵点F为BC的中点， ∴OF为△CAB的中位线， ∴OF∥AB，OF＝AB． ∵EF∥BD， ∴四边形OBEF为平行四边形． ①∵OF＝1， ∴BE＝OF＝1，AB＝2OF＝2， ∴AE＝AB+BE＝3． 故答案为：3． ②∵四边形OBEF是矩形， ∴∠BOF＝90°， ∵OF∥AB∥CD， ∴∠CDB＝∠BOF＝90°． 故答案为：90． 16．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是　矩形　． 【解答】证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC， ∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ， ∴∠BAC＝∠MAC、∠DCA＝∠ACQ， 又∵∠MAC＝∠ACQ， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC， ∴∠BCA＝∠ACP、∠DAC＝∠NAC， 又∵∠ACP＝∠NAC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∴AD∥CB， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵∠BAC＝∠MAC，∠ACB＝∠ACP， 又∵∠MAC+∠ACP＝180°， ∴∠BAC+∠ACP＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：矩形． 17．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 　CD＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE　.（只要写出一个条件即可） 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED为平行四边形， 添加CD＝BE， ∴▱DBCE为矩形； 添加∠ADB＝90°， ∴∠EDB＝90°， ∴▱DBCE为矩形； 添加CE⊥DE， ∴∠CED＝90°， ∴▱DBCE为矩形． 故答案为：CD＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE． 18．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 　32　． 【解答】解：∵四边形BCDE是矩形， ∴BC＝DE，BE＝CD， 由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF， ∴BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4， ∴BC＝DE＝4+4＝8， ∴S△ABC＝S矩形BCDE＝BC•BE＝8×4＝32， 故答案为：32． 三．解答题 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝10cm，AC＝16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s． （1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形： （2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动， ∴AE＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形能为矩形．理由如下： 分为两种情况： ①∵四边形DEBF是矩形， ∴BD＝EF＝10cm， 即AE＝CF＝0.5t cm， 则16﹣0.5t﹣0.5t＝10， 解得：t＝6； ②当E到F位置上，F到E位置上时，AE＝CF＝0.5t cm， 则0.5t﹣10+0.5t＝16， 解得：t＝26， 即当运动时间t＝6s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 20． 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形ABCD是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面ABCD是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边AD，BC，CD，AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形ABCD是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米，则四边形ABCD是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形ABCD是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【解答】解：（1）∵AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米， ∴AD2+AB2＝602+802＝1002＝BD2， ∴∠A＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； （2）小华的检验方法是：检测对角线AC、BD是不是相等即可， 理由：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$