8.2 一元线性回归模型及其应用(第2课时)课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

学校：上虞中学 教师：高二数学备课组 《一元线性回归模型及其应用(第2课时)》 虞 中 数 谈 工 作 室 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用公式(2)求得的 叫做b, a的最小二乘估计. 这里的“二乘”是平方的意思. 例.(多选题)某种产品的价格x(单位:元/kg)与日需求量y(单位:kg)之间的对应数据如下表所示:   x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 对于上表中的数据，利用公式(2)可以计算出 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 相应的经验回归直线如下图所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 商店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润额y/百万元 2 3 3 4 5 例1 .某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表: (1) 画出销售额和利润额的散点图； (2) 计算利润额y对销售额x的经验回归直线方程. 解：(1) 散点图如下: 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 ∴所求经验回归方程为 解1：(2) 商店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润额y/百万元 2 3 3 4 5 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 ∴所求经验回归方程为 解2：(2) 商店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润额y/百万元 2 3 3 4 5 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 求经验回归方程的步骤： 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 思考1 : 已知儿子身高关于父亲身高x的经验回归方程为 如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm吗? 为什么? 显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高. 不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体的均值的估计值. 这里的经验回归方程 其斜率可以解释为父亲身高每增加1 cm，其儿子身高平均增加0.839cm. 分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高，例如 x=185(cm)，则 =184.172(cm). 矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如 x=170(cm)，则 =171.587(cm). 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的)称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 残差分析： 例如，对于下表中的第6个观测，父亲身高为172cm，其儿子身高的观测值 为y6=176(cm)，预测值为 残差为176-173.265=2.735(cm). 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 类似地，我们还可以得到其他的残差，如下表所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 编号 父亲身高/cm 儿子身高观测值/cm 儿子身高预测值/cm 残差/cm 1 174 176 174.943 1.057 2 170 176 171.587 4.413 3 173 170 174.104 －4.104 4 169 170 170.748 －0.748 5 182 185 181.655 3.345 6 172 176 173.265 2.735 7 180 178 179.977 －1.977 8 172 174 173.265 0.735 9 168 170 169.909 0.091 10 166 168 168.231 －0.231 11 182 178 181.655 －3.655 12 173 172 174.104 －2.104 13 164 165 66.553 －1.553 14 180 182 179.977 2.023 残差表： 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图下所示. 残差图： 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 160 165 170 175 180 185 残差/cm 父亲身高/cm • • • • • • • • • • • • • • 型是否满足一元线性回归模型的假设. 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策. 观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边. 说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值. 可见，通过观察残差图可以直观判断模 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 思考2： 观察下列四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定? 通过观察发现，图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内. 所以在四幅残差图中，只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 例2.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间的一组观察值如表. (1) 画出散点图； (2) 求y关于x的经验回归方程； (3) 利用经验回归方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少． 解：(1) 散点图如图所示， 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 ∴y关于x的经验回归方程为 解： (3) 根据(2)求得的经验回归方程，当腐蚀时间为100s时， 即腐蚀时间为100s时腐蚀深度为约35.76μm. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 例1.经验表明，一般树的胸径 (树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大， 树就越高 . 由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高 . 在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 例. 根据下面数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7   上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 解: 以胸径为横坐标，树高为纵坐标作散点图如下： 在右图中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. 用d表示胸径 , h表示树高 , 根据据最小二乘法 , 计算可得经验回归方程为 相应的经验回归直线如图所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 1 18.1 18.8 19.4 -0.6 2 20.1 19.2 19.9 -0.7 3 22.2 21.0 20.4 0.6 4 24.4 21.0 20.9 0.1 5 26.0 22.1 21.3 0.8 6 28.3 22.1 21.9 0.2 7 29.6 22.4 22.2 0.2 8 32.4 22.6 22.9 -0.3 9 33.7 23.0 23.2 -0.2 10 35.7 24.3 23.7 0.6 11 38.3 23.9 24.4 -0.5 12 40.2 24.7 24.9 -0.2 根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如下表所示. 以胸径为横坐标, 残差为纵坐标, 作残差图, 得到下图. 观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 . 可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高. 0 0.5 1.0 -0.5 -1.0 15 20 25 30 35 40 残差/m 胸径/cm • • • • • • • • • • • • • • 45 (2) 问题: 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据. 试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 1. 画散点图： 由散点图可知，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型 建立经验回归方程. 根据最小二乘法，由表中数据可得经验回归 方程为 2. 求经验回归方程： 将经验回归方程叠加到散点图，如图(3)所示. 由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 3. 修改模型： 对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征. 仔细观察图形，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近. 回顾已有的函数知识，可以发现函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征. 注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线 的周围. 其中c1和c2为未知参数，且c2 < 0. 用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c1, c2 是待定参数. 现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2，我们引进一个中间变量x， 令x=ln(t-1895). 通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据(精确到0.01)，如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 Y/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 作出上表的散点图： 由散点图可知，现在散点的分布呈现出很强的线性相关特征，故可以一元线性回归模型 建立经验回归方程. 因此，用一元线性回归模型 拟合上表中的数据，得到经验回归方程 在上图中画出经验回归直线，如图所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图像(蓝色)以及经验回归方程①的图像(红色)，如图所示. ② 我们发现，散点图中各散点都非常靠近②的图像, 表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①. 下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏. 用ti表示编号为i的年份数据，用yi表示编号为i的纪录数据，则经验 回归方程①和②的残差计算公式分别为 两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示. 观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 0.591 -0.284 -0.301 -0.218 -0.196 0.111 0.092 0.205 -0.001 0.007 -0.012 0.015 -0.018 0.052 -0.021 -0.022 在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反. 可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果. 由 可知Q2小于Q1. 因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型 的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 决定系数R2： 通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果. 决定系数R2的计算公式为 在R2表达式中，由于 与经验回归方程无关，残差平方和 与经验回归方程有关，因此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好； R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 显然0≤R2≤1 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 0.591 -0.284 -0.301 -0.218 -0.196 0.111 0.092 0.205 -0.001 0.007 -0.012 0.015 -0.018 0.052 -0.021 -0.022 由上述残差表可算出经验回归方程①和②的决定系数R2分别为 由于 因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题 1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2.我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3.样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 事实上, 它是预报变量的可能取值的平均值. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室   上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室   上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 x -2 -1 0 1 2 Y 5 ? 2 2 1 3.某奶茶店的日销售收入Y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃) 之间的关系如表:通过上面的五组数据得到了x与Y之间的经验回归方 程y＾=-x+2.6,但是现在丢失了一个数据,该数据应为　　　　.  上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室   上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室     上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.   上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 $$