8.2 一元线性回归模型及其应用(第1课时)课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

学校：上虞中学 教师：高二数学备课组 《一元线性回归模型及其应用》 虞 中 数 谈 工 作 室 恩格尔系数(Engel’s Coefficient)是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 问题　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 提示　为了对两个变量线性相关关系进行预测，我们通常建立一元线性回归模型进行预测． 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 3 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测. 下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题. 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高. 为了进一步研究两者之间的关系， 有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图，如右图所示. 由图可知散点大致分布在一条从左下 角到右上角的直线附近，表明儿子身 高和父亲身高线性相关. 利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 思考1： 根据数据，父子的身高之间的关系可以用函数模型刻画吗? 儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，故不能用函数模型刻画. 但由于父子的身高有较强的线性相关，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型. 若用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0. 追问1：为什么要假设E(e)=0，而不假设其为某个不为0的常数？     追问2：你能结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型(1)的意义吗？ 追问3：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？     思考2： 结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗? 在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差e的原因有: (1) 除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； (2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差； (3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因. 在一元线性回归模型y＝bx＋a＋e中，随机误差e产生的原因有： 1. 所用的确定性函数不恰当引起的误差； 2. 忽略了某些因素的影响； 3. 存在观测误差． 总结： 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精讲 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 例题. 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单元：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过多少？ 解：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型 y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到 y＝0.7 x＋3＋e， 当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5， 所以年支出预计不会超过10.5亿元． 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究: 利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如图(1)所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 方法二： 在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图(2)所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如图(3)所示. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径. 先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), ‧‧‧, (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ‧‧‧, n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi , bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示. 特别地，当ei = 0时，表示点(xi , yi)在这条直线上. 因此，可以用这n个竖直距离之和 来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和 来刻画“整体接近程度”. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 所以我们可以取使Q达到最小的a和b的值作为截距和斜率的估计值. 要使Q取到最小值，则 ∴要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 综上，当a, b的取值为 时，Q达到最小. 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用公式(2)求得的 叫做b, a的最小二乘估计. 这里的“二乘”是平方的意思. $$