专题03 直线方程最值问题五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题03 直线方程最值问题五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、斜率最值问题 1 类型二、点到直线最值问题 2 类型三、平行直线最值问题 2 类型四、两线段和与差的最值问题 2 类型五、与其他章节融合……………………………………………………………3 压轴能力测评（10题） 3 1. 斜率最值问题 斜率最值的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 2.点到直线最值问题 公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 3.平行直线最值问题 公式：两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝” 4. 两线段和与差的最值问题 (1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 类型一、斜率最值问题 例．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【变式训练2】若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 类型二、点到直线最值问题 例．对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______． 【变式训练1】点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式训练2】已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是______． 类型三、平行直线最值问题 例．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【变式训练1】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 类型四、两线段和与差的最值问题 例．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【变式训练2】已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】已知，点为轴上一动点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 类型五、与其他章节融合 例．在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【变式训练1】在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（　　） A．3 B． C．5 D． 【变式训练2】设为动点到直线的距离，则的最大值为（　　） A． B． C． D．3 1．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（　　） A． B． C． D．1 3．已知直线与直线垂直，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．5 D． 5．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 6．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为 . 7．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 . 8．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 9．已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 10．已知，满足，则的最小值为___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线方程最值问题五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、斜率最值问题 2 类型二、点到直线最值问题 4 类型三、平行直线最值问题 5 类型四、两线段和与差的最值问题 5 类型五、与其他章节融合 7 压轴能力测评 9 1. 斜率最值问题 斜率最值的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 2.点到直线最值问题 公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 3.平行直线最值问题 公式：两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝” 4. 两线段和与差的最值问题 (1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 类型一、斜率最值问题 例．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【详解】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 所以， 解得. 故选：A. 【变式训练1】已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【答案】0 【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的最大值. 【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 在中， 令，得，令，得， 依题意可得，即， 解得或； 直线的方程可化为，所以， 所以，所以直线过定点， 所以，由直线可得：， 若不经过第三象限，则， 故答案为：0. 【变式训练2】若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 【答案】B 【分析】把,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，对照图象可得答案． 【详解】 由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，结合图象可知当时，>>． 故选：B 类型二、点到直线最值问题 例．对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意，直线，即 ， 所以 ，解得 ， 所以直线过定点， 当垂直直线时，取得最大值 ， 当直线过点时，取得最小值， ∴的取值范围 . 故答案为：． 【变式训练1】点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【详解】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为. 故选：B. 【变式训练2】已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是______． 【答案】A 【解析】联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是, 故答案为： 类型三、平行直线最值问题 例．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】由可得过定点，由可得过定点. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离. 故答案为：. 【变式训练1】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C 类型四、两线段和与差的最值问题 例．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 【变式训练1】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即， 则可知当三点共线时，取得最小值， 即. 故选：B. 【变式训练2】已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A关于直线的对称点的坐标为， 则， ∴最小． 故选：B 【变式训练3】已知，点为轴上一动点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知点关于轴的对称点为， ，直线方程为，令得， 所以直线与轴交点为， ，当且仅当是与轴交点时等号成立． 故选：A． 类型五、与其他章节融合 例．在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【答案】； 【解析】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为，所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练1】在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案. 【详解】将直线的方程变形得，由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，  所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形，且，设，，则， 四边形OMPN的面积为， 当且仅当，即当时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为， 故选：D 【变式训练2】设为动点到直线的距离，则的最大值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得. 【详解】点到直线的距离, 因为,则, 所以当时. 故选：C 1．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】依题意可知， 关于直线的对称点为，， 即求的最大值， ， 当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为， 也即的最大值是. 故选：A 2．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值. 【详解】过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 3．已知直线与直线垂直，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，所以， 当且仅当或时等号成立． 即的最小值为4， 故选：B 4．已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】求折线段长度的最小值一般通过作对称点的方法解决，本题分别作关于的对称点，此时和分别交于，得到，此时的长即为所求最小值. 【详解】首先易得到方程为，关于即轴的对称点记做，显然，设关于的对称点为，于是，且中点在上，即，解得，即，此时和分别交于，此时的周长的最小，最小值为.若两点不这样取，例如如图所示取这样的，则的周长为折线段之和，即有 . 故选：A 5．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：ABC. 6．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，. 【详解】解： 设点关于直线：的对称点为 线段的中点在上 则 又， 解得， 故答案为： 7．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据数形结合，结合三角函数知识即可求得的最大值. 【详解】如图所示： 作交于点，作交于点， 可得四边形为矩形， ， 故可设， ，其中， 当取最大值1时，取最大值. 故答案为： 8．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 9．已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】5 【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和. 如图，设点N关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最小，即最小 所以的最小值为. 故答案为：5. 10．已知，满足，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，过点作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$