专题04 圆中的范围与最值问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题04 圆中的范围与最值问题五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、圆上动点与定点的最值问题 1 类型二、直线上动点与圆心的最值问题 2 类型三、动直线斜率的最值问题的最值问题 2 类型四、动直线截距的最值问题 3 类型五、距离平方的最值问题………………………………………………………3 压轴能力测评（10题） 3 1.圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 2.直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 3.动直线斜率的最值问题的最值问题 形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 4.动直线截距的最值问题 形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题” 5.距离平方的最值问题 形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 类型一、圆上动点与定点的最值问题 例．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．15 【变式训练1】（多选）已知圆心为的圆与点，则（ ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点与圆上任一点距离的最大值为 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【变式训练2】已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 【变式训练3】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为 . 类型二、直线上动点与圆心的最值问题 例．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】若过直线上一点向圆：作一条切线切于点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【变式训练2】已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________. 类型三、动直线斜率的最值问题 例．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式训练2】若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型四、动直线截距的最值问题 例．已知实数满足，则的最大值是（ ） A． B．4 C． D．7 【变式训练1】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在中，已知，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则（ ） A．"欧拉线"方程为 B．圆上点到“欧拉线”的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是1 D．若点在圆上，则的取值范围是 【变式训练2】点在圆上，则的范围是_______． 类型五、距离平方的最值问题 例．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 . 【变式训练1】已知实数、满足方程，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 1．已知实数a，b满足，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．16 2．直直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．已知点P在圆上，点，，则错误的是（ ） A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时， 5．（多选）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 6．（多选）已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ） A．若圆关于直线对称，则 B．存在直线与所有的圆都相切 C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为 D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4 7．过点P(-3，1)作直线m(x-1)+n(y-1)=0的垂线，垂足为点M，若定点N(3，4)，那么的最小值为________． 8．已知点，，若，则点P到直线距离的最小值为 ． 9．已知是圆上两点，若，则的最大值为 . 10．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆中的范围与最值问题五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、圆上动点与定点的最值问题 1 类型二、直线上动点与圆心的最值问题 3 类型三、动直线斜率的最值问题的最值问题 5 类型四、动直线截距的最值问题 6 类型五、距离平方的最值问题………………………………………………………8 压轴能力测评（10题） 9 1.圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 2.直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 3.动直线斜率的最值问题的最值问题 形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 4.动直线截距的最值问题 形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题” 5.距离平方的最值问题 形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 类型一、圆上动点与定点的最值问题 例．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．15 【答案】B 【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又， 所以，即点的轨迹方程为， 故点到点距离的最小值为. 故选：B. 【变式训练1】（多选）已知圆心为的圆与点，则（ ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点与圆上任一点距离的最大值为 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确； 因点，则，点在圆外，B正确； 因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确； 在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确. 故选：BCD 【变式训练2】已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，， ．点关于轴的对称点为， ，所以，， 故选：B． 【变式训练3】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得 ，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值． 【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．， 可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为， 由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴， ∴， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：1 类型二、直线上动点与圆心的最值问题 例．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，圆心， 所以圆心到的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 【变式训练1】若过直线上一点向圆：作一条切线切于点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得，当取得最小值时，的值最小，由点到直线的距离分析的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径， 过点向圆作一条切线切于点，则， 当取得最小值时，的值最小， 而的最小值为点到直线的距离，则， 则的最小值为， 故选：D 【变式训练2】已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________. 【答案】15 【解析】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3）， ∴|AB|＝5， 由x2＋y2-10x-12y＋52＝得， 所以圆的半径为3，圆心为， 圆心到直线的距离， 所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为， 所以的最大值为，最小值为， 所以△ABC面积的最大值和最小值之差为. 故答案为：15 类型三、动直线斜率的最值问题 例．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离， 解得或， 又，所以， 当直线经过点时，， 综上 故选：B. 【变式训练1】（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】CD 【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆， 则为圆上的点与定点的斜率的值， 设过点的直线为，即， 则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得， 所以，即的最大值为，最小值为. 故选：CD. 【变式训练2】若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， ，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则. 故选：C. 类型四、动直线截距的最值问题 例．已知实数满足，则的最大值是（ ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离，解得 故选：C. 【变式训练1】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在中，已知，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则（ ） A．"欧拉线"方程为 B．圆上点到“欧拉线”的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是1 D．若点在圆上，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】因为，故欧拉线即为的中垂线， 而，，故的中点为，而， 故为的中垂线方程为：，故A错误. 因为圆与欧拉线相切，故， 所以圆上的点到欧拉线的距离为 ，故B正确. 若点在圆上，设，则， 故，故的最小值为1，故C正确. 因为点在圆上，故即， 故， 由C的判断可得，故，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练2】点在圆上，则的范围是_______． 【答案】 【解析】设，，即， 所以， 因为，所以. 故答案为： 类型五、距离平方的最值问题 例．已知实数x，y满足，求的最大值与最小值． 【答案】最大值为51，最小值为11 【解析】已知方程可化为， 则此方程表圆，且圆心C的坐标为，半径长． 又． 它表示圆上的到的距离的平方再加； 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值， 显然点P与点E距离的最大值为， 点P与点E距离的最小值为. 又因为， 则的最大值为， 的最小值为； 即的最大值为51，最小值为11. 【变式训练1】已知实数、满足方程，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径长为， ，所以，原点在圆外. 的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，. 故选：A 【变式训练2】若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平方求解即可. 【详解】由直线方程可知两直线斜率相等，所以， 由平行线的几何性质知的轨迹为平行于且与等距离的直线， 故直线方程为， 又点在圆上及圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段，如图， 即原点和距离的平方．由图可知，，，， 故答案为： 1．已知实数a，b满足，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】A 【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键. 【详解】依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆， 求的最小值相当于先求的最小值， 即求圆上一点到直线的距离d的最小值， 所以， 即的最小值为1． 故选：A． 2．直直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的方程可化为，由可得， 对于直线，由可得， 所以，直线过定点，直线过定点， 又因为，则，即， 则，， 所以，，所以，， 当，，点不在直线上， 所以，点的轨迹是曲线， 设可得， 由题意可知，直线与曲线有公共点， 且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得， ，时，；当，时，. 因此，的取值范围是. 故选：B. 3．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用与全等，得到，得出点在线段的垂直平分线上，又由表示与两点间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，在与中，，， 所以与全等，所以有，则在线段的垂直平分线上， 根据、可求得其垂直平分线为， 又由表示与两点间的距离，所以最小值就是到的距离， 由点到直线的距离公式，可得，即的最小值. 故选：C. 4．已知点P在圆上，点，，则错误的是（ ） A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】B 【分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断选项A与B；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断选项C与D． 【详解】圆的圆心为，半径为4， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误； 如图所示，当最大或最小时，与圆相切，点位于时最小，位于时最大）， 连接，，可知，，， 由勾股定理可得，故选项CD正确． 故选：B． 5．（多选）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，可知当为线段与圆的交点时，可求出取得最小值，可判断A选项；当与圆相切时，最大，此时与重合，可求出的面积，即可判断B选项；由于，当最大时，也最大，可知当，，三点共线，且在，之间时，求出的最大值，即可判断C选项；当为射线与圆的交点时，求得取得最大值，即可判断D选项. 【详解】解：如图，当为线段与圆的交点时，即时， 此时取得最小值为，故A正确； 由题可知点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合， 此时，故B错误； 因为点在圆上，为圆心，则， 所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD. 6．（多选）已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ） A．若圆关于直线对称，则 B．存在直线与所有的圆都相切 C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为 D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据圆关于直线对称，得得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D. 【详解】解：圆C：，整理得：， 所以圆心，半径，则 对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，得，又时，，方程不能表示圆，故A是假命题； 对于B，对于圆，圆心为，半径，则， 当直线为时，圆心到直线的距离， 故存在直线，使得与所有的圆相切，故B是真命题； 对于C，当时，圆的方程为，圆心为，半径 由于为圆上任意一点，设，则式子可表示直线，此时表示直线的纵截距， 故当直线与圆相切时，可确定的取值范围, 于是圆心到直线的距离，解得或， 则，所以的最大值为，故C为真命题； 对于D，圆的方程为，圆心为，半径， 如图，连接， 因为直线与圆相切，所以，且可得，又， 所以，且平分，所以， 则，则最小值即的最小值， 即圆心到直线的距离， 所以的最小值为，故D为真命题. 故选：BCD. 7．过点P(-3，1)作直线m(x-1)+n(y-1)=0的垂线，垂足为点M，若定点N(3，4)，那么的最小值为________． 【答案】3 【解析】直线m(x-1)+n(y-1)=0恒过定点，显然点M与P，Q都不重合时，，于是得点M在以线段PQ为直径的圆上， 当点M与P，Q之一重合时，也满足条件，即点M的轨迹是以线段PQ为直径的圆，圆心，半径， 圆C的方程为：，显然，点N在圆C外，于是得， 所以的最小值为为3. 故答案为：3 8．已知点，，若，则点P到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】设点，则，由，得， 即，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及内部， 点到直线的距离， 所以点P到直线距离的最小值为. 故答案为： 9．已知是圆上两点，若，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据表示两点到直线的距离之和，结合两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值即可. 【详解】解：由，得为等腰直角三角形， 设为的中点，则，且， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 表示两点到直线的距离之和， 两点到直线的距离之和等于中点到直线的距离的2倍， 点到直线的距离为， 所以点直线的距离的最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：4. 10．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 【答案】(1)或;(2) 【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程； （2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标. 【详解】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为， 又圆的标准方程为， 所以，圆心到切线的距离等于圆的半径， 则，解得或， 因此，所求切线的方程为或. （2）解：，， 又，， 所以，，则． 所以，点在直线上． ，的长度的最小值就是长度的最小值， 而长度的最小值为到直线的距离， 此时直线的方程为． 由，解得， 因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$