第04讲 第三章 不等式 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第04讲 第三章 不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高二下·山东日照·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 13．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·广东肇庆·期中）（1）解不等式：； （2）解关于的不等式. 16．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 17．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 18．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； (3)当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 19．（23-24高一上·上海闵行·期中）问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第三章 不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】AB选项，举出反例；CD选项，利用不等式的性质进行判断；C由，可得，即可判断出；D利用不等式的基本性质即可判断出. 【详解】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，满足，但，B错误； C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误； D选项，∵，∴，平方得，D正确. 故选：D. 2．（23-24高二下·山东日照·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质得出的充要条件，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】原不等式可化为，解集为. 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于，即，所以． 【详解】因为， 所以原不等式等价于， 即， 即，所以． 故选：A． 6．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 7．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，结合基本不等式的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由基本不等式可得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则，故A选项错误； 对于B选项，， 由于，故，，故， 即，故B选项正确； 对于C选项，∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，，根据基本不等式， ， 当且，即时取得等号， 此时，故D选项正确． 故选：BCD． 11．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得． 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 14．（2024高三·全国·专题练习）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】设，因，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得. 【详解】设，则，，， 因，则得．又因，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·广东肇庆·期中）（1）解不等式：； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解即可； （2）分式不等式转化为一元二次不等式求解即可． 【详解】（1）不等式，即，解得， 故不等式的解集为； （2）不等式变形为，则， 解得，故不等式的解集为. 16．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式和对应一元二次方程的关系列出方程组，解之即得； （2）将（1）求得的的值代入不等式并整理，由题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 17．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 18．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； (3)当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值； （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集； （3）由题意在上有解，且，而区间关于对称，且区间长度为，进而只需保证得到参数的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，又有且只有一个元素， 所以有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设； 所以的取值集合为. （2）由题设，整理得， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； （3）由，恒有，故， 且，故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧， 因为，即在上有解，且， 又区间关于对称，且区间长度， 综上，只需保证，则，且，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题转化为在上有解，且，根据区间的特点得到. 19．（23-24高一上·上海闵行·期中）问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)． (2)，等号成立的条件是且同号，； (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）,，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足； （3）令，，易得， 构造， 所以，即，因此， 所以， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$