第03讲 第三章 不等式 新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第03讲 第三章 不等式 新定义题 目录 不等式新定义题（小题） 1 不等式新定义题（解答题） 2 不等式新定义题（小题） 1．（23-24高三下·江西·开学考试）定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为 ． 2．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 4． （23-24高三下·上海宝山·阶段练习）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 不等式新定义题（解答题） 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 4．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数． (1)当时，取．求的解集； (2)判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由． 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点. （1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点； （3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 第三章 不等式 新定义题 目录 不等式新定义题（小题） 1 不等式新定义题（解答题） 4 不等式新定义题（小题） 1．（23-24高三下·江西·开学考试）定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，，，可知，，，可得出，设，分、两种情况讨论，结合不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，，，且，则，，， 所以，， 若，则，故， 设，因此，，故，即， 若，则，即， 则，故，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元，，，，将、用、、表示，结合不等式的性质求解. 2．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”. 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解. 【详解】由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高三下·上海宝山·阶段练习）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 【答案】2 【分析】由作差法比较大小后判断 【详解】不妨设，， 记为①式，为②式，以此类推， 由，故①>②， ，故②>③， ，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150， 令， 得其一组解为， 故答案为：2 不等式新定义题（解答题） 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 综上，原不等式组的解集为. 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】(1)； (2)比更远离，理由见解析 (3)比更远离，理由见解析 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【详解】（1）根据题意可得：， 所以，解得； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即；   ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 4．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数． (1)当时，取．求的解集； (2)判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析 【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式； （2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式. 【详解】（1），时，， 可化为，即， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，不等式的解集为或. （2）若，，当时，恒成立， 恒成立，则是与的分隔直线函数； 若，，当时，恒成立， 恒成立，则是与的分隔直线函数； 综上所述，与的分隔直线函数解析式为. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)． (2)，等号成立的条件是且同号，； (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）,，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足； （3）令，，易得， 构造， 所以，即，因此， 所以， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点. （1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点； （3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）先理解定义，再由已知证明x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）利用作差法比较的大小关系，得，结合（1）结论，即可得证； （3）由已知可得（ω﹣λ12）a2﹣2（λ1﹣λ12）ab+（2λ1﹣λ12﹣ω）b2≥0恒成立，由二次不等式恒成立问题可得ω﹣λ12＞0，利用判别式，可解得λ1＝ω，同理可得λ2＝1﹣ω，即可得证. 【详解】证明：（1）①若x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点，则存在实数λ∈（0，1） 使得x＝λa+（1﹣λ）b，则x＝λa+（1﹣λ）b＝（a﹣b）λ+b∈（a，b）； ②若x∈（a，b），取，则x＝λa+（1﹣λ）b，且， 则x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点； 可得x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）由，即； .即， 则， 由（1）可得存在λ∈（0，1），使得是区间的λ一内点； （3）x1是区间的λ1一内点，可得x1＝λ1a+（1﹣λ1）b， 则（λ1a+（1﹣λ1）b）2≤ωa2+（1﹣ω）b2， 则（ω﹣λ12）a2﹣2（λ1﹣λ12）ab+（2λ1﹣λ12﹣ω）b2≥0恒成立， 可得ω﹣λ12≤0时，上式不恒成立； 可得ω﹣λ12＞0，且，即4（λ1﹣λ12）2﹣4（ω﹣λ12）（2λ1﹣λ12﹣ω）≤0， 化为（λ1﹣ω）2≤0，即有λ1＝ω； 另外，x2是区间的λ2一内点，可得x2＝λ2a+（1﹣λ2）b， 则[λ2a+（1﹣λ2）b]2≤ωb2+（1﹣ω）a2， 则（1﹣ω﹣λ22）a2﹣2（λ2﹣λ22）ab+（2λ2﹣λ22+ω﹣1）b2≥0恒成立， 可得1﹣ω﹣λ22≤0时，上式不恒成立； 可得1﹣ω﹣λ22＞0，且，即4（λ2﹣λ22）2﹣4（1﹣ω﹣λ22）（2λ2﹣λ22+ω﹣1）≤0， 化为（λ2﹣1+ω）2≤0，即有λ2＝1﹣ω， 可得λ1+λ2＝1. 【点睛】本题考查充分、必要条件、比较大小、二次不等式的恒成立问题，重点考查分析理解，求值计算的能力，出题新颖，属难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$