第01讲 3.1不等式的基本性质+3.2基本不等式(10大核心考）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第01讲 3.1不等式的基本性质+3.2基本不等式 目录 题型一：重点考查不等式性质 1 题型二：重点考查作差（作商）法比较大小 2 题型三：重点考查利用不等式求值或取值范围 4 题型四：重点考查由基本不等式比较大小 5 题型五：重点考查由基本不等式证明不等关系 6 题型六：重点考查由基本不等式求积的最大值（和的最小值） 7 题型七：重点考查基本不等式中商式的最值 9 题型八：重点考查条件等式求最值 9 题型九：重点考查基本不等式中“1”的妙用 10 题型十：重点考查利用基本不等式解决恒成立问题 11 题型一：重点考查不等式性质 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例题2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例题3．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 精练高频考点 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2024高二上·新疆·学业考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：重点考查作差（作商）法比较大小 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 例题2．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 精练高频考点 1．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）（1）求证：； （2）求证：. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 题型三：重点考查利用不等式求值或取值范围 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 例题3．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）已知实数、，满足，求的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，则的取值范围是 . 题型四：重点考查由基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 例题3．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期中）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（多选）（2024高一上·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·河北沧州·期中）已知都是正实数，则（    ） A． B． C． D． 题型五：重点考查由基本不等式证明不等关系 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且，求证：． 例题3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 题型六：重点考查由基本不等式求积的最大值（和的最小值） 典型例题 例题1．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 例题2．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．6 例题3．（多选）（23-24高二下·江西赣州·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 例题4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 精练高频考点 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 题型七：重点考查基本不等式中商式的最值 典型例题 例题1．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 例题2．（23-24高二上·江西上饶·阶段练习） (1)求函数的最小值； 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域是 ． 题型八：重点考查条件等式求最值 典型例题 例题1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 精练高频考点 1．（23-24高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 题型九：重点考查基本不等式中“1”的妙用 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 题型十：重点考查利用基本不等式解决恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 例题3．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是 ． 例题4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 精练高频考点 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 3.1不等式的基本性质+3.2基本不等式 目录 题型一：重点考查不等式性质 1 题型二：重点考查作差（作商）法比较大小 4 题型三：重点考查利用不等式求值或取值范围 8 题型四：重点考查由基本不等式比较大小 10 题型五：重点考查由基本不等式证明不等关系 14 题型六：重点考查由基本不等式求积的最大值（和的最小值） 17 题型七：重点考查基本不等式中商式的最值 22 题型八：重点考查条件等式求最值 23 题型九：重点考查基本不等式中“1”的妙用 26 题型十：重点考查利用基本不等式解决恒成立问题 29 题型一：重点考查不等式性质 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确； 对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：B. 例题2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 例题3．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 【答案】CD 【分析】对于ABD选项，取特殊值进行判断；对于C选项，利用作差法比较大小. 【详解】对于A，取，满足，且， 此时，，故A错误； 对于B，取，满足， 此时，则，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，则，故C正确； 对于D，存在，，满足，故D正确. 故选：CD. 精练高频考点 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【详解】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 2．（2024高二上·新疆·学业考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】对于A，若，取，则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，则由不等式的性质可知，故C正确. 对于D，若，取，此时无意义，故D错误. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特例判断A，根据不等式的性质判断BC，利用作差法判断D. 【详解】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由可得，又，所以可得， 故B正确； 对C，因为，，可得，所以，故C正确； 对D，，又因为，， 所以的符号不确定，故符号不确定，故D错误. 故选：BC 题型二：重点考查作差（作商）法比较大小 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 例题2．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 精练高频考点 1．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）（1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用作差法即证； （2）利用作差法即证. 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵ ， 当且仅当时等号成立， ∴ 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】 ， 所以，当且仅当时取等号. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 题型三：重点考查利用不等式求值或取值范围 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 又， 所以， 所以， 即的取值范围是. 因为所以， 即， 所以的取值范围是 答案：, 例题3．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）已知实数、，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合不等式的基本性质即可求解． 【详解】设, ,解得， 所以， 因为， 所以 所以，即， 因此，的取值范围是. 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求的范围即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 则. 故选：D 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定，，得到范围. 【详解】，则，，故. 故答案为：. 题型四：重点考查由基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再证明，即得解. 【详解】因为，且，， 如果，则； 如果，则. 综上：. 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 例题2．（2024高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 例题3．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期中）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】当时可判断A选项；当，可判断BC选项；由基本不等式可判断判断D. 【详解】A选项；当时，，即， 而当时，，故A选项不是恒成立； B选项；当，时，则，当且仅当时等号成立， 而当，时，则，，则，故B选项不是恒成立； C选项；当，时，则，当，时，则，，所以，故C选项不恒成立； D选项：因为，则，，由基本不等式，当且仅当 时取等号，故D选项恒成立； 故选：ABC. 精练高频考点 1．（多选）（2024高一上·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【详解】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 2．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误. 【详解】因为，，， 对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，取，，得，故D错误. 故选：ABC 3．（多选）（23-24高一上·河北沧州·期中）已知都是正实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式可判断ABD；配方可判断C. 【详解】因为都是正实数，所以 ，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误；，故C正确；，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC. 题型五：重点考查由基本不等式证明不等关系 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式以及其变形与不等式性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，为正实数，，故， 故，即，故A正确； 对于B，由于，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号， 故，故B正确； 对于C，，为正实数，则，故， 即，故，故C错误； 对于D，因为，为正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将展开，利用完全平方公式及基本不等式进行计算证明． 【详解】证明：，故 ， 即不等式成立. 例题3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接使用条件化为复合二次函数证明； （2）思路一：利用已知条件，并连续使用两次基本不等式即可.思路二：利用条件等式、分析法以及基本不等式即可得证. 【详解】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立. （2）方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有 ， 当且仅当时等号成立. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对AC，利用基本不等式即可判断；对B，利用基本不等式“1”的妙用即可判断；对D，利用作差法即可判断． 【详解】对AC，，， ，，即， 当且仅当时，等号成立，故A错误，C正确； 对B，，，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对D，， 即，故D错误； 故选：BC 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】利用公式（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号）证明，即可得出答案． 【详解】 ， 当且仅当，且， 即时等号成立． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【答案】(1)，证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用做差法可得答案； （2）利用基本不等式可得答案． 【详解】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 题型六：重点考查由基本不等式求积的最大值（和的最小值） 典型例题 例题1．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 例题2．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意先对利用基本不等式，然后再利用一次基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以当时，取最小值， 故选：B. 例题3．（多选）（23-24高二下·江西赣州·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 例题4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 精练高频考点 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由， 因为，可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当时，函数的最小值为. （2）由，当且仅当，即时取等号， 所以，当时，函数取得最大值. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据基本不等式即可求解 【详解】（1）因为 所以， 当且仅当，即时，上式取等号. 所以函数的最小值为. （2）当时， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以函数的最大值为. 题型七：重点考查基本不等式中商式的最值 典型例题 例题1．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 例题2．（23-24高二上·江西上饶·阶段练习） (1)求函数的最小值； 【答案】(1)9 【分析】（1）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数的最小值为9； 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值． 【详解】解：由题意得，， ， ∴，当且仅当时取等号，即， 则函数的最小值是4， 故选D． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定值，注意三个条件的验证，属于基础题． 2．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】 ， 当时，，当即时取等号， 当时，，当即时取等号， 则函数的值域为 题型八：重点考查条件等式求最值 典型例题 例题1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】，， 由基本不等式得，即， 解得. 故选：D 例题2．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 例题3．（23-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值. 【详解】因为，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用的表达式表示，再代入，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 故答案为：6 题型九：重点考查基本不等式中“1”的妙用 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 例题2．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 例题3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）利用乘“1”法即可由不等式求解. 【详解】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2）， 当且仅当，即时，的最小值为． 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 【答案】9 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 题型十：重点考查利用基本不等式解决恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 例题2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】设，使用两次基本不等式可得，解不等式即可求解. 【详解】设，则， ， 当且仅当即时等号成立， 所以不等式恒成立， 由即，解得， 所以m的最大值为8. 故选：C. 例题3．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题化为上，利用基本不等式求左侧最小值，注意取值条件，即可得参数范围. 【详解】由题设，只需上即可， 又，则， 当且仅当时等号成立， 所以，所求范围为. 故答案为： 例题4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值， （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， （2）因为（）恒成立， 所以恒成立， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，建立了不等式，可得答案. 【详解】由题意可知，则， 当且仅当，即，等号成立； 由题意可得，解得. 故选：C. 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解. 【详解】因为，当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9. 故选:D. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，即可求解. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$