第01讲 1.1集合的概念与表示+1.2子集，全集，补集(9大核心考）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第01讲 1.1集合的概念与表示+1.2子集，全集，补集 目录 题型一：重点考查和集合有关的概念 1 题型二：重点考查元素与集合的关系 2 题型三：重点考查根据元素与集合的关系求参数 4 题型四：重点考查集合元素的互异性及根据互异性求参数 4 题型五：重点考查集合的表示方法 5 题型六：重点考查根据集合中元素个数求参数 6 题型七：重点考查子集（真子集）的个数问题 7 题型八：重点考查根据包含关系求参数 8 题型九：重点考查空集 10 题型一：重点考查和集合有关的概念 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有 ．（填序号） （1）小于100的自然数； （2）等腰直角三角形的全体； （3）平面内到坐标原点距离为1的所有点； （4）方程的实数根； （5）高一（1）班喜欢数学的全体同学． 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 2．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．我不喜欢的人 B．高大的山 C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区 3．（2024高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 题型二：重点考查元素与集合的关系 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）在关系式中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的，任意的，都有； （ⅲ）对任意的且，都有． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有． 其中正确的序号为 ． 精练高频考点 1．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 3．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）集合，当时，若，，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 . 题型三：重点考查根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若集合，且，则 ． 例题3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 精练高频考点 1．（23-24高一上·山西·期中）已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 2．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 3．（23-24高一上·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 . 题型四：重点考查集合元素的互异性及根据互异性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知集合，若，则 ． 例题2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 题型五：重点考查集合的表示方法 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 例题2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知集合 ​, 用列举法表示为 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： （1） ； （2） ． 精练高频考点 1．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 2．（23-24高一上·天津河北·期中）集合，用列举法表示是 . 3．（23-24高一上·四川成都·开学考试）集合用列举法可表示为 ． 题型六：重点考查根据集合中元素个数求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合 为单元素集，则a的可能取值为（    ） A．0 B．2 C．-1 D．4 例题2．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）集合中有且只有一个元素，则的取值可以是 . 例题3．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合中有且仅有一个元素，则实数 . 2．（25-26高一上·上海·单元测试）设集合． (1)若中只有一个元素，求实数的值； (2)若中至多只有一个元素，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合至多有一个元素，求的取值范围． 题型七：重点考查子集（真子集）的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）满足集合的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 例题2．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 例题3．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 精练高频考点 1．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 题型八：重点考查根据包含关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏·课后作业）已知集合，若⫋，求实数的取值范围． 例题2．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知，，，求的取值范围. 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． （Ⅰ）若，，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，，求实数的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若，求a的取值范围． 2．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 3．（23-24高一上·四川遂宁·期中）设全集，已知集合，集合. (1)求； (2)若且，求实数a的取值范围. 题型九：重点考查空集 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一·全国·课堂例题）如何理解空集？与，0，有什么关系？ 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列关系中，正确的有（　　） A．  B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 1.1集合的概念与表示+1.2子集，全集，补集 目录 题型一：重点考查和集合有关的概念 1 题型二：重点考查元素与集合的关系 3 题型三：重点考查根据元素与集合的关系求参数 6 题型四：重点考查集合元素的互异性及根据互异性求参数 9 题型五：重点考查集合的表示方法 11 题型六：重点考查根据集合中元素个数求参数 13 题型七：重点考查子集（真子集）的个数问题 16 题型八：重点考查根据包含关系求参数 18 题型九：重点考查空集 21 题型一：重点考查和集合有关的概念 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有 ．（填序号） （1）小于100的自然数； （2）等腰直角三角形的全体； （3）平面内到坐标原点距离为1的所有点； （4）方程的实数根； （5）高一（1）班喜欢数学的全体同学． 【答案】（1）（4） 【分析】根据有限集的定义逐一可以判断 【详解】对于（1），小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故（1）为有限集； 对于（2），等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集； 对于（3），在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故（3）不是有限集； 对于（4），的实数根为或，共两个，故（4）为有限集； 对于（5），到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合； 故答案为：（1）（4）. 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【答案】C 【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解. 【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合， 故选：C． 2．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．我不喜欢的人 B．高大的山 C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区 【答案】D 【分析】由集合中元素的确定性判断即可. 【详解】由于我不喜欢的人，高大的山，好吃的西瓜，都不具有确定性， 故不能构成集合，只有中国所有的级景区能构成集合. 故选：D 3．（2024高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 题型二：重点考查元素与集合的关系 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 例题2．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）在关系式中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系及字母所代表的集合依次判断即可. 【详解】因为表示有理数集，所以； 因为表示实数集，所以； 因为表示正整数集，所以； 因为表示整数集，所以； 所以关系式中正确的个数有个， 故选：A 例题3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的，任意的，都有； （ⅲ）对任意的且，都有． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有． 其中正确的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】根据所给定义一一推导即可. 【详解】①∵，∴，即，①正确； ②∵，∴，∴，，②错误； ③∵，又，∴，所以，③正确； ④要使有意义，则且， 若（且），则，由②知，∴且， ∴，∴，故④正确， 综上，①③④正确． 故答案为：①③④． 精练高频考点 1．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接根据元素与特殊数集的关系进行判断. 【详解】①错误；②正确；③错误；④正确， 故选：B. 2．（多选）（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 【答案】AC 【分析】对于A：设，则，进而分析判断；对于B：先说明，再取特值，分析判断；对于C：令，，可知对任意，均有，所以，故C正确；对于D：取特值，分析判断. 【详解】对于选项A：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：. 显然，令，则，故B错误； 对于选项C：令，，则， 即对任意，均有，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：，故D错误. 故选：AC. 3．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）集合，当时，若，，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 . 【答案】5 【分析】根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案. 【详解】对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，，故满足孤立元素的定义； 故答案为：5. 题型三：重点考查根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得． 故选：A 例题2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若集合，且，则 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，且， 所以或， 当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，满足题意， 综上所述，或. 故答案为：或2 例题3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD. 精练高频考点 1．（23-24高一上·山西·期中）已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【分析】由题意可知或，求出再检验即可． 【详解】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 【答案】 5 【分析】（1）通过分论讨论求解，然后再根据元素的互异性即可求解； （2）通过分两类或进行求解，求解出值后代入集合里面，看元素是否满足互异性即可． 【详解】解析：（1）①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， （2）由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：;． 3．（23-24高一上·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】由集合的含义解方程可得结果. 【详解】由题意可知，是方程的一个根，则， 代入方程，即，解得或， 所以， 故答案为： 题型四：重点考查集合元素的互异性及根据互异性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是 ． 【答案】x≠0,1,2， 【分析】由集合元素的互异性，便可得到该集合的元素满足两两不等，即满足，解该不等式组即可得出实数的取值范围. 【详解】根据集合元素的互异性，满足， 解得且，，且，且， 所以所求的结果为. 【点睛】该题考查的是有关集合中元素的互异性，利用集合中任意两个元素不等，列出对应的不等式组，最后求解时需要注意是且的关系，从而求得结果. 2．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 题型五：重点考查集合的表示方法 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 例题2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知集合 ​, 用列举法表示为 【答案】 【分析】根据，化简求解即可． 【详解】因为, 可知， 解得，所以. 故答案为： . 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）由题意能被6整除，结合可得结果； （2）由（1）知，当为0，3，4，5时，写出相应的值即可得出答案． 【详解】（1）∵，∴能被6整除． 又，∴，3，4，5，∴． （2）由（1）知，当为0，3，4，5时，相应的值分别为1，2，3，6， ∴． 故答案为：（1），（2）． 精练高频考点 1．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 2．（23-24高一上·天津河北·期中）集合，用列举法表示是 . 【答案】 【分析】解一元一次不等式，利用列举法求解即可. 【详解】集合，故用列举法表示是. 故答案为： 3．（23-24高一上·四川成都·开学考试）集合用列举法可表示为 ． 【答案】 【分析】直接列举得到答案. 【详解】. 故答案为：. 题型六：重点考查根据集合中元素个数求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合 为单元素集，则a的可能取值为（    ） A．0 B．2 C．-1 D．4 【答案】ABC 【分析】根据集合A为单元素集，分和，利用判别式法求解. 【详解】当时，满足题意； 当时，， 即，解得或， 故选：ABC 例题2．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）集合中有且只有一个元素，则的取值可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】讨论、，结合集合中元素个数求参数范围，即可得答案. 【详解】当时，，此时满足题设； 当时，只有一个根，则； 综上，的取值可以是，0，1. 故答案为：（答案不唯一） 例题3．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 精练高频考点 1．（23-24高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合中有且仅有一个元素，则实数 . 【答案】1或 【分析】集合中有且仅有一个元素，可知方程仅有一解，或有两个相等的根，则按二次项系数是否为零分类讨论,求解即可. 【详解】因为集合中有且仅有一个元素， 则方程仅有一根或两个相等的根， 所以，当时，，满足题意； 当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 2．（25-26高一上·上海·单元测试）设集合． (1)若中只有一个元素，求实数的值； (2)若中至多只有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）集合表示关于的方程的解集，分和两种情况讨论，当时，即可求出的值； （2）由（1）可得时符合题意，当，则，即可求出的取值范围. 【详解】（1）集合表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，则，符合题意； 当时，因为中只有一个元素，则，解得，此时，符合题意 综上可得或； （2）因为中至多只有一个元素，由（1）可知时符合题意； 当，则，解得； 综上可得，实数的取值范围为或. 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】 【分析】集合中元素个数，转化为方程根的个数，分类讨论求解. 【详解】集合至多有一个元素， 当时，方程解得，符合题意； 当时，一元二次方程至多有一个实数根， ，解得或， 所以的取值范围为. 题型七：重点考查子集（真子集）的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）满足集合的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为集合， 则集合可以为，，，，，，共7个， 故选：B 例题2．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 例题3．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 精练高频考点 1．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 2．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用子集求解即可. 【详解】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 【答案】6 【分析】逐一列举出满足题意的集合即可求解. 【详解】满足题意的可以是：. 故答案为：6. 题型八：重点考查根据包含关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏·课后作业）已知集合，若⫋，求实数的取值范围． 【答案】或． 【分析】先由题意，得到或，根据⫋，分别讨论分，两种情况讨论，即可得出结果． 【详解】由题意得，或，⫋，分和两种情况讨论． ①当时，有，即． ②当时，由⫋，可得，或，即或，综上可知，实数的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合基本运算的概念即可，属于常考题型． 例题2．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知，，，求的取值范围. 【答案】 【解析】先求解出集合，然后根据分别考虑和的情况，由此求解出的取值范围. 【详解】因为，所以，所以， 当时，满足，此时，所以； 当时，若，则有，所以， 综上可知：，即. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况. 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． （Ⅰ）若，，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）先求出集合，再利用集合与集合的包含关系，列出不等式组，即可求出的取值范围. （Ⅱ）先求出集合，再利用集合与集合的包含关系，列出不等式组，即可求出的取值范围，注意对空集的讨论． 【详解】集合， （Ⅰ）， ，解得：， 实数的取值范围为：； （Ⅱ）， ①当时，，即， ②当时，，解得：， 综上所述，实数的取值范围为：． 【点睛】本小题主要考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若，求a的取值范围． 【答案】或. 【分析】分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得. 【详解】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 2．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或． 3．（23-24高一上·四川遂宁·期中）设全集，已知集合，集合. (1)求； (2)若且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的定义即可求解； （2）根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）因为集合， 由补集的定义可得. （2）因为集合，集合，且， 所以分和两种情况： 若，则有，解得； 若，要使成立，则有，解得， 综上所述：实数a的取值范围. 题型九：重点考查空集 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 例题2．（23-24高一·全国·课堂例题）如何理解空集？与，0，有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】①空集是不含有任何元素的集合，且规定，任何时候都不成立，是恒成立的． ②情景不同，空集的类型也不同，例，． ③不是空集，中含有一个元素，作为元素，则；作为集合，则．是含有一个元素0的集合，与空集不同，，，． 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 2．（多选）（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列关系中，正确的有（　　） A．  B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与集合的关系判断A，D；根据常用数集的取值范围判断B，C 【详解】对于A，是任何非空集合的真子集，故A正确； 对于B，为有理数集，而是有理数，故B正确； 对于C，为整数集，为自然数集，故，故C错误； 对于D，是任何集合的子集，故D错误. 故选：AB 学科网（北京）股份有限公司 $$