精品解析：河南省焦作市第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题

河南省焦作市第一中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合N，再根据交集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合， 所以， 故选：C. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】解：充分性：由于，，且，取，，则成立，但，所以充分性不成立. 必要性：由于，，且，由基本不等式，当且仅当时取等号，所以，解得，即，所以由“”能推出“”，所以必要性成立. 所以，当，时，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， . 故选：D. 4. 已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边的中点，连结并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解. 【详解】解：设，， 所以，，， 所以. 故选：B. 5. 定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，构造函数，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出；同样的方法求出，得到答案. 【详解】定义域为，，由题意得：，令，，则为函数的零点，，所以在上单调递增，又，，由零点存在性定理，. 另外，，由题意得：，令，则为函数的零点，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，，单调递减区间为，在处取得极大值，，在处取得极小值，故在上无零点，因为函数在上单调递增，且，，由零点存在性定理： 所以. 故选：D 6. 已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案. 【详解】，故，整理得到，即， 故，共线且方向相同， 存在非零实数x，y，使得，故，共线， 即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】建系求出点的坐标，应用数量积的坐标运算即可. 【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，则，，， ∵是的中点，∴，∵是线段的中点，∴， ∴，，，∴， ∴. 故选：C. 8. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 26 B. 13 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论． 【详解】由于是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 已知实数a满足，（i为虚数单位），复数，则（ ） A. z为纯虚数 B. 为虚数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及复数相等可求得a，得到复数z和，逐一判断可得选项. 【详解】解：因为，所以，所以，所以，， 所以为纯虚数，故A正确； 为实数，故B不正确； ，故C正确； ，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知不等式的解集是，则b的值可能是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 0 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知得，解得，由此可得选项. 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以，解得， 故选：BC. 11. 关于函数有下述四个结论，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小值为 C. 在上有4个零点 D. 在区间单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：根据偶函数的定义即可作出判断；对B：由有界性，，且时即可作出判断；对C：当时，，可得函数有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当时，，利用三角函数的图象与性质即可作出判断. 【详解】解：对A：因为，所以是偶函数，故选项A正确； 对B：因为，，所以，而时，所以的最小值为，故选项B正确； 对C：当时，，令，可得，， 又由A知函数为偶函数，所以函数在区间上也有两个零点，，所以函数在区间上有4个零点，故选项C正确； 对D：当时，， 因为，所以，而在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误. 故选：ABC. 12. 如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，P是上的一个动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题可知，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D. 【详解】对于A，连接，易得，故A错误； 对于B，P在直线上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥的体积不变，故B正确； 对于C，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，取得最小值，故C错误； 对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 已知曲线在处的切线方程为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出，再由切点坐标，即可求出结果. 【详解】解：因为的导数为， 又函数在处的切线方程为， 可得，解得， 所以，切点为， 代入直线方程得可得，即. 故答案为：. 14. 已知数列是等差数列，，则使的最大整数n的值为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】由题可得，再结合条件及等差数列前n项和公式即得. 【详解】∵，又 ∴，数列公差小于零，数列为递减数列， ∴， ∴当时，，当时，. 故答案为：10. 15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为___________平方米. 【答案】400 【解析】 【分析】由题设扇形的半径为，可得，利用基本不等式及二次不等式可求. 【详解】 如图，设扇形的半径为，则弧长为，扇形面积为， ∴， 即， 又，当且仅当，即是取等号， ∴，令 ∴，解得，则， ∴当，，时水池面积最大，最大值为400平方米. 故答案为：400. 16. 已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为___________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由已知可得函数关于对称，继而由函数为奇函数，可得函数的周期；由函数的单调性的定义得函数在上是增函数，令，设，运用导函数分析函数的单调性，由此得，由对称性及周期性作函数的示意图和的图象，运用数形结合的思想可求得不等式的解集. 【详解】解：因为，所以函数关于对称，又函数为奇函数，故函数关于原点对称，所以函数的周期为， 因为对任意的，当时，都有，不妨设，所以，所以函数在上是增函数， 所以当时，， 令，设，则，所以是单调递减函数， 所以当，， 所以当时，，即，由对称性及周期性作函数的示意图和的图象如下图所示， 则不等式的解集为. 故答案为：2；. 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分） 17. 已知向量，向量，记. （1）求表达式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数的表达式； （2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集. 【小问1详解】 解：因为向量，向量， 所以 . 所以. 【小问2详解】 解：由（1）得，所以，即， 解得， 所以的解集为. 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 19. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理即可求出结果； （2）结合余弦定理得到，进而根据均值不等式求出，然后结合三角形的面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 因为sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，因为，因此， 【小问2详解】 由（1）知，又因为BC=3，即，故， 从而，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 20. 已知数列满足． （1）若，证明数列为等比数列，并求通项公式； （2）数列的前项和为，求． 【答案】（1） 由， 可得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 则； （2）． 【解析】 【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 则． 21. 有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据，如下表所示． 平均气温 -3 -4 -5 -6 -7 销售额/万元 20 23 27 30 50 （1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程； （2）预测平均气温为时，该商品的销售额为多少万元． 【答案】（1） （2）56.8万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的特征，即可求解； （2）利用（1）的线性回归方程，即可对销售额进行估计． 【小问1详解】 由表中数据可知，， ， ， 故 故 【小问2详解】 当时，万元． 故预测平均气温为时，该商品的销售额为56.8万元. 22. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【解析】 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）略 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省焦作市第一中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 7 4. 已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边的中点，连结并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 8. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 26 B. 13 C. 10 D. 5 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 已知实数a满足，（i为虚数单位），复数，则（ ） A. z为纯虚数 B. 为虚数 C. D. 10. 已知不等式的解集是，则b的值可能是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 0 11. 关于函数有下述四个结论，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小值为 C. 在上有4个零点 D. 在区间单调递增 12. 如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，P是上的一个动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 已知曲线在处的切线方程为，则___________. 14. 已知数列是等差数列，，则使的最大整数n的值为___________. 15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为___________平方米. 16. 已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为___________. 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分） 17. 已知向量，向量，记. （1）求表达式； （2）解关于x的不等式. 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 19. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求面积的最大值． 20. 已知数列满足． （1）若，证明数列为等比数列，并求通项公式； （2）数列的前项和为，求． 21. 有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据，如下表所示． 平均气温 -3 -4 -5 -6 -7 销售额/万元 20 23 27 30 50 （1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程； （2）预测平均气温为时，该商品的销售额为多少万元． 22. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $