第08讲 第三章 圆锥曲线与方程 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第08讲 第三章 圆锥曲线与方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 2．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 6．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线的焦点分别为，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 8．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是2 B．表示的圆的面积是 C．双曲线的焦距是 D．抛物线的准线方程是 10．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 11．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 14．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，曲线是以为圆心，半径为1的半圆弧，为圆O的直径，现将上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的，横坐标不变，分别得到曲线、，垂直的直线与曲线，，分别相交于，，三个不同的点，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 16．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点. (1)若为右焦点，求的周长； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长. 17．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 18．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 19．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似． (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点． ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 第三章 圆锥曲线与方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由抛物线定义可列式求解点的横坐标，将所求横坐标代入抛物线方程得点纵坐标即可. 【详解】设点的坐标为， ∵，∴，∴. 把代入方程，得， ∴.∴点P的坐标为. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 4．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，根据中点关系得，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得，根据点在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为的方程求解即可. 【详解】由题意，，设，则， 因为为线段的中点，所以，即，则， 因为，所以，即， 又在双曲线上，所以， 结合整理得，所以， 解得或（舍去），由，解得. 故选：A 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 【答案】B 【分析】利用坐标互换一一判定选项即可. 【详解】曲线的方程为， 将换为不变，原方程仍为，所以曲线关于轴对称； 将换为不变，原方程变为，所以曲线不关于轴对称； 将换为换为，原方程变为，所以曲线不关于原点对称； 将换为换为，原方程变为， 所以曲线不关于直线对称． 故选:B． 6．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线的焦点分别为，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据几何关系，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图，过点作于点，则，又点在抛物线上，，则 ，在中，， （舍去）， 故选：D. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．    由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 8．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是2 B．表示的圆的面积是 C．双曲线的焦距是 D．抛物线的准线方程是 【答案】BC 【分析】根据圆，椭圆，双曲线和抛物线的定义与性质求解即可. 【详解】对A，椭圆的两焦点在轴上，由可得长轴长是，A选项错误； 对B，，即，表示的圆的半径为，面积为，B选项正确； 对C，双曲线，即，所以，所以焦距是，C选项正确； 对D，抛物线的图象开口向右，准线方程是，D选项错误． 故选：BC． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 【答案】BCD 【分析】根据点在椭圆外得到，求出的范围，即可判断A；求出，则的取值范围是，即可判断B；设椭圆的上顶点为，求出，即可判断C，利用基本不等式及椭圆的定义判断D. 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，又，解得，故A不正确； 当时，，则， 所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于，所以存在点使得，故C正确； 因为， 当且仅当时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】9 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 14．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，曲线是以为圆心，半径为1的半圆弧，为圆O的直径，现将上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的，横坐标不变，分别得到曲线、，垂直的直线与曲线，，分别相交于，，三个不同的点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用伸缩变换得到，的方程，联立求得交点，利用两点间距离公式表示出距离，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意得的方程为， 若将上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变， 可得的方程为，若将上的每个点的纵坐标缩短为原来的， 横坐标不变，可得的方程为，且设垂直的直线方程为， 设，，联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 故，， 故由两点间距离公式得，， 故， 当且仅当时取等，且此时. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是得到交点坐标，然后表示出距离后，由基本不等式得到所要求的最值即可． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出焦点在轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可； （2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：，然后利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为：. 由于椭圆经过两个点和， 所以，解得， 所以所求的椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为：， 由于椭圆经过点， ，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 16．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点. (1)若为右焦点，求的周长； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解. （2）由题意结合左焦点的坐标以及直线的倾斜角为，可得直线的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解. 【详解】（1） 由题意，由椭圆定义有， 所以的周长为. （2）设， 由题意直线的斜率为，，即， 所以直线的方程为，将它与椭圆方程联立得， 消去并化简整理得， 显然，由韦达定理得， 所以线段的长为. 17．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 18．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 19．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似． (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点． ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得； （2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案； ②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得． 【详解】（1）对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. （2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以． 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值． ②由相似比可知，，解得，所以椭圆：， 其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点， 设，易知直线、的斜率均存在且不为， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为． 由，得， 设，，则，， 所以 ， 同理可得， 所以． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$