第07讲 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题 目录 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（小题） 1 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（解答题） 2 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（小题） 1．（2024·陕西宝鸡·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（    ） （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2） 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（    ）    A． B． C． D．2 3．（多选）（23-24高二下·重庆·阶段练习）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线上一点，下列说法正确的是（    ） A．若直线交双纽线于，，三点（为坐标原点），则 B．双纽线上满足的点有2个 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围为 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（解答题） 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）若是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则称弦是点的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”． (1)证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2)当时，试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁､对称､优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：；三阶行列式定义为：例如：.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标为，，则的面积公式可表示为： (1)已知，求的面积. (2)已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值. (3)已知椭圆，它的左焦点坐标为，右顶点坐标为，设点的坐标为，过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值. 3．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 4．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． (1)求椭圆的离心率； (2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； (3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”． 5．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 6．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 7．（2024·上海·三模）将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”． (1)已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程． (2)对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）． ①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值． 9．（23-24高二下·湖南·期中）对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题 目录 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（小题） 1 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（解答题） 5 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（小题） 1．（2024·陕西宝鸡·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（    ） （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2） 【答案】D 【分析】对于（1），由分析判断，对于（2）利用基本不等式结合已知条件分析判断，对于（3）将以为圆心，1为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可，对于（4）结合（2）考虑曲线在第一象限是否经过整点进行分析判断. 【详解】对于（1），因为，所以与异号，所以表示的曲线在第二和第四象限，所以（1）正确， 对于（2），设曲线上一点，则其到原点的距离为， 考虑到该图形对称性，故研究第一象限的点， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1，所以（2）正确， 对于（3），以为圆心，1为半径的圆的面积为，由（2）知曲线在圆内部， 所以曲线构成的四叶玫瑰线面积小于，所以（3）错误， 对于（4），由（2）可知曲线在圆内部，而圆内在第一象限无整点， 所以曲线在第一象限没有经过整点， 由曲线的对称性可知，曲线在其它象限也没有经过整点， 所以由图可知曲线只经过整点，所以（4）错误， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用图形的对称性分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题. 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】设，根据双纽线的定义求出点的轨迹方程，设，则，代入方程求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】，设， 由双纽线的定义得， 即， 化简得， 显然，设，则， 代入方程，得， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 3．（多选）（23-24高二下·重庆·阶段练习）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线上一点，下列说法正确的是（    ） A．若直线交双纽线于，，三点（为坐标原点），则 B．双纽线上满足的点有2个 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由已知，代入坐标整理即可得出方程，即可判断A，令，求出，即可判断B，根据面积公式判断C，首先根据余弦定理，以及向量可推得，再结合三角型三边关系判断D. 【详解】由双纽线的定义可得：， 即，化简得：， 当时，点的轨迹方程为， 令，解得或，所以，故A正确； 因为，，若满足，则点在轴上， 在方程中令，解得， 所以满足的点为，只有一个，故B错误； ，故C正确； 因为， 又，且， 所以， 接下来先证明： 在中，由余弦定理可得， 所以. 又因为，所以 . 所以 ， 即， 整理可得，所以； 所以， 如图以、为邻边作平行四边形， 则，所以， 所以， 即的周长的取值范围为，故D正确.    故选：ACD 第三章 圆锥曲线与方程 新定义题（解答题） 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）若是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则称弦是点的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”． (1)证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2)当时，试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)详见解析. 【分析】（1）设为点的任意一条“相关弦”，利用“点差法”求得直线的斜率为，得出的垂直平分线的方程求得，进而得证； （2）由（1）弦所在直线的方程，联立方程组求得，利用弦长公式，求得，令，得到，结合函数的性质，即可求解. 【详解】（1）证明：设为点的任意一条“相关弦”， 且点的坐标分别是，， 则，，两式相减得， 因为，所以． 设直线的斜率为，弦的中点是， 则， 可得的垂直平分线的方程为， 又点在直线上，所以， 因为，可得， 故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都为，即横坐标相同． （2）解：由（1）得，弦所在直线的方程为， 且，，， 联立方程组，整理得， 所以， 则 ． 因为， 令，则，记，则， 当时，则， 因此当时，有最大值，即的最大值为； 当时，则，在区间上是减函数， 所以，即不存在最大值． 综上，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为； 当时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值． 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁､对称､优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：；三阶行列式定义为：例如：.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标为，，则的面积公式可表示为： (1)已知，求的面积. (2)已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值. (3)已知椭圆，它的左焦点坐标为，右顶点坐标为，设点的坐标为，过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值. 【答案】(1)10 (2) (3)4 【分析】（1）根据题意得到； （2）设，故恒等变形得到，求出最小值； （3）求出椭圆方程，设，由对称性可知，从而表达出，求出最大值. 【详解】（1）由题意得 ； （2）， 设， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值， 最小值为； （3）由题意得，故， 故椭圆方程为， 过原点的直线交椭圆于点，设， 由对称性可知， 故 ， 故当时，面积取得最大值，最大值为4. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 3．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)或 【分析】（1）圆心到直线的距离等于1，得到方程，求出； （2）在上任取一点，求出在该点处的切线方程，令直线族中，得到直线，而对于任意，都是抛物线在点处的切线，证明出结论； （3）设，求出抛物线在点处的切线方程为，同理，抛物线在点处的切线方程为，从而得到直线的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，得到，求出，将其代入，得到方程，求出或，求出答案. 【详解】（1）由定义可知，与相切， 即圆心到直线的距离等于1， 即，故， （2）， 在上任取一点，在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在处的切线方程为， 即， 令直线族中，故， 则直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对于任意，都是抛物线在点处的切线， 所以集合的包络曲线； （3）设， 则抛物线在点处的切线方程为， 即， 故， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 又两切线交点为， 所以，所以直线的方程为， 联立，得， 故， 因为，所以， 即， ， 由于，所以， 又因为，所以，所以， 故， 又点在直线上，所以， 解得或， 故点或 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． (1)求椭圆的离心率； (2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； (3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆性质，求出离心率的值． （2）讨论①直线方程斜率不存在时，②直线方程斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，令，求解即可． （3）讨论①直线为时，②设直线方程为时，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，由，得出等式，将联立结果代入，化简求解，即可证明命题成立． 【详解】（1）根据椭圆性质知，，，所以离心率为． （2）如图： ①直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有1公共点，显然不合题意． ②直线方程斜率存在时，斜率设为，直线方程为．联立方程，消去可得，解得，． 联立方程，消去可得，解得，． 当时，即，等价于，代入联立结果得，解得，（舍去），即． 综上所述，直线方程为. （3）如图： ①直线为 时，与抛物线有且仅有一个交点，不合题意，舍去． ②设直线方程为，联立方程，消去可得，当△时，． 由根与系数的关系可得，，所以， 联立方程，消去可得， 此时必有两个交点，由根与系数的关系可得，， 所以． 如果存在等弦线使得，等价于，化简可得， 将联立结果代入可得， 换元，令，代入上式可得． 由于，化简得到． 题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意，在 上有解． 令，则， 令，由于且， 所以对任意，有，即； 由于， 所以． 根据零点存在定理，一定存在，使得． 综上所述，对任意，在上有解，命题得证． 【点睛】方法点睛：在分析直线与圆锥曲线的位置关系时，首先要设直线的方程，此时往往需要分类讨论. （1）按直线是否有斜率分类，可设直线方程为：或. （2）按直线是否与轴平行，可设直线为或. 5．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【答案】(1) (2)12 (3)证明见解析 【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方， 因为直线为的等线，所以， 解得，所以的方程为 （2）设，切线，代入得: 故， 该式可以看作关于的一元二次方程， 所以，即方程为 当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故 . 所以， 所以， 所以，所以 （3） 设，由，所以， 故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 所以 由得 因为， 所以直线为的等线 . 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可． 6．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 证明见解析 【分析】（1）由题意得，，再结合，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程； （2）①由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ，然后分和两种情况证明；②设点，然后由①可得过点的切线方程和过点的切线方程，则可求出割线的方程，同时可求出切点弦的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由已知，，则 所以直线 ，即 ， 该直线与圆 与相切，则， 所以解得，， 故椭圆的标准方程为 （2）① 由(1)得椭圆的方程是 . 因为在椭圆上，所以，即， 由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ， 当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线， 当时，极线方程为，即， 由，得， 所以， 所以处的极线就是过点的切线， 综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 设点， 由①可知，过点的切线方程为， 过点的切线方程为， 因为都过点，所以有， 则割线的方程为， 同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即， 又因为割线过点，代入割线方程得，即 ， 所以三点共线，都在直线上． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的切线，考查椭圆中点共线问题，解题的关键是合理利用过椭圆上一点的切线方程的定义，考查计算能力，属于较难题. 7．（2024·上海·三模）将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)或； (2)， (3)垂心在椭圆上，理由见解析 【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得； （2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值； （3）不妨设为椭圆上的任意一点，此时，的垂心的坐标为，连接，可求得，可得，利用可得结论. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）易知椭圆 不妨设为椭圆上的任意一点，此时，（1） 不妨设的垂心的坐标为，连接， 因为，又，所以， 因为，所以， 因为，所以，（2）， 联立（1）（2），解得， 因为点在椭圆上，所以．故的垂心在椭圆上． 【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”． (1)已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程． (2)对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）． ①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值． 【答案】(1)此时曲线是“优美猫眼曲线”，：，： (2)①是定值，且定值为；② 【分析】（1）根据等比数列定义可求得两椭圆离心率相等，结合条件可得椭圆方程； （2）①设斜率为的直线交椭圆于点，，线段的中点为，由“点差法”可得．同理得，从而可得结果；②设直线的方程为，由直线与椭圆相切求出m，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理及弦长公式求出，设，由点到直线的距离公式及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）由题意知，．椭圆的离心率， 椭圆的离心率，所以， 所以此时曲线是“优美猫眼曲线”． 由曲线过点，得，所以，， 所以两椭圆方程分别为：，：． （2）①设斜率为的直线交椭圆于点，， 线段的中点为， 则，，，． 由，得， 因为存在且，所以且， 所以，即．同理得， 故． ②设直线的方程为， 由，化简得关于的方程． 由，得． 由图象的对称性，与时结果一样， 不妨取，则：． 由，化简得，． 设，，则，， ，是定值， 设，由点到直线的距离公式得点到直线的距离 ，，所以， 所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题往往需联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、斜率公式、向量数量积公式进行求解. 9．（23-24高二下·湖南·期中）对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设上两点的坐标为，，经伸缩变换后变为，，由题意可得，，可得； （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆，P，Q，R，S变换得到，，，，可得轨迹方程为：，利用变换可得S的轨迹方程. （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形，可求△ABC面积最大值为． 【详解】（1）设上两点的坐标为，； 经伸缩变换后变为，， 则；； ，；则． （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆； 椭圆变换得到了以原点为圆心的圆； P，Q，R，S变换得到，，，． O，，均在中垂线上，则O，，共线． ，，则， 则，， 则轨迹方程为：， 代入，，则S轨迹方程为：． （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆， 点A变换得到了， 即为，并设B，C变换得到了，． 熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形． 则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到． 则，坐标分别为，． 即为，， 即B、C坐标分别为，， 单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为． 综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为． 【点睛】方法点睛：本题考查伸缩变换，利用伸缩变换求轨迹方程，关键是了解变换前后的不变与变，利用变换后的几何关系求变换前的几何关系，考查化归与转化思想，运算求解的核心素养. 学科网（北京）股份有限公司 $$