第05讲 第二章 圆与方程 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第05讲 第二章 圆与方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川达州·二模）如图，与轴交于点、，是上第一象限内的点，、分别在射线、上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（    ） A．B． C． D． 6．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 8．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·安徽·阶段练习）若直线与圆交于两点，则（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．圆的圆心坐标为 C．圆的半径为3 D．的取值范围是 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 11．（十五校教育集团2025届高三鄂豫皖五十三校8月联考数学试题）已知，，，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时，P有1个元素 C．若P有2个元素，则 D．若P有4个元素，则m无整数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·山西·期中）已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 13．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 14．（2024高三下·全国·专题练习）关于曲线有以下五个结论： ①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆； ②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为； ③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为； ④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或； ⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离. 以上正确结论的序号为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·云南昭通·期中）（1）圆过两点，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程. 16．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 18．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 19．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知圆和点. (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程； (3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 第二章 圆与方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出给定圆的圆心坐标，再验证即可得解. 【详解】圆的圆心为， 不满足方程，，，ABC不是； 满足，D是. 故选：D 3．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线和圆的位置关系求解，得到相切情况的取值，从而得到取值范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图象可知，又， 所以． 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 5．（2024·四川达州·二模）如图，与轴交于点、，是上第一象限内的点，、分别在射线、上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，结合题意计算可得直线的斜率，由直径所对的圆周角是直角可得，即可解出直线的方程，从而可表示出直线的方程，联立即可得其交点的坐标，结合点坐标即可得解. 【详解】令，即有，可得、， 由是上第一象限内的点，故可设， 又，故，则，则有， 由为直径，则，即，又，解得， 即，则，即， 联立两直线，解得，即，又， 则直线的方程为， 整理得. 故选：D. 6．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 8．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·安徽·阶段练习）若直线与圆交于两点，则（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．圆的圆心坐标为 C．圆的半径为3 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，即可判断A；将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断B、C；求出圆心到直线的距离，再由勾股定理判断D. 【详解】当时，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为，故A正确； 圆的方程化为标准方程为，圆心，半径，故B错误，C正确； 圆心到直线的距离，因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【答案】AC 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．（十五校教育集团2025届高三鄂豫皖五十三校8月联考数学试题）已知，，，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时，P有1个元素 C．若P有2个元素，则 D．若P有4个元素，则m无整数解 【答案】ABD 【分析】A选项，画出表示的部分图形，求出与轴的交点坐标，即可判断；B选项，得到此时为，由圆心到的距离等于半径得到有1个交点，求出答案；C选项，举出反例；D选项，画出表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案. 【详解】A选项，时，表示圆心为， 半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点）， 由得或，故， 表示圆心为， 半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点）， 由，解得或， 同理可得， 故表示的部分如图所示， 表示轴，故，A正确； B选项，当时，， 由于圆心到轴的距离等于，大于1，整个圆位于轴上方， ，由于圆心到轴的距离等于，大于1， 整个圆位于轴下方，故表示的部分如图所示， 由于圆心到的距离， 故直线与圆相切，有1个公共点，有1个元素，B正确； C选项，当时，此时两圆圆心相同，半径相等，此时表示的部分如图所示， 此时直线与有两个交点，而，，C错误； D选项，若P有4个元素，则直线分别与两圆交于两点，共4个交点， 画出表示的部分如图所示， 当时，， 由于圆心到的距离为，解得； 当时，， 由于圆心到的距离为，解得； 综上，所以m无整数解，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：有关直线与圆的位置关系判断，可利用代数法或几何法进行求解，代数法即联立直线与圆的方程，根据根的判别式进行判断；几何法则使用点到直线距离，数形结合进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·山西·期中）已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 【答案】5 【分析】求出圆心坐标，与直线过定点坐标，再求两点间的距离，即可得解. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：，即，令，解得， 所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 13．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，设线段MN的中点为，求出，知道的轨迹.求圆上的点到直线的最短距离，再结合图形可解. 【详解】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 14．（2024高三下·全国·专题练习）关于曲线有以下五个结论： ①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆； ②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为； ③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为； ④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或； ⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离. 以上正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【分析】根据题意，结合圆的标准方程以及其切线方程的知识，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，当时，曲线，当时，C表示点，当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆，错误. 对于②，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 由于过点（记为点D）向曲线C作切线，切点为A，B，且点到点的距离为， 根据勾股定理可得，因此A，B可看作圆与圆的交点. 又圆的方程化成一般式为， 于是直线AB的方程为， 即直线AB的方程为，正确. 对于③，当，时，曲线， 圆的切线方程可设为（直线系方程），由于切线过点，因此， 又，解得或因此过点的切线方程为或，错误. 对于④，当时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 于是曲线C的圆心在直线上，又圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 因此曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或，正确. 对于⑤，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 将直线变形为，可知直线过定点，又点在圆内， 因此直线与曲线C表示的圆相交，错误. 综上所述，正确的有②④. 故答案为：②④ 【点睛】关键点睛：本题主要考查了圆的方程以及其切线方程的相关知识，难度较大，解答本题的关键在于结合圆的切线方程公式计算. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·云南昭通·期中）（1）圆过两点，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先求得两点的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可； （2）根据题意，求得，得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）易知两点的中点为，斜率为， 所以其中垂线方程为：， 联立，解得圆心，则圆的半径， 故圆的方程为：； （2）由题意，圆，可得圆心坐标为， 因为，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 即点且与圆相切的直线的一般式方程为. 16．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两个定点，满足的点，得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程； （2）根据条件，用表示出面积，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题设知，两边化简得， 所以点的轨迹的方程为 （2）由题意知直线的斜率一定存在，设，即， 因为原点到直线的距离，， 所以，当且仅当时，取得等号， 又当时，由，得到，解得， 所以直线的方程为．    17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可； （2）设坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用坐标表示M坐标，消参化简即可. 【详解】（1）圆，整理可得标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为2． 设直线的方程为，即， 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 解得， 即的取值范围是； （2）由（1）知直线的方程为，． 设, 将直线与圆的方程联立，可得． 由根与系数的关系可得，所以． 线段的中点的轨迹的参数方程为， 其中，则，即 消去得， 线段的中点的轨迹的方程为，其中． 18．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当时四边形ABDC的面积最大 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为；    （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上.    【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、的值. 19．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知圆和点. (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程； (3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和. (2)证明见解析，直线方程为. (3)存在，或. 【分析】（1）讨论斜率是否存在并设直线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数，进而写出切线方程. （2）设，，由、可得、 ，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线. （3）若，由题设可知，假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性. 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. （2）设，， ∴由，则，即，又，故，同理， ∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上. （3）由题设，若则，整理可得， 若存在，使为定值，而，， ∴，整理得， ∴， 整理得， 要使为定值，则，解得或. 综上，存在或，使为定值. 【点睛】关键点点睛：第三问，设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性. 学科网（北京）股份有限公司 $$