第04讲 第二章 圆与方程 新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 第二章 圆与方程 新定义题 目录 第二章 圆与方程 新定义题（小题） 1 第二章 圆与方程 新定义题（解答题） 18 第二章 圆与方程 新定义题（小题） 1．（23-24高二上·北京·期中）对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）在数学中有这样形状的曲线：，关于这种曲线，下列结论正确的有（    ） A．该曲线的图像既是轴对称图形也是中心对称图形 B．该曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．该曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D．该曲线所围成的形状区域面积大于5 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．对任意正实数，曲线恒过2个定点 B．存在无数个正实数，曲线至少有4条对称轴 C．星形线围成的封闭图形的面积大于2 D．星形线与圆有四个公共点 4．（23-24高二上·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 5．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ） A．曲线C围成的图形的周长是； B．曲线C围成的图形的面积是2π； C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2； D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）设.若曲线上一点不满足，则曲线在点处的切线方程为.则曲线过点的切线方程为 . 7．（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ． 8．（2024·北京·模拟预测）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：    ①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； ②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； ③阴影部分的面积为； ④阴影部分的内外边界曲线长为. 其中正确的有 . 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为 ，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为 ． 10．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，下列说法： ①曲线围成的图形的面积是； ②曲线上的任意两点间的距离不超过2； ③若是曲线上任意一点，则的最小值是. ④若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是. ⑤已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是. 其中正确结论的有 . 第二章 圆与方程 新定义题（解答题） 1．（24-25高二·上海·随堂练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 2．（23-24高二下·上海虹口·期末）某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，. (1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值； (2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值； (3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积. 3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营. （1）若军营所在区域为：，求“将军饮马”的最短总路程； （2）若军营所在区域为为：，求“将军饮马”的最短总路程． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，． (1)求的欧拉线方程； (2)记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且，求的面积最大值． 5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）设函数的定义域为，若存在函数，，使得对于任意都成立，那么称为函数的一个下界函数，为函数的一个上界函数． （1）函数，是否可以分别为某个函数的下界函数和上界函数？请说明理由； （2）若函数，设函数是的一个下界函数，函数是的一个上界函数，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第二章 圆与方程 新定义题 目录 第二章 圆与方程 新定义题（小题） 1 第二章 圆与方程 新定义题（解答题） 18 第二章 圆与方程 新定义题（小题） 1．（23-24高二上·北京·期中）对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论. 【详解】设点， 对于①，若曲线表示点，则， 化简可得， 所以，点集所表示的图形是以点为圆心，半径为2的圆及其内部， 所以，点集所表示的图形的面积为，①对； 对于②，若曲线表示以点为圆心，半径为2的圆， 设为曲线上一点，当点在曲线内时，， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，可得，此时； 当点在曲线外时，， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，，可得，此时， 当点在曲线上时，线段的长不存在最小值， 综上所述，或，即或， 所以，点集所表示的图形是夹在圆和圆的区域（但不包括圆的圆周）， 此时，点集所表示的图形的面积为，②错； 对于③，不妨设点曲线为线段，且， 当点与点重合时，由①可知，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆， 当点与点重合时，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆， 故当点在线段上滑动时，点集表示的区域是一个边长为2的正方形和两个半径为1的半圆所围成的区域， 此时，点集的面积为，③对； 对于④，若曲线是边长为9的等边三角形，设等边三角形为， 因为，，则， 由③可知，点集构成的区域由矩形、、， 以及分别由点为圆心，半径为1，圆心角为的三段圆弧， 和夹在等边三角形和等边三角形中间的部分（包括边界）， 因此，，则， 所以，点集所表示的图形的面积为，④对. 综上所述：正确的序号为①③④，共3个. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可. 2．（多选）（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）在数学中有这样形状的曲线：，关于这种曲线，下列结论正确的有（    ） A．该曲线的图像既是轴对称图形也是中心对称图形 B．该曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．该曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D．该曲线所围成的形状区域面积大于5 【答案】ABD 【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，由图像结合方程分析对称性判断选项A；列举曲线经过的整点判断选项B；求曲线上和这两点间的距离判断选项C；分割法求面积判断选项D. 【详解】曲线：， 时，有； 时，有； 时，有； 时，有； 点也满足曲线方程， 曲线图像由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，圆的半径， 如图中实线部分和原点， 若点满足曲线方程，则点也都满足曲线方程， 该曲线的图像关于轴和轴对称，也关于原点对称，A选项正确； 曲线中，经过的整点有：，，，，，，，，共9个，B选项正确； 点和都在曲线上，这两点间的距离为，C选项错误； 曲线所围成的形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为，，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：通过分类讨论去绝对值，由曲线方程得出曲线图像，数形结合并经过计算判断命题是否正确. 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．对任意正实数，曲线恒过2个定点 B．存在无数个正实数，曲线至少有4条对称轴 C．星形线围成的封闭图形的面积大于2 D．星形线与圆有四个公共点 【答案】ABD 【分析】易知曲线过定点和，可判断A；当为正偶数时，曲线关于轴、轴及对称，可得B正确；根据表达式可判断出星形线围成的封闭图形曲线的内部，可判断C错误；联立星形线方程与圆，并解方程可判断D正确. 【详解】选项A，曲线过定点和，且与只有两个交点和，即A正确； 选项B，当，时，曲线至少有4条对称轴，，，可得B正确； 选项C，对于方程，用“”替换“”，方程依然成立，用“”替换“”，方程依然成立， 所以星形线既关于轴对称，也关于轴对称. 考虑星形线在第一象限内的图形，因为，所以图形在线段的下方， 再根据对称性，星形线的图形在曲线的内部， 因为曲线所围成的图形面积为2，所以星形线围成的图形面积小于2，可得C错误； 选项D，根据对称性，考虑星形线第一象限内的任意一点， 则， 当且仅当时取等号，所以在第一象限有一个交点， 再根据对称性另外三个象限各有一个交点，共4个交点，即D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在判断星形线围成的封闭图形的面积时，关键是要与熟悉的图形进行比较，再结合过定点和，可联想到曲线，即可判断出面积小于2. 4．（23-24高二上·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】选项A，应用两点距离公式求P的轨迹方程为，即可判断出选项A的正误； 选项B，由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断出选项B的正误； 选项C，根据，结合角平分线的性质判断选项C的正误； 选项D，由已知有，利用三点共线求最小值判断选项D的正误. 【详解】设，因为，所以，整理得到， 故点的轨迹方程为， 对于选项A，点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，所以选项A正确； 对于选项B，因为圆的半径为4且，当的底边上的高最大，即高为半径4时，面积最大，所以面积的最大值是， 所以选项B正确； 对于选项C，由题知，点M的坐标为，当不共线时，因为，由角平分线定理的逆定理知：射线是的平分线，所以选项C正确； 对于选项D，因为，即，则，又P在圆上，如图所示，    所以当三点共线时，取最小值，此时，所以选项D错误， 故选：ABC． 【点睛】关键点睛：利用两点距离公式及比例关系求动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线段和最值. 5．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ） A．曲线C围成的图形的周长是； B．曲线C围成的图形的面积是2π； C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2； D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是 【答案】AD 【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断. 【详解】对于曲线C:上任一点，则， 点关于y轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于y轴对称； 点关于x轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于x轴对称； 点关于原点对称的点为， 则，即点在曲线C上， 故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称. 对于方程，令，则，解得或， 即曲线C与x轴的交点坐标为， 同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为， 当时，，则， 整理得，且， 故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径的半圆， 由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点， 对A：曲线C围成的图形的周长是， A正确； 对B：曲线C围成的图形的面积， B错误； 对C：联立方程，解得或， 即曲线C与直线在第一象限内的交点坐标为， 由对称可知曲线C与直线在第三象限内的交点坐标为， 则，C错误； 对D：由图结合对称性可知：当在第一象限时， 点到直线的距离相对较小， ∵到直线的距离， 则点到直线的距离， ∴， 故的最小值是，D正确.    故选：AD. 【点睛】(1)通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性； (2)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）设.若曲线上一点不满足，则曲线在点处的切线方程为.则曲线过点的切线方程为 . 【答案】和 【分析】由已知条件表示出曲线在点处切线方程，代入结合曲线方程求出，得切线方程. 【详解】，若， 则，，，， 点在曲线上，有， 由题意可知，若满足时， 则，则， 若不满足， 则曲线在点处的切线方程为， 切线过点，则有， 即，得， 由，解得或， 两组解都不满足，符合题意， 把两组解代入， 得切线方程为和. 故答案为：和. 【点睛】方法点睛： “新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，需要读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移.在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 7．（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，    则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点的曼哈顿距离转化为图形，从而利用数形结合即可得解. 8．（2024·北京·模拟预测）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：    ①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； ②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； ③阴影部分的面积为； ④阴影部分的内外边界曲线长为. 其中正确的有 . 【答案】①②④ 【分析】对于①，令,求出，求出点坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程设点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线的各个部分即得解. 【详解】对于①，由于，令时，整理得， 解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A， 则点A的坐标为，点， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为,故①正确； 对于②，由于，整理得：， 所以，所以到坐标轴的距离为或， 因为， 所以，， 所以到坐标轴的距离小于等于3，故②正确； 对于③，由于，令时，整理得， 解得， 因为表示以为圆心，半径为的圆， 则， 且，则在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，   故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 所以它的面积是. 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为, 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，故③错误； 对于④，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为， 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为， 所以阴影部分的内外边界曲线长为，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标. 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为 ，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，，结合点在射线上，得到故的“3-圆称点”为，设出，，设其“r-圆称点”为，由得到方程，点在射线上，不妨设，，得到方程，求出. 【详解】由题意得：，又，所以， 又点在射线上，即在轴正半轴上， 故的“3-圆称点”为； 设圆（不包含原点）的一点，， 设其“r-圆称点”为，则， 即， 又点在射线上，不妨设，， 所以，整理得：， 综上，，即， 故圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为. 故答案为：，. 10．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，下列说法： ①曲线围成的图形的面积是； ②曲线上的任意两点间的距离不超过2； ③若是曲线上任意一点，则的最小值是. ④若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是. ⑤已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是. 其中正确结论的有 . 【答案】①③④ 【分析】结合已知条件写出曲线 的解析式，进而做出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线 上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.对于④，根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.对于⑤，根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】 当且时，曲线的方程可化为：； 当且时，曲线的方程可化为：； 当且时，曲线的方程可化为：； 当且时，曲线的方程可化为：， 曲线的图像如上图所示： 由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， 从而曲线所围成的面积，故①正确； 由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误； 因为到直线的距离为， 所以， 当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上， 因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆， 所以圆心到的距离， 从而，即，故③正确， 由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则，故④正确. 依题意，直线恒过定点，直线恒过定点， 显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆， 其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得：，， 所以的取值范围是：.故⑤错误. 故答案为: ①③④ 第二章 圆与方程 新定义题（解答题） 1．（24-25高二·上海·随堂练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一知的欧拉线即为的垂直平分线，根据与直线垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程； （2）由直线与圆相切得到圆的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由、可得：的中点，即， 由，得，故的方程为即； （2）因为与圆M：相切，故圆心，， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 即，故，解得． 2．（23-24高二下·上海虹口·期末）某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，. (1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值； (2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值； (3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆方程直接求解； （2）设，由题意，直线，且，联立方程组，借助韦达定理可求解； （3）根据对称性，设第一象限的切线方程为：，根据直线与圆和椭圆相切，可解直线方程，从而求解. 【详解】（1）曲线所对应的方程为， 即，则，， 所以； （2）设， 由题意，直线，且， ，解得， 有，， 可得，此时与的斜率等于， 满足直线与曲线交于两个交点， 所以； （3）根据对称性，设第一象限的切线方程为：， 由与右圆弧相切，可知点到切点的距离， 即  ① 由与上椭圆段相切，可知：， 可得， 则， 所以， 解得，即代入 ①式，可得， 化简得，解得， 即第一象限的切线方程为：， 令，令， 故菱形的面积为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营. （1）若军营所在区域为：，求“将军饮马”的最短总路程； （2）若军营所在区域为为：，求“将军饮马”的最短总路程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作出图形，先算出点A关于已知直线的对称点，进而连接交已知直线于点P，则点P为饮马点，然后求出最短总路程； （2）作出图形，进而选取区域内离最近的点，最后求出最短总路程. 【详解】（1) 若军营所在区域为， 圆：的圆心为原点，半径为，作图1如下： 设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则， 又，联立解得：，即. 所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为. （2）军营所在区域为， 对于，在，时为令，得，令，则， 图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形，容易知道：为这个菱形的内部(包括边界). 由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点，则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离．即“将军饮马”最短总路程为. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，． (1)求的欧拉线方程； (2)记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断为等腰直角三角形，三线合一，即可求解； （2）结合（1）知外心是，利用圆的弦长公式求得，再利用面积公式结合二次函数的性质求最值. 【详解】（1）的顶点，， 利用两点之间距离公式知， 又，所以为等腰直角三角形， 的中垂线方程是，也是的平分线，三线合一， ∴欧拉线方程是． （2）由（1）知为等腰直角三角形，故外心为斜边中点， 即外心是， 圆心C到直线l的距离，， 所以 利用二次函数性质知，当时，即时， 5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）设函数的定义域为，若存在函数，，使得对于任意都成立，那么称为函数的一个下界函数，为函数的一个上界函数． （1）函数，是否可以分别为某个函数的下界函数和上界函数？请说明理由； （2）若函数，设函数是的一个下界函数，函数是的一个上界函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）和分别为的下界函数和上界函数，理由见解析；（2）. 【解析】（1）根据下界函数和上界函数的定义，利用判别式的符号判断一元二次不等式恒成立，从而可得答案； （2）作出函数的图象，结合下界函数和上界函数的定义，利用直线与半圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】（1）和分别为的下界函数和上界函数， 则恒成立，∴恒成立 ∴即恒成立 ∵，∴恒成立 ∴和可以为某个函数（比如函数）的下界函数和上界函数 （2）如图，作出函数的图象， 由于函数为的上界函数 则直线与上半圆相切或相离，即得 又∵函数为的下界函数，则∴ 综上所述：∴ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$