第05讲 第一章 直线与方程 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第05讲 第一章 直线与方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 7．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 11．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 14．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 16．（23-24高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 17．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 18．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 19．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 第一章 直线与方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得出答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 因为其斜率，又由， 所以. 故选： 2．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线经过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 3．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【点睛】利用数形结合的方法进行求解. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 6．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 【答案】C 【分析】利用两条直线平行的性质，分类讨论与即可得解. 【详解】因为，， 当时，，显然满足题意； 当时，，解得； 综上，或. 故选：C. 7．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 8．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 【答案】B 【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可. 【详解】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离. 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和直线不过原点，将点代入求解. 【详解】解：当直线过原点时，横纵截距为0，符合题意，此时直线方程为； 当直线不过原点时，可设横纵截距分别为(或，均不为0)， 则直线方程为，可解得或， 则直线方程为或. 故选：ABD. 10．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 【答案】BC 【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化，作出图象，利用图象平移可判定B，利用点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D. 【详解】若，由题意可知，令， 则，作出其图象如图． 易知，点的轨迹可由正方形右移1个单位长度， 再上移1个单位长度得到，故B正确； 对于A， ， 结合图象可得的最小值即为点到 直线（即点）的距离， 此时取得最小值3，故A错误； 对于C，的最大值即为点到点的距离中的最大值 ，故的最大值为15，故C正确； 若，则表示正方形及其内部区域，易知其面积为， 故D错误． 故选：BC． 11．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 【答案】BC 【分析】根据题意推理得到点的轨迹方程，作出其图象，可判断A错误；对于B，利用函数的奇偶性定义即可判断；对于C，利用作差法易得结论成立；对于D，构造函数，通过取值判断即得在且时不能恒大于0即得. 【详解】因直线的斜率存在，故. 由可得，，整理可得， 因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设， 因，， 故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于，求出动点满足的轨迹方程，再运用函数的奇偶性定义，通过作差比较法判定图象上相关点的范围即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 14．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 4 【分析】第一空：直接根据“t距离”的定义计算即可求解；第二空：根据“t距离”的定义分两种情况讨论得出A点的轨迹是正方形的四条线段；由此即可得解. 【详解】第一空：点与点之间的“t距离”为 ； 第二空：若平面内点和点之间的“t距离”为， 则， 不妨设，解得或，此时，即， 由对称性可知，当或时，，如图所示：   ，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段， 则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为. 故答案为：；4. 【点睛】关键点点睛：关键是严格按照“t距离”的定义进行计算，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 16．（23-24高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标. 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 17．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）分类讨论直线斜率是否存在，求得，，即可得面积，换元结合二次函数可得最大值. 【详解】（1）由题意可设、，且、． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或，， 当，即，时，， 即，则， 此时、符合题意． 综上，． 18．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)周长为，直线方程为 (3) 【分析】（1）将整理成，令，即可得解； （2）由题意知，，可得面积的表达式，变形后结合基本不等式求解； （3）由题意不妨设，则，又a也为正整数，即，所以或4，进而可得直线l的方程． 【详解】（1）将整理成， 令，解得，所以定点P为， 故不论a为何值，直线l必过一定点． （2）由题意知，，，则， 所以面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，面积最小， 此时， 所以的周长为， 直线方程为，即． 故当面积最小时，的周长为，此时直线方程为． （3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设，则， 又a也为正整数，所以，即，所以或4， 当时，，此时， 所以直线l的方程为，即； 当时，，不符合题意，舍去， 综上所述，直线l的方程为． 19．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 【分析】 （1）根据题意确定即可确定最后一条反射光线的方程； （2）由于和直线的夹角相等得，即可得两条光线的斜率之间的关系； （3）由题意得当且时停止反射，设的斜率为，对进行分类讨论确定每种情况下的反射次数，即可得的最大值，及的轨迹方程. 【详解】（1）由题可得的斜率为，故的方程为， 联立，解得，则， 设关丁的对称点为，所以， 则关丁的对称点为， 经过和，故的直线方程为， 所以，的斜率为，故的直线方程为， 后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. （2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， 所以或， 解得（舍）或. （3）由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为， 1）当在直线上时，或不存在， ①当时，，反射1次； ②当时，，反射2次； ③当时，，反射3次； ④当时，不存在，不存在，，反射3次； ⑤当时，，反射4次； ⑥当不存在时，，反射1次； 2）当在轴上时，或不存在， ①当时，，反射2次； ②当时，，反射1次； ③当时，，反射4次； ④当时，反射3次； ⑤当不存在时，不存在，，反射2次； 综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或. 【点睛】关键点睛，本题第3小问的解决关键是结合题意，确定当且时光线停止反射，同时，光线与轴发生镜面反射时，前后光线斜率关系为；光线，光线与直线发生镜面反射时，前后光线斜率关系为，由此得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$