第04讲 第一章 直线与方程 新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 第一章 直线与方程 新定义题 目录 第一章 直线与方程 新定义题（小题） 1 第一章 直线与方程 新定义题（解答题） 9 第一章 直线与方程 新定义题（小题） 1．（2024·上海·三模）设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（    ）． A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 2．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 3．（23-24高三·云南·阶段练习）两条抛物线，，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，及其根轴交于三点，则 A．2 B． C． D． 4．（23-24高一下·辽宁沈阳·开学考试）在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断： ①若，则过M、N两点的直线与直线l平行； ②若，则直线l经过线段MN的中点； ③存在实数，使点N在直线l上； ④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述判断中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 6．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ． 7．（2024·云南曲靖·二模）设是同一平面上的两个区域，点，点两点间距离的最小值叫做区域间的距离，记作.若，，则 . 8．（23-24高三·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ． 第一章 直线与方程 新定义题（解答题） 1．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 2．（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 3．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二上·北京·期中）记集合，对于定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度， (1)已知，计算； (2)设，证明：； (3)对于给定，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知， ①中关于的绝对共线整点的个数为______； ②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，则的最小值为______ 5．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 6．（2024·上海）已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有． (1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式； (2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； (3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第一章 直线与方程 新定义题 目录 第一章 直线与方程 新定义题（小题） 1 第一章 直线与方程 新定义题（解答题） 9 第一章 直线与方程 新定义题（小题） 1．（2024·上海·三模）设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（    ）． A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 【答案】C 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图：    易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 2．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故选：B.    【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 3．（23-24高三·云南·阶段练习）两条抛物线，，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，及其根轴交于三点，则 A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由根轴的定义求出已知两抛物线的根轴，再通过联立方程组分别求出的坐标，再由距离公式求的值. 【详解】由已知抛物线，的根轴为， 直线与直线的交点的坐标为， 直线与抛物线的交点的坐标为， 直线与抛物线的交点的坐标为， 所以 ， 故选：A． 4．（23-24高一下·辽宁沈阳·开学考试）在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断： ①若，则过M、N两点的直线与直线l平行； ②若，则直线l经过线段MN的中点； ③存在实数，使点N在直线l上； ④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述判断中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由条件根据点到直线的距离公式与两点在直线的同异侧的性质，判断各个说法是否正确，从而得出结论． 【详解】对于①，若，则， 又M点到直线l的距离为，N点到直线l的距离为， 所以M、N两点到直线l的距离相等， 又， 所以M、N两点在直线l的同一侧， 所以过M、N两点的直线与直线l平行，故①正确； 对于②，若，则， 类比①的分析，可知M、N两点到直线l的距离相等，且M、N两点在直线l的异侧， 所以直线l经过线段MN的中点，故②正确； 对于③，由于，故不存在实数，使点N在直线l上，故③错误； 对于④，若，则，故，与同号， 所以， 则，即点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离， 又，则M、N在直线l的同侧， 所以直线l与线段MN的延长线相交，故④正确； 综上：①②④正确，③错误. 故选：B． 5．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：    图① 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD    图② 6．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【详解】其中①③的讨论见后文． ②设点Q是直线上一点，且，则．由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，此时的范围是，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 综上，①②③正确． 7．（2024·云南曲靖·二模）设是同一平面上的两个区域，点，点两点间距离的最小值叫做区域间的距离，记作.若，，则 . 【答案】 【分析】函数与互为反函数，函数图象上任意点与图象上任意点之间的最小值恰好等于点与之间的距离,再平移后求解最小值. 【详解】 函数与互为反函数， 函数图象上任意点与图象上任意点之间的最小值恰好等于点与之间的距离， 图象向上平移2024个单位得到的图象， 图象向右平移2024个单位得到的图象. 从而就等于点与点的距离，故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 8．（23-24高三·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，由条件可得点三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】因为时，， 所以函数的图象过定点， 因为， 所以点三点共线，， 因为，为圆上两点， 所以点为过点的直线与圆的两个交点， 设线段的中点为，则， 因为表示点，到 直线的距离和， 表示表示点到直线的距离， 分别过点作与直线垂直，垂足为， 则， 所以， 因为，直线过点，所以， 所以， 所以，化简可得， 即点在圆上， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题的关键在于确定所求解析式的几何意义，并将所求值转化为线段的中点到直线的距离问题. 第一章 直线与方程 新定义题（解答题） 1．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】 （1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2．（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)最小值为3，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案； （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案； （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【详解】（1）因为，，故， 由曼哈顿距离不大于5，得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上，的取值范围是. （2）因为， 故， 由题意可得恒成立， 因为， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 所以，则或，解得或. 故的取值范围是. （3）点在函数图象上且，点的坐标为， 故 当时，，函数在上单调递增， 故， 当且仅当时取等号. 当时，. 令，由于，故，. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号. 综上可知，的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 3．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【详解】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 4．（23-24高二上·北京·期中）记集合，对于定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度， (1)已知，计算； (2)设，证明：； (3)对于给定，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知， ①中关于的绝对共线整点的个数为______； ②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，则的最小值为______ 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)①108；②73 【分析】(1)由广义向量的绝对长度的定义计算即可； (2)根据广义向量的绝对长度的定义结合绝对值三角不等式证明； (3)①根据绝对共线整点的定义由(2)结合条件列关系式，确定的绝对共线整点的个数； ②先考虑坐标都为3的点中至少取多少个元素满足要求，由此确定的最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）由已知设，则 ，， ， 由绝对值三角不等式可得 当且仅当时等号成立， 所以 ， 当且仅当，都成立时等号成立； 所以； （3）①设，为中关于的绝对共线整点，则； 因为，所以，，，所以，，， 所以中关于的绝对共线整点的个数为， ②先考虑的绝对共线整点中坐标都为3的点， 考虑取出坐标分别为1,2,3,5，坐标为3的点的所有点共24个，因为1,2,3,5中任意两个数的和都不等于另两个数的和，故不存在满足要求的四个点， 若取出坐标分别为1,2,3,5，坐标为3的点的所有点共24个，加入坐标为4，坐标为3的任意点，则存在，则存在，，满足要求；同理加入坐标为6，坐标为3的任意点都存在满足要求的四个点， 由此可证在坐标都为3的点中取24个点不一定存在满足要求的4个点，但取25个点则一点存在满足要求的4个点， 故要满足给定要求，得最小值为73. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 5．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【详解】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 6．（2024·上海）已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有． (1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式； (2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； (3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)这样的直线存在，其方程为或. 【分析】（1）根据复数模的运算性质，求得 ；再由两复数相等就是实部与虚部对应相等得、与x、y表示的关系式. （2）变换后的点坐标均用表示为，再消去参数得到Q的轨迹方程. （3）将变换后的点坐标代入直线，用对应系数相等或对应成比例求得值. 【详解】（1）由题设，， 于是由，且，得， 因此由， 得关系式 （2）设点在直线上，则其经变换后的点满足 ， 消去，得， 故点的轨迹方程为 （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为， ∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点 仍在该直线上， ∴， 即， 当时，方程组无解，故这样的直线不存在。 当时，由 得，解得或， 故这样的直线存在，其方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$