22.3 实际问题与二次函数 第2课时 商品利润最大问题课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 第2课时 商品利润最大问题 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中,作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢? 情景引入 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是 元,销售利润 元. 18000 6000 (1)销售额=售价 销售量; (2)利润=销售额-总成本=单件利润 销售量; (3)单件利润=售价-进价. 利用二次函数解决商品利润最大问题 探索求知 数量关系 例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? ①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空: 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 20 300 (20+x) (300-10x) (20+x)(300-10x) 建立函数关系式:y=(20+x)(300-10x) 即:y=-10x2+100x+6000. 6000 典例精析 【分析】 涨价销售 ②自变量x的取值范围如何确定? 营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30. ③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少? 即 涨价5元时,最大利润是6250元. 典例精析 把 y=-10x2+100x+6000 化为顶点式得 ∴当x=5时,y最大值=6250 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 ①每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空: 20 300 (20-x) (300+20x) (20-x)(300+20x) 建立函数关系式:y=(20-x)(300+20x) 即:y=-20x2+100x+6000 6000 典例精析 降价销售 综上可知,定价65元时,最大利润是6250元. ②自变量x的取值范围如何确定? 营销规律是价格下降,销量上升,因此只要考虑单件利润就可以,故20-x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20. ③降价多少元时,利润最大,最大利润是多少? 即降价2.5元时,最大利润是6125元. 典例精析 把 y=-20x2+100x+6000 化为顶点式得 由以上的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 某电商在购物平台上销售一款小电器,其进价为45元件,每销售一件需缴纳平台推广费5元,该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系:y=-2x+180.为保证市场稳定,供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件. (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式; 解:由题意得 w=(x-50)(-2x+180) 变式训练 即 w=-2x2+280x-9000. 根据题意,确定自变量的取值范围 ∴当x=75时,有最大利润,y最大利润=-2(75-70)2+800=750元. (2)每件小电器的销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润 最大,最大是多少元? w=-2(x-70)2+800 ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件 ∴75≤x≤90 变式训练 解:把 w=(x-50)(-2x+180)化为顶点式得 ∵70<75<90 ∴在取值范围内y随x的增大而减小 注意:需根据函数的增减性确定自变量的函数最值,而非在顶点处取最值 取值范围在对称轴的右边 (1)建立利润与价格之间的函数关系式: (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; 可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出. 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 销售量” (3)在自变量的取值范围内确定最大利润: 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具,如果以单价30元出售,那么一个月内售出180件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的下降,即销售单价每上涨1元,月销售量将相应减少10件,当销售单价为多少元时,该店能在一个月内获得最大利润? 练一练 ①每件商品的销售单价上涨x元,一个月内获取的商品 总利润为y元,填空: 单件利润(元) 销售量(件) 每月利润(元) 正常销售 涨价销售 【分析】 10 180 10+x 180-10x (10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式: 即:y=-10x2+80x+1800 练一练 y=(10+x)(180-10x) 营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故180-10x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤18. ②自变量x的取值范围如何确定? ③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少? y=-10(x-4)2+1960 ∴当x=4时,有最大值,y最大值=1960(元) 答:当销售单价为34元时,该店在一个月内能获得最大利润1960元. 练一练 把 y=-10x2+80x+1800 化为顶点式得 (0≤x≤18) ∵0<4<18 即涨价4元时,销售单价为34元时,利润最大,最大利润1960元. 例2 某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元. (1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元? 答:此时每月的总利润最多是1200元. 解:由题意得 Q=60(x-30)=60x-1800 ∵在取值范围内Q随x的增大而增大 ∴当x=50时,Q最大值=60 50-1800=1200 典例精析 (40≤x≤50) (2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元? ∵线段过(50,60)和(70,20) ∴函数解析式为 y=-2x+160 典例精析 50 70 20 60 O x/元 y/件 解:设y与x函数关系式为 y=kx+b. (50≤x≤70) ∴Q=(x-30)y =(x-30)(-2x+160) =-2x2+220x-4800 =-2(x-55)2+1250 (50≤x≤70) 典例精析 ∴当售价在50~70元时,售价x是55元时,获利最大,最大利 润是1250元. ∴Q=-2(x-55)2+1250 (50≤x≤70) ∵a=-2<0,图象开口向下, 且50≤55≤70 ∴当x=55时,Q最大=1250 (3)若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价与当月 的销售量各是多少? ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件. 当x2=59时,y2=-2x+160=-2 59+160=42(件) 典例精析 解:∵当40≤x≤50时, Q最大=1200<1218 当50≤x≤70时, Q最大=1250>1218 ∴售价x应在50~70元之间 ∴-2(x-55)2+1250=1218 解得:x1=51,x2=59 当x1=51时,y1=-2x+160=-2 51+160=58(件) 变式1 若该商品售价在40~70元之间变化,根据例题的分析、解答,直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式;并说明,当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元? 解:Q与x的函数关系式为: 变式训练 若40≤x≤50, 则当x=50时,Q最大=1200 若50≤x≤70, 则当x=55时,Q最大=1250 ∵1200<1250 ∴售价x是55元时,获利最大,最大利润是1250元. 变式2 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元,试确定该商品的售价x的取值范围; 解:Q与x的函数关系式为: 变式训练 ①当40≤x≤50时, ∵Q最大=1200<1218, ∴此情况不存在. ∴若该商品所获利润不低于1218元, 则售价x的取值范围为51≤x≤59. 1218 59 51 x Q O 55 1250 变式训练 ②当50≤x≤70时, Q最大=1250>1218 当Q=1218时,-2(x-55)2 +1250=1218 解得:x1=51,x2=59 由Q=-2(x-55)2+1250的图象和性质可知: 当51≤x≤59时,Q≥1218. 变式3 在变式2的条件下,已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元,则售价x为多少元时,利润最大,最大利润是多少元? 解:由题意得: 解得:51≤x≤53 变式训练 1218 59 51 x Q O 55 1250 又∵a=-2<0 ∴当51≤x≤53时,Q随x的增大而增大 ∴当x=53时,Q最大=1242. ∴此时售价x应定为53元,利润最大, 最大利润是1242元. 53 1242 1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售,可卖出(600-20x)件,使利润最大,则每件售价应定为 元,最大利润是 元. 25 课堂练习 500 2.进价为80元的某件商品定价100元时,每月可卖出2000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 . 每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简) y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 课堂练习 3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润? 课堂练习 解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元. 当x=8时,w有最大值,且w最大=1352. 答:该工艺师生产第8档次产品,可使利润最大,最大利润为1352. w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352 (1≤x≤9,x取整数) x y 5 16 O 7 4. 某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系: y=ax2+bx-75.其图象如图. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 解:由图象可求 y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴为直线x=10 ∴当x=10时,y值最大,最大值为25. 即销售单价定为10元时,销售利润最 大,为25元. 课堂练习 化为一般式得 y=-(x-10)2+25 (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元? 故销售单价在7≤x≤13时,利润不低于16元. 课堂练习 x y 5 16 O 7 ∴由对称性知,当y=16时,x= ∴二次函数图像的对称轴为直线x=10 13 x=10 解:∵函数解析式为 y=-(x-10)2+25 7或13 课堂小结 $$